빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

평균변화율과 미분계수

평균변화율과 순간변화율(미분계수)의 뜻, 접선의 기울기로서의 미분계수를 이해한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

20문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 위치함수 y=s(t)y=s(t) 로 직선 위를 움직이는 물체가 있어요. 여기서 tt 는 초, ss 는 미터 단위예요. 다음을 구하세요.

a. t=2t=2 에서 t=2+ht=2+h 까지의 평균속도를 간단히 나타낸 식 b. t=2t=2 와 t=2+ht=2+h 사이의 평균속도. 단, (i) h=0.1h=0.1, (ii) h=0.01h=0.01, (iii) h=0.001h=0.001, (iv) h=0.0001h=0.0001 c. a의 결과를 이용해 t=2t=2 초에서의 순간속도를 어림하기

s(t)=2t3+3s(t)=2t^3+3

영어 원문 보기

[T] For the following position functions y=s(t),y=s(t), an object is moving along a straight line, where tt is in seconds and ss is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from t=2t=2 to t=2+h;t=2+h; b. the average velocity between t=2t=2 and t=2+h,t=2+h, where (i) h=0.1,\text{(i)}\,h=0.1, (ii) h=0.01,\text{(ii)}\,h=0.01, (iii) h=0.001,\text{(iii)}\,h=0.001, and (iv) h=0.0001;\text{(iv)}\,h=0.0001; and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at t=2t=2 second.

s(t)=2t3+3s(t)=2{t}^{3}+3

풀이 보기

평균속도는 (위치의 변화량)÷(걸린 시간)이고, 시간 간격 hh 를 0에 가깝게 하면 순간속도(미분계수)에 가까워져요.

  1. 1

    평균속도의 식을 세워요. 평균속도는 위치가 얼마나 변했는지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. t=2t=2 에서 t=2+ht=2+h 까지 걸린 시간은 hh 이므로 s(2+h)−s(2)h\frac{s(2+h)-s(2)}{h} 를 계산하면 돼요. 먼저 s(2)=2⋅23+3=19s(2)=2\cdot 2^3+3=19 예요.

  2. 2

    s(2+h)s(2+h) 를 전개해요. (2+h)3=8+12h+6h2+h3(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3 이므로 s(2+h)=2(8+12h+6h2+h3)+3=19+24h+12h2+2h3s(2+h)=2(8+12h+6h^2+h^3)+3=19+24h+12h^2+2h^3 예요. 그러면 s(2+h)−s(2)=24h+12h2+2h3s(2+h)-s(2)=24h+12h^2+2h^3 이에요.

  3. 3

    hh 로 나누어 간단히 해요. 분자의 모든 항에 hh 가 들어 있으니 약분할 수 있어요. 24h+12h2+2h3h=24+12h+2h2=2(h2+6h+12)\frac{24h+12h^2+2h^3}{h}=24+12h+2h^2=2(h^2+6h+12) 이것이 a의 답이에요.

  4. 4

    b: hh 값을 차례로 넣어요. 2(h2+6h+12)2(h^2+6h+12) 에 대입하면

    • h=0.1h=0.1: 2(0.01+0.6+12)=25.222(0.01+0.6+12)=25.22 (m/s)
    • h=0.01h=0.01: 2(0.0001+0.06+12)=24.1202≈24.122(0.0001+0.06+12)=24.1202\approx 24.12 (m/s)
    • h=0.001h=0.001: 24.012≈24.0124.012\approx 24.01 (m/s)
    • h=0.0001h=0.0001: 24.0012≈24.0024.0012\approx 24.00 (m/s)
  5. 5

    c: 값이 어디로 다가가는지 봐요. hh 가 작아질수록 평균속도가 2424 에 가까워져요. 식으로도 h→0h\to 0 이면 2(h2+6h+12)→2⋅12=242(h^2+6h+12)\to 2\cdot 12=24 예요. 그러므로 t=2t=2 초의 순간속도는 2424 m/s 예요.

