문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

최댓값·최솟값과 최적화

닫힌 구간의 최대·최소를 구하고, 넓이·비용 같은 문장제의 최적값을 찾는다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.3절 · 32번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 정의역에서 함수의 극값 또는 최댓값·최솟값을 구하세요.

구간 $(0,1)$ 에서 $y=\dfrac{1}{x-x^2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the local and/or absolute extrema for the functions over the specified domain.

$y=\frac{1}{(x-{x}^{2})}$ over $(0,1)$

풀이 보기

분모가 가장 클 때 분수는 가장 작아져요. 그래서 분모 $x-x^2$ 의 최댓값을 찾아도 되고, 도함수가 0인 곳을 찾아도 돼요.

1
분모를 살펴요. $0<x<1$ 에서 $x-x^2=x(1-x)>0$ 이라서 $y>0$ 이에요. 분모를 완전제곱 꼴로 바꾸면 $x-x^2=-\left(x-\tfrac12\right)^2+\tfrac14$ 이므로 $x=\tfrac12$ 일 때 분모가 최대 $\tfrac14$ 예요.
2
함수의 값을 구해요. 분모가 가장 클 때 $y$ 가 가장 작으므로 $x=\tfrac12$ 에서 $y=\dfrac{1}{1/4}=4$ 가 최솟값이에요. (도함수로도 확인해요. $y'=-\dfrac{1-2x}{(x-x^2)^2}$ 이고 $x<\tfrac12$ 에서 음수, $x>\tfrac12$ 에서 양수라서 $x=\tfrac12$ 에서 극소예요.)
3
최댓값이 있는지 봐요. $x\to0^+$ 또는 $x\to1^-$ 이면 분모가 $0$ 에 가까워져 $y\to\infty$ 예요. 값이 한없이 커지므로 최댓값은 없어요.

답

$x=\dfrac12$ 에서 절대(최)솟값 $y=4$ , 최댓값은 없다

자주 하는 실수

열린 구간에서는 끝점을 대입할 수 없어요. 끝으로 갈 때의 극한을 따져 최댓값이 없음을 말해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Absolute minimum: $x=\frac{1}{2},$ $y=4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산보통

2.CLP-1 · 3.5절 · 4번우리말 번역

$f(x)=x^2+6x-10$ 이다. 구간 $[-5,5]$ 에서 최댓값과 최솟값을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

$f(x)=x^2+6x-10$ . Find all global extrema on the interval $[-5,5]$

정답·풀이 보기

최댓값과 최솟값은 구간 $(-5,5)$ 안의 임계점이나 특이점, 또는 끝점 $x=5,\,x=-5$ 에서 나타난다.

$f'(x)=2x+6$ 이다. 이는 모든 실수에서 정의되므로 특이점은 없다. $f'(x)=0$ 인 경우는 $x=-3$ 일 때뿐이다. 이 값은 구간 $[-5,5]$ 안에 있다. 따라서 확인할 점은 $x=-3,\,x=-5$ , 그리고 $x=5$ 이다.

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -5 & 5 \\ \hline \text{종류} & \text{임계점} & \text{끝점} & \text{끝점} \\ \hline f(c) & -19 & -15 & 45 \\ \hline \end{array}$

최댓값은 $x=5$ 에서 45 이고, 최솟값은 $x=-3$ 에서 $-19$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Global extrema will occur at critical or singular points in the interval $(-5,5)$ or at the endpoints $x=5,\,x=-5$ .

$f'(x)=2x+6$ . Since this is defined for all real numbers, there are no singular points. The only time $f'(x)=0$ is when $x=-3$ . This is inside the interval $[-5,5]$ . So, our points to check are $x=-3,\,x=-5,$ and $x=5$ .

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -5 & 5 \\ \hline \text{type} & \text{critical point} & \text{endpoint} & \text{endpoint} \\ \hline f(c) & -19 & -15 & 45 \\ \hline \end{array}$

The global maximum is 45 at $x=5$ and the global minimum is $-19$ at $x=-3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 5번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산보통자동 분류

3.CLP-1 · 3.5절 · 5번우리말 번역

$f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-2x^2-30x+7$ . 구간 $[-4,0]$ 에서 모든 최댓값과 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

$f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-2x^2-30x+7$ . Find all global extrema on the interval $[-4,0]$ .

정답·풀이 보기

최댓값과 최솟값은 구간의 양 끝점 $x=-4$ , $x=0$ 에서 나타나거나, 구간 안의 특이점 또는 임계점에서 나타난다. $f(x)$ 는 다항식이므로 모든 점에서 미분가능하고, 따라서 특이점은 없다. 임계점을 구하기 위해 도함수를 0과 같다고 놓는다.

$\begin{aligned} f'(x)&=2x^2-4x-30\\ 0&=2x^2-4x-30 &=(2x-10)(x+3)\\ x&=5,\,-3 \end{aligned}$

구간 안에 있는 임계점은 $x=-3$ 뿐이다.

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -4 & 0 \\ \hline \text{종류} & \text{임계점} & \text{끝점} & \text{끝점} \\ \hline f(c) & 61 & \frac{157}{3}=52+\frac{1}{3} & 7 \\ \hline \end{array}$

이 구간에서 최댓값은 $x=-3$ 일 때 $61$ 이고, 최솟값은 $x=0$ 일 때 $7$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Global extrema will occur at the endpoints of the interval, $x=-4$ and $x=0$ , or at singular or critical points inside the interval. Since $f(x)$ is a polynomial, it is differentiable everywhere, so there are no singular points. To find the critical points, we set the derivative equal to zero.

$\begin{aligned} f'(x)&=2x^2-4x-30\\ 0&=2x^2-4x-30 &=(2x-10)(x+3)\\ x&=5,\,-3 \end{aligned}$

The only critical point inside the interval is $x=-3$ .

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -4 & 0 \\ \hline \text{type} & \text{critical point} & \text{endpoint} & \text{endpoint} \\ \hline f(c) & 61 & \frac{157}{3}=52+\frac{1}{3} & 7 \\ \hline \end{array}$

The global maximum over the interval is $61$ at $x=-3$ , and the global minimum is $7$ at $x=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 2번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산보통자동 분류