문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

최댓값·최솟값과 최적화

닫힌 구간의 최대·최소를 구하고, 넓이·비용 같은 문장제의 최적값을 찾는다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.3절 · 32번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 정의역에서 함수의 극값 또는 최댓값·최솟값을 구하세요.

구간 $(0,1)$ 에서 $y=\dfrac{1}{x-x^2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the local and/or absolute extrema for the functions over the specified domain.

$y=\frac{1}{(x-{x}^{2})}$ over $(0,1)$

풀이 보기

분모가 가장 클 때 분수는 가장 작아져요. 그래서 분모 $x-x^2$ 의 최댓값을 찾아도 되고, 도함수가 0인 곳을 찾아도 돼요.

1
분모를 살펴요. $0<x<1$ 에서 $x-x^2=x(1-x)>0$ 이라서 $y>0$ 이에요. 분모를 완전제곱 꼴로 바꾸면 $x-x^2=-\left(x-\tfrac12\right)^2+\tfrac14$ 이므로 $x=\tfrac12$ 일 때 분모가 최대 $\tfrac14$ 예요.
2
함수의 값을 구해요. 분모가 가장 클 때 $y$ 가 가장 작으므로 $x=\tfrac12$ 에서 $y=\dfrac{1}{1/4}=4$ 가 최솟값이에요. (도함수로도 확인해요. $y'=-\dfrac{1-2x}{(x-x^2)^2}$ 이고 $x<\tfrac12$ 에서 음수, $x>\tfrac12$ 에서 양수라서 $x=\tfrac12$ 에서 극소예요.)
3
최댓값이 있는지 봐요. $x\to0^+$ 또는 $x\to1^-$ 이면 분모가 $0$ 에 가까워져 $y\to\infty$ 예요. 값이 한없이 커지므로 최댓값은 없어요.

답

$x=\dfrac12$ 에서 절대(최)솟값 $y=4$ , 최댓값은 없다

자주 하는 실수

열린 구간에서는 끝점을 대입할 수 없어요. 끝으로 갈 때의 극한을 따져 최댓값이 없음을 말해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Absolute minimum: $x=\frac{1}{2},$ $y=4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산보통

2.OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번우리말 풀이

$x$ 를 어떻게 정해야 두 도형의 넓이의 합이 최대가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

Choose $x$ to maximize the sum of their areas.

답 쓰고 채점

풀이 보기

넓이의 합이 아래로 볼록한 이차함수이면, 최댓값은 구간의 한쪽 끝에서 나와요.

1
원문에는 앞 문제의 조건이 빠져 있어요. 길이 $L$ 인 철사를 두 조각으로 잘라, 한 조각으로는 한 변의 길이가 $x$ 인 정사각형을, 나머지로는 원을 만드는 상황으로 풀어 볼게요. 이때 $x$ 의 범위는 $0\le x\le \frac{L}{4}$ 이에요.
2
먼저 넓이의 합을 $x$ 로 나타내요. 정사각형의 둘레는 $4x$ 이므로 원의 둘레는 $L-4x$ 이고, 반지름은 $r=\frac{L-4x}{2\pi}$ 예요. 그래서 $A(x)=x^2+\pi r^2=x^2+\frac{(L-4x)^2}{4\pi}$
3
최대인 곳을 찾으려면 도함수를 봐요. $A'(x)=2x-\frac{2(L-4x)}{\pi}$ 이고, 한 번 더 미분하면 $A''(x)=2+\frac{8}{\pi}>0$ 이에요. 이계도함수가 항상 양수이므로 그래프는 아래로 볼록해요.
4
아래로 볼록한 함수는 $A'(x)=0$ 인 점에서 최솟값을 가지고, 최댓값은 구간의 양 끝점 중 하나에서 생겨요. 그래서 두 끝점의 값을 비교해요.
5
$x=0$ 이면 철사 전체로 원을 만든 것이라 $A(0)=\frac{L^2}{4\pi}$ 이고, $x=\frac{L}{4}$ 이면 정사각형만 만든 것이라 $A\left(\frac{L}{4}\right)=\frac{L^2}{16}$ 이에요. $\frac{1}{4\pi}>\frac{1}{16}$ 이므로 $A(0)$ 이 더 커요. 따라서 $x=0$ 일 때 넓이의 합이 최대예요.

답

$x=0$

자주 하는 실수

도함수가 0인 점이 곧 최댓값이라고 생각하기 쉬워요. 아래로 볼록하면 그 점은 최솟값이고, 최댓값은 끝점에서 찾아야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

3.OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 직선 $y=5-2x$ 위에서 원점에 가장 가까운 점은 어디인가요?

영어 원문 보기

[T] Where is the line $y=5-2x$ closest to the origin?

답 쓰고 채점

풀이 보기

거리 대신 거리의 제곱을 최소로 만들면 근호 없이 편하게 풀려요.