답

a. 2(h2+6h+12)2(h^2+6h+12) b. (i) 25.2225.22 m/s (ii) 24.1224.12 m/s (iii) 24.0124.01 m/s (iv) 2424 m/s c. 2424 m/s

자주 하는 실수

(2+h)3(2+h)^3 을 8+h38+h^3 으로 잘못 전개하는 실수가 많아요. 12h+6h212h+6h^2 항을 꼭 챙기세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 2(h2+6h+12);2({h}^{2}+6h+12); b. (i) 25.22\text{(i)}\,25.22 m/s, (ii) 24.12\text{(ii)}\,24.12 m/s, (iii) 24.01\text{(iii)}\,24.01 m/s, (iv) 24\text{(iv)}\,24 m/s; c. 2424 m/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번
# 평균변화율과 미분계수활용보통
2.OpenStax 1권 · 3.4절 · 18번우리말 풀이

[계산기 사용]

a. 계산기나 컴퓨터 프로그램으로 인구를 가장 잘 나타내는 일차함수(최적 직선)를 구하세요. b. a에서 구한 식을 미분하고, 그 물리적 의미를 설명하세요. c. 그 식의 이계도함수를 구하고, 그 물리적 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T]

a. Using a calculator or a computer program, find the best-fit linear function to measure the population. b. Find the derivative of the equation in a. and explain its physical meaning. c. Find the second derivative of the equation and explain its physical meaning.

풀이 보기

일차함수 P(t)=at+bP(t)=at+b의 도함수는 기울기 aa 하나뿐이고, 이계도함수는 00이에요.

  1. 1

    (a) 문제의 자료 표를 계산기에 입력해 일차 회귀(최소제곱 직선)를 구해요. 결과는 P(t)=0.03983t+0.4280P(t)=0.03983t+0.4280이에요.

  2. 2

    (b) 일차함수 at+bat+b를 미분하면 상수 aa예요. P′(t)=0.03983P'(t)=0.03983이고, 이 값은 양수이므로 인구가 시간에 따라 증가하고 있다는 뜻이에요. 증가 속도는 단위 시간당 약 0.039830.03983이에요.

  3. 3

    (c) 상수를 미분하면 00이므로 P′′(t)=0P''(t)=0이에요. 인구가 증가하는 속도가 변하지 않고 일정하다는 뜻이에요.

답

(a) P(t)=0.03983t+0.4280P(t)=0.03983t+0.4280 (b) P′(t)=0.03983P'(t)=0.03983, 인구가 증가하고 있다 (c) P′′(t)=0P''(t)=0, 증가 속도가 일정하다

자주 하는 실수

P′(t)P'(t)가 양수이니 P′′(t)P''(t)도 양수라고 착각해요. 이계도함수는 증가 속도가 변하는 정도이고, 직선이면 00이에요.

원본 교재 풀이(영어)

a. P(t)=0.03983+0.4280P(t)=0.03983+0.4280 b. P′(t)=0.03983.{P}^{'}(t)=0.03983. The population is increasing. c. P′′(t)=0.{P}^{''}(t)=0. The rate at which the population is increasing is constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번
# 평균변화율과 미분계수활용보통
3.OpenStax 1권 · 3.1절 · 35번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 위치 함수 y=s(t)y=s(t) 에 대하여 물체가 직선을 따라 움직이고 있습니다. 여기서 tt 의 단위는 초, ss 의 단위는 미터입니다. 다음을 구하세요.

a. t=2t=2 에서 t=2+ht=2+h 까지의 평균 속도를 간단히 한 식;; b. t=2t=2 와 t=2+ht=2+h 사이의 평균 속도. 여기서 (i) h=0.1,\text{(i)}\,h=0.1, (ii) h=0.01,\text{(ii)}\,h=0.01, (iii) h=0.001\text{(iii)}\,h=0.001, 그리고 (iv) h=0.0001\text{(iv)}\,h=0.0001 일 때 c. a의 답을 이용하여 t=2t=2 초에서의 순간 속도를 어림하세요.

s(t)=13t+5s(t)=\frac{1}{3}t+5

영어 원문 보기

[T] For the following position functions y=s(t),y=s(t), an object is moving along a straight line, where tt is in seconds and ss is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from t=2t=2 to t=2+h;t=2+h; b. the average velocity between t=2t=2 and t=2+h,t=2+h, where (i) h=0.1,\text{(i)}\,h=0.1, (ii) h=0.01,\text{(ii)}\,h=0.01, (iii) h=0.001,\text{(iii)}\,h=0.001, and (iv) h=0.0001;\text{(iv)}\,h=0.0001; and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at t=2t=2 second.

