문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

평균변화율과 미분계수

평균변화율과 순간변화율(미분계수)의 뜻, 접선의 기울기로서의 미분계수를 이해한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 위치함수 $y=s(t)$ 로 직선 위를 움직이는 물체가 있어요. 여기서 $t$ 는 초, $s$ 는 미터 단위예요. 다음을 구하세요.

a. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지의 평균속도를 간단히 나타낸 식 b. $t=2$ 와 $t=2+h$ 사이의 평균속도. 단, (i) $h=0.1$ , (ii) $h=0.01$ , (iii) $h=0.001$ , (iv) $h=0.0001$ c. a의 결과를 이용해 $t=2$ 초에서의 순간속도를 어림하기

$s(t)=2t^3+3$

영어 원문 보기

[T] For the following position functions $y=s(t),$ an object is moving along a straight line, where $t$ is in seconds and $s$ is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from $t=2$ to $t=2+h;$ b. the average velocity between $t=2$ and $t=2+h,$ where $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001,$ and $\text{(iv)}\,h=0.0001;$ and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at $t=2$ second.

$s(t)=2{t}^{3}+3$

풀이 보기

평균속도는 (위치의 변화량)÷(걸린 시간)이고, 시간 간격 $h$ 를 0에 가깝게 하면 순간속도(미분계수)에 가까워져요.

1
평균속도의 식을 세워요. 평균속도는 위치가 얼마나 변했는지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지 걸린 시간은 $h$ 이므로 $\frac{s(2+h)-s(2)}{h}$ 를 계산하면 돼요. 먼저 $s(2)=2\cdot 2^3+3=19$ 예요.
2
$s(2+h)$ 를 전개해요. $(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3$ 이므로 $s(2+h)=2(8+12h+6h^2+h^3)+3=19+24h+12h^2+2h^3$ 예요. 그러면 $s(2+h)-s(2)=24h+12h^2+2h^3$ 이에요.
3
$h$ 로 나누어 간단히 해요. 분자의 모든 항에 $h$ 가 들어 있으니 약분할 수 있어요. $\frac{24h+12h^2+2h^3}{h}=24+12h+2h^2=2(h^2+6h+12)$ 이것이 a의 답이에요.
4
b: $h$ 값을 차례로 넣어요. $2(h^2+6h+12)$ 에 대입하면
- $h=0.1$ : $2(0.01+0.6+12)=25.22$ (m/s)
- $h=0.01$ : $2(0.0001+0.06+12)=24.1202\approx 24.12$ (m/s)
- $h=0.001$ : $24.012\approx 24.01$ (m/s)
- $h=0.0001$ : $24.0012\approx 24.00$ (m/s)
5
c: 값이 어디로 다가가는지 봐요. $h$ 가 작아질수록 평균속도가 $24$ 에 가까워져요. 식으로도 $h\to 0$ 이면 $2(h^2+6h+12)\to 2\cdot 12=24$ 예요. 그러므로 $t=2$ 초의 순간속도는 $24$ m/s 예요.

답

a. $2(h^2+6h+12)$ b. (i) $25.22$ m/s (ii) $24.12$ m/s (iii) $24.01$ m/s (iv) $24$ m/s c. $24$ m/s

자주 하는 실수

$(2+h)^3$ 을 $8+h^3$ 으로 잘못 전개하는 실수가 많아요. $12h+6h^2$ 항을 꼭 챙기세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $2({h}^{2}+6h+12);$ b. $\text{(i)}\,25.22$ m/s, $\text{(ii)}\,24.12$ m/s, $\text{(iii)}\,24.01$ m/s, $\text{(iv)}\,24$ m/s; c. $24$ m/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번

# 평균변화율과 미분계수활용보통

2.OpenStax 1권 · 3.4절 · 18번우리말 풀이

[계산기 사용]

a. 계산기나 컴퓨터 프로그램으로 인구를 가장 잘 나타내는 일차함수(최적 직선)를 구하세요. b. a에서 구한 식을 미분하고, 그 물리적 의미를 설명하세요. c. 그 식의 이계도함수를 구하고, 그 물리적 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T]

a. Using a calculator or a computer program, find the best-fit linear function to measure the population. b. Find the derivative of the equation in a. and explain its physical meaning. c. Find the second derivative of the equation and explain its physical meaning.

풀이 보기

일차함수 $P(t)=at+b$ 의 도함수는 기울기 $a$ 하나뿐이고, 이계도함수는 $0$ 이에요.

1
(a) 문제의 자료 표를 계산기에 입력해 일차 회귀(최소제곱 직선)를 구해요. 결과는 $P(t)=0.03983t+0.4280$ 이에요.
2
(b) 일차함수 $at+b$ 를 미분하면 상수 $a$ 예요. $P'(t)=0.03983$ 이고, 이 값은 양수이므로 인구가 시간에 따라 증가하고 있다는 뜻이에요. 증가 속도는 단위 시간당 약 $0.03983$ 이에요.
3
(c) 상수를 미분하면 $0$ 이므로 $P''(t)=0$ 이에요. 인구가 증가하는 속도가 변하지 않고 일정하다는 뜻이에요.

답

(a) $P(t)=0.03983t+0.4280$ (b) $P'(t)=0.03983$ , 인구가 증가하고 있다 (c) $P''(t)=0$ , 증가 속도가 일정하다

자주 하는 실수

$P'(t)$ 가 양수이니 $P''(t)$ 도 양수라고 착각해요. 이계도함수는 증가 속도가 변하는 정도이고, 직선이면 $0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $P(t)=0.03983+0.4280$ b. ${P}^{'}(t)=0.03983.$ The population is increasing. c. ${P}^{''}(t)=0.$ The rate at which the population is increasing is constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번

# 평균변화율과 미분계수활용보통