1
왜 이렇게 할까요? 직선 위의 점은 $(x,\,5-2x)$ 로 쓸 수 있어서 변수가 $x$ 하나뿐이에요. 거리가 최소일 때 거리의 제곱도 최소이므로, 근호가 있는 거리 대신 제곱을 써요.
2
거리의 제곱을 식으로 써요. $D(x)=x^2+(5-2x)^2=5x^2-20x+25$
3
미분해서 0 이 되는 곳을 찾아요. $D'(x)=10x-20=0\;\Longrightarrow\;x=2$
4
최솟값인지 확인해요. $D''(x)=10>0$ 이므로 아래로 볼록한 이차함수라서 $x=2$ 에서 최소예요.
5
점의 좌표를 구해요. $y=5-2\cdot2=1$ 이므로 가장 가까운 점은 $(2,1)$ 이에요.

답

$(2,1)$

자주 하는 실수

거리 $\sqrt{x^2+y^2}$ 을 그대로 미분하느라 식이 복잡해지거나, $x$ 만 구하고 $y$ 좌표를 쓰지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

$(2,1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

4.CLP-1 · 3.5절 · 4번우리말 번역

$f(x)=x^2+6x-10$ 이다. 구간 $[-5,5]$ 에서 최댓값과 최솟값을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

$f(x)=x^2+6x-10$ . Find all global extrema on the interval $[-5,5]$

정답·풀이 보기

최댓값과 최솟값은 구간 $(-5,5)$ 안의 임계점이나 특이점, 또는 끝점 $x=5,\,x=-5$ 에서 나타난다.

$f'(x)=2x+6$ 이다. 이는 모든 실수에서 정의되므로 특이점은 없다. $f'(x)=0$ 인 경우는 $x=-3$ 일 때뿐이다. 이 값은 구간 $[-5,5]$ 안에 있다. 따라서 확인할 점은 $x=-3,\,x=-5$ , 그리고 $x=5$ 이다.

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -5 & 5 \\ \hline \text{종류} & \text{임계점} & \text{끝점} & \text{끝점} \\ \hline f(c) & -19 & -15 & 45 \\ \hline \end{array}$

최댓값은 $x=5$ 에서 45 이고, 최솟값은 $x=-3$ 에서 $-19$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Global extrema will occur at critical or singular points in the interval $(-5,5)$ or at the endpoints $x=5,\,x=-5$ .

$f'(x)=2x+6$ . Since this is defined for all real numbers, there are no singular points. The only time $f'(x)=0$ is when $x=-3$ . This is inside the interval $[-5,5]$ . So, our points to check are $x=-3,\,x=-5,$ and $x=5$ .

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -5 & 5 \\ \hline \text{type} & \text{critical point} & \text{endpoint} & \text{endpoint} \\ \hline f(c) & -19 & -15 & 45 \\ \hline \end{array}$

The global maximum is 45 at $x=5$ and the global minimum is $-19$ at $x=-3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 5번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산보통자동 분류

5.CLP-1 · 3.5절 · 5번우리말 번역

$f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-2x^2-30x+7$ . 구간 $[-4,0]$ 에서 모든 최댓값과 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

$f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-2x^2-30x+7$ . Find all global extrema on the interval $[-4,0]$ .

정답·풀이 보기

최댓값과 최솟값은 구간의 양 끝점 $x=-4$ , $x=0$ 에서 나타나거나, 구간 안의 특이점 또는 임계점에서 나타난다. $f(x)$ 는 다항식이므로 모든 점에서 미분가능하고, 따라서 특이점은 없다. 임계점을 구하기 위해 도함수를 0과 같다고 놓는다.

$\begin{aligned} f'(x)&=2x^2-4x-30\\ 0&=2x^2-4x-30 &=(2x-10)(x+3)\\ x&=5,\,-3 \end{aligned}$

구간 안에 있는 임계점은 $x=-3$ 뿐이다.

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -4 & 0 \\ \hline \text{종류} & \text{임계점} & \text{끝점} & \text{끝점} \\ \hline f(c) & 61 & \frac{157}{3}=52+\frac{1}{3} & 7 \\ \hline \end{array}$

이 구간에서 최댓값은 $x=-3$ 일 때 $61$ 이고, 최솟값은 $x=0$ 일 때 $7$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Global extrema will occur at the endpoints of the interval, $x=-4$ and $x=0$ , or at singular or critical points inside the interval. Since $f(x)$ is a polynomial, it is differentiable everywhere, so there are no singular points. To find the critical points, we set the derivative equal to zero.

$\begin{aligned} f'(x)&=2x^2-4x-30\\ 0&=2x^2-4x-30 &=(2x-10)(x+3)\\ x&=5,\,-3 \end{aligned}$

The only critical point inside the interval is $x=-3$ .

$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline c & -3 & -4 & 0 \\ \hline \text{type} & \text{critical point} & \text{endpoint} & \text{endpoint} \\ \hline f(c) & 61 & \frac{157}{3}=52+\frac{1}{3} & 7 \\ \hline \end{array}$

The global maximum over the interval is $61$ at $x=-3$ , and the global minimum is $7$ at $x=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 2번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산보통자동 분류