s(t)=13t+5s(t)=\frac{1}{3}t+5

정답·풀이 보기

a. 13;\frac{1}{3}; b. (i) 0.3−\text{(i)}\,0.\overset{-}{3} m/s, (ii) 0.3−\text{(ii)}\,0.\overset{-}{3} m/s, (iii) 0.3−\text{(iii)}\,0.\overset{-}{3} m/s, (iv) 0.3−\text{(iv)}\,0.\overset{-}{3} m/s; c. 0.3−=130.\overset{-}{3}=\frac{1}{3} m/s

원본 교재 풀이(영어)

a. 13;\frac{1}{3}; b. (i) 0.3−\text{(i)}\,0.\overset{-}{3} m/s, (ii) 0.3−\text{(ii)}\,0.\overset{-}{3} m/s, (iii) 0.3−\text{(iii)}\,0.\overset{-}{3} m/s, (iv) 0.3−\text{(iv)}\,0.\overset{-}{3} m/s; c. 0.3−=130.\overset{-}{3}=\frac{1}{3} m/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 21번
# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 1권 · 3.1절 · 36번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 위치 함수 y=s(t)y=s(t) 에 대하여 물체가 직선을 따라 움직이고 있습니다. 여기서 tt 의 단위는 초, ss 의 단위는 미터입니다. 다음을 구하세요.

a. t=2t=2 에서 t=2+ht=2+h 까지의 평균 속도를 간단히 한 식;; b. t=2t=2 와 t=2+ht=2+h 사이의 평균 속도. 여기서 (i) h=0.1,\text{(i)}\,h=0.1, (ii) h=0.01,\text{(ii)}\,h=0.01, (iii) h=0.001\text{(iii)}\,h=0.001, 그리고 (iv) h=0.0001\text{(iv)}\,h=0.0001 일 때 c. a의 답을 이용하여 t=2t=2 초에서의 순간 속도를 어림하세요.

s(t)=t2−2ts(t)={t}^{2}-2t

영어 원문 보기

[T] For the following position functions y=s(t),y=s(t), an object is moving along a straight line, where tt is in seconds and ss is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from t=2t=2 to t=2+h;t=2+h; b. the average velocity between t=2t=2 and t=2+h,t=2+h, where (i) h=0.1,\text{(i)}\,h=0.1, (ii) h=0.01,\text{(ii)}\,h=0.01, (iii) h=0.001,\text{(iii)}\,h=0.001, and (iv) h=0.0001;\text{(iv)}\,h=0.0001; and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at t=2t=2 second.

s(t)=t2−2ts(t)={t}^{2}-2t

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 1번
# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 1권 · 3.1절 · 38번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 위치 함수 y=s(t)y=s(t) 에 대하여 물체가 직선을 따라 움직이고 있습니다. 여기서 tt 의 단위는 초, ss 의 단위는 미터입니다. 다음을 구하세요.

a. t=2t=2 에서 t=2+ht=2+h 까지의 평균 속도를 간단히 한 식;; b. t=2t=2 와 t=2+ht=2+h 사이의 평균 속도. 여기서 (i) h=0.1,\text{(i)}\,h=0.1, (ii) h=0.01,\text{(ii)}\,h=0.01, (iii) h=0.001\text{(iii)}\,h=0.001, 그리고 (iv) h=0.0001\text{(iv)}\,h=0.0001 일 때 c. a의 답을 이용하여 t=2t=2 초에서의 순간 속도를 어림하세요.

s(t)=16t2−4ts(t)=\frac{16}{{t}^{2}}-\frac{4}{t}

영어 원문 보기

[T] For the following position functions y=s(t),y=s(t), an object is moving along a straight line, where tt is in seconds and ss is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from t=2t=2 to t=2+h;t=2+h; b. the average velocity between t=2t=2 and t=2+h,t=2+h, where (i) h=0.1,\text{(i)}\,h=0.1, (ii) h=0.01,\text{(ii)}\,h=0.01, (iii) h=0.001,\text{(iii)}\,h=0.001, and (iv) h=0.0001;\text{(iv)}\,h=0.0001; and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at t=2t=2 second.

s(t)=16t2−4ts(t)=\frac{16}{{t}^{2}}-\frac{4}{t}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 8번
# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 1권 · 3.1절 · 45번우리말 번역

[계산기 사용] 직선 트랙을 달리는 경주용 자동차의 tt초 후 위치(단위: 피트)가 함수 s(t)=8t2−116t3s(t)=8{t}^{2}-\frac{1}{16}{t}^{3} 으로 모델링된다.

a. 다음 각 시간 구간에서 자동차의 평균 속도를 소수 넷째 자리까지 구하세요. ⅰ. [4, 4.1] ⅱ. [4, 4.01] ⅲ. [4, 4.001] ⅳ. [4, 4.0001] b. a.의 결과를 이용하여 t=4t=4초일 때 자동차의 순간 속도에 대한 결론을 내리세요.

