최댓값·최솟값과 최적화

분모를 살펴요. $0<x<1$ 에서 $x-x^2=x(1-x)>0$ 이라서 $y>0$ 이에요. 분모를 완전제곱 꼴로 바꾸면 $$x-x^2=-\left(x-\tfrac12\right)^2+\tfrac14$$ 이므로 $x=\tfrac12$ 일 때 분모가 최대 $\tfrac14$ 예요.

함수의 값을 구해요. 분모가 가장 클 때 $y$ 가 가장 작으므로 $x=\tfrac12$ 에서 $y=\dfrac{1}{1/4}=4$ 가 최솟값이에요. (도함수로도 확인해요. $y'=-\dfrac{1-2x}{(x-x^2)^2}$ 이고 $x<\tfrac12$ 에서 음수, $x>\tfrac12$ 에서 양수라서 $x=\tfrac12$ 에서 극소예요.)

최댓값이 있는지 봐요. $x\to0^+$ 또는 $x\to1^-$ 이면 분모가 $0$ 에 가까워져 $y\to\infty$ 예요. 값이 한없이 커지므로 최댓값은 없어요.

원문에는 앞 문제의 조건이 빠져 있어요. 길이 $L$인 철사를 두 조각으로 잘라, 한 조각으로는 한 변의 길이가 $x$인 정사각형을, 나머지로는 원을 만드는 상황으로 풀어 볼게요. 이때 $x$의 범위는 $0\le x\le \frac{L}{4}$이에요.

먼저 넓이의 합을 $x$로 나타내요. 정사각형의 둘레는 $4x$이므로 원의 둘레는 $L-4x$이고, 반지름은 $r=\frac{L-4x}{2\pi}$예요. 그래서 $$A(x)=x^2+\pi r^2=x^2+\frac{(L-4x)^2}{4\pi}$$

최대인 곳을 찾으려면 도함수를 봐요. $A'(x)=2x-\frac{2(L-4x)}{\pi}$이고, 한 번 더 미분하면 $A''(x)=2+\frac{8}{\pi}>0$이에요. 이계도함수가 항상 양수이므로 그래프는 아래로 볼록해요.

아래로 볼록한 함수는 $A'(x)=0$인 점에서 최솟값을 가지고, 최댓값은 구간의 양 끝점 중 하나에서 생겨요. 그래서 두 끝점의 값을 비교해요.

$x=0$이면 철사 전체로 원을 만든 것이라 $A(0)=\frac{L^2}{4\pi}$이고, $x=\frac{L}{4}$이면 정사각형만 만든 것이라 $A\left(\frac{L}{4}\right)=\frac{L^2}{16}$이에요. $\frac{1}{4\pi}>\frac{1}{16}$이므로 $A(0)$이 더 커요. 따라서 $x=0$일 때 넓이의 합이 최대예요.

왜 이렇게 할까요? 직선 위의 점은 $(x,\,5-2x)$ 로 쓸 수 있어서 변수가 $x$ 하나뿐이에요. 거리가 최소일 때 거리의 제곱도 최소이므로, 근호가 있는 거리 대신 제곱을 써요.

거리의 제곱을 식으로 써요. $$D(x)=x^2+(5-2x)^2=5x^2-20x+25$$

미분해서 0 이 되는 곳을 찾아요. $$D'(x)=10x-20=0\;\Longrightarrow\;x=2$$

최솟값인지 확인해요. $D''(x)=10>0$ 이므로 아래로 볼록한 이차함수라서 $x=2$ 에서 최소예요.

점의 좌표를 구해요. $y=5-2\cdot2=1$ 이므로 가장 가까운 점은 $(2,1)$ 이에요.