영어 원문 보기

[T] The position in feet of a race car along a straight track after tt seconds is modeled by the function s(t)=8t2−116t3.s(t)=8{t}^{2}-\frac{1}{16}{t}^{3}.

a. Find the average velocity of the vehicle over the following time intervals to four decimal places: i. [4, 4.1] ii. [4, 4.01] iii. [4, 4.001] iv. [4, 4.0001] b. Use a. to draw a conclusion about the instantaneous velocity of the vehicle at t=4t=4 seconds.

정답·풀이 보기

a. (i) 61.7244\text{(i)}\,61.7244 ft/s, (ii) 61.0725\text{(ii)}\,61.0725 ft/s (iii) 61.0072\text{(iii)}\,61.0072 ft/s (iv) 61.0007\text{(iv)}\,61.0007 ft/s b. 44초일 때 경주용 자동차는 6161 ft/s의 속도로 달리고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. (i) 61.7244\text{(i)}\,61.7244 ft/s, (ii) 61.0725\text{(ii)}\,61.0725 ft/s (iii) 61.0072\text{(iii)}\,61.0072 ft/s (iv) 61.0007\text{(iv)}\,61.0007 ft/s b. At 44 seconds the race car is traveling at a rate/velocity of 6161 ft/s.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.1절 · 11번
# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 1권 · 3.1절 · 46번우리말 번역

[계산기 사용] 공이 경사면을 따라 굴러 내려간 거리(피트)가 함수 s(t)=14t2s(t)=14{t}^{2} 로 모델링됩니다. 여기서 t 는 공이 구르기 시작한 후의 시간(초)입니다.

a. 다음 시간 구간에서 공의 평균 속도를 구하세요. i. [5, 5.1] ii. [5, 5.01] iii. [5, 5.001] iv. [5, 5.0001] b. a의 답을 이용하여 t=5t=5초일 때 공의 순간 속도에 대한 결론을 내리세요.

영어 원문 보기

[T] The distance in feet that a ball rolls down an incline is modeled by the function s(t)=14t2,s(t)=14{t}^{2}, where t is seconds after the ball begins rolling.

a. Find the average velocity of the ball over the following time intervals: i. [5, 5.1] ii. [5, 5.01] iii. [5, 5.001] iv. [5, 5.0001] b. Use the answers from a. to draw a conclusion about the instantaneous velocity of the ball at t=5t=5 seconds.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 4번
# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 1권 · 3.1절 · 48번우리말 번역

[계산기 사용] 마요네즈 xx 천 병을 생산하는 데 드는 총비용 C(x)C(x) (단위: 백 달러)는 C(x)=0.000003x3+4x+300C(x)=0.000003{x}^{3}+4x+300 으로 주어진다.

a. 다음 구간에서 병당 평균 비용을 구하세요. ⅰ. [100, 100.1] ⅱ. [100, 100.01] ⅲ. [100, 100.001] ⅳ. [100, 100.0001] b. a.에서 구한 답을 이용하여 마요네즈 100,000100,000 병을 생산하는 데 드는 평균 비용을 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] The total cost C(x),C(x), in hundreds of dollars, to produce xx thousand jars of mayonnaise is given by C(x)=0.000003x3+4x+300.C(x)=0.000003{x}^{3}+4x+300.

a. Calculate the average cost per jar over the following intervals: i. [100, 100.1] ii. [100, 100.01] iii. [100, 100.001] iv. [100, 100.0001] b. Use the answers from a. to estimate the average cost to produce 100,000100,000 jars of mayonnaise.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 3번
# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.APEX · 2.2절 · 11번우리말 번역

v(t)v(t) 는 직선으로 움직이는 자동차가 출발한 지 tt 초 후의 속도(ft/s)를 나타낸다고 하자. v′(t)v'(t) 의 단위는 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

Let v(t)v(t) measure the velocity, in ft/s, of a car moving in a straight line tt seconds after starting. What are the units of v′(t)v'(t)?

정답·풀이 보기

ft/s2^2

원본 교재 풀이(영어)

ft/s2^2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 10번
# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.APEX · 2.2절 · 12번우리말 번역

강의 수위 HH(피트)를 4월 1일 자정으로부터 tt시간 후에 기록한다. H′(t)H'(t)의 단위는 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

The height HH, in feet, of a river is recorded tt hours after midnight, April 1. What are the units of H′(t)H'(t)?

정답·풀이 보기

ft/h

원본 교재 풀이(영어)

ft/h

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 11번
# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.APEX · 2.2절 · 13번우리말 번역

PP는 자동차 cc대를 생산하여 판매할 때의 이익(단위: 천 달러)이다.

(a) P′(c)P'(c)의 단위는 무엇인지 구하세요. (b) P(0)P(0)에 대해 참일 가능성이 높은 것은 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

PP is the profit, in thousands of dollars, of producing and selling cc cars.

(a) What are the units of P′(c)P'(c)? (b) What is likely true of P(0)P(0)?

정답·풀이 보기

(a) 자동차 1대당 천 달러 (b) P(0)<0P(0)<0일 가능성이 높다. 즉, 자동차를 하나도 생산하지 않으면 이익이 음수이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) thousands of dollars per car (b) It is likely that P(0)<0P(0)<0. That is, negative profit for not producing any cars.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 12번
# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.APEX · 2.2절 · 14번우리말 번역

TT는 네브래스카주 시드니에서 7월 4일 자정으로부터 hh시간 후의 기온(단위: 화씨 온도)이다.

(a) T′(h)T'(h)의 단위는 무엇인지 구하세요. (b) T′(8)T'(8)은 0보다 클 가능성이 높은지, 작을 가능성이 높은지 판단하고, 그 이유를 설명하세요. (c) T(8)T(8)은 0보다 클 가능성이 높은지, 작을 가능성이 높은지 판단하고, 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

TT is the temperature in degrees Fahrenheit, hh hours after midnight on July 4 in Sidney, NE.

(a) What are the units of T′(h)T'(h)? (b) Is T′(8)T'(8) likely greater than or less than 0? Why? (c) Is T(8)T(8) likely greater than or less than 0? Why?

정답·풀이 보기

(a) 1시간당 화씨 온도 (b) 오전 8시에는 기온이 오르고 있을 가능성이 높으므로 T′(8)>0T'(8)>0일 가능성이 높다. (c) 7월 4일 오전 8시에는 기온이 0보다 훨씬 높을 것으로 예상되므로 T(8)>0T(8)>0일 가능성이 매우 높다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) degrees Fahrenheit per hour (b) It is likely that T′(8)>0T'(8)>0 since at 8 in the morning, the temperature is likely rising. (c) It is very likely that T(8)>0T(8)>0, as at 8 in the morning on July 4, we would expect the temperature to be well above 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 3번
# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.CLP-1 · 2.3절 · 2번우리말 번역

p(t)p(t) 가 위젯 tt 개를 판매하여 얻는 이익을 나타내는 함수라고 하자. p′(t)p'(t) 의 실제적인 의미는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose p(t)p(t) is a function that gives the profit generated by selling tt widgets. What is the practical interpretation of p′(t)p'(t)?

정답·풀이 보기

p′(t)=lim⁡h→0p(t+h)−p(t)h≈p(t+1)−p(t)1=p(t+1)−p(t)p'(t) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{p(t+h)-p(t)}{h} \approx \frac{p(t+1)-p(t)}{1} = p(t+1)-p(t) 이므로, (t+1)st(t+1)^{\mathrm{st}} 번째 위젯을 판매함으로써 생기는 이익의 차이이다. 따라서 p′(t)p'(t) 는 (t+1)st(t+1)^{\mathrm{st}} 번째 위젯에서 얻는 이익이다. 즉, p′(t)p'(t) 는 tt 개의 위젯이 판매되고 있을 때 위젯 한 개를 추가로 판매할 때마다 늘어나는 이익이다. 이를 tt 개의 위젯이 판매되고 있을 때의 위젯당 한계이익이라고 한다.

원본 교재 풀이(영어)

p′(t)=lim⁡h→0p(t+h)−p(t)h≈p(t+1)−p(t)1=p(t+1)−p(t)p'(t) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{p(t+h)-p(t)}{h} \approx \frac{p(t+1)-p(t)}{1} = p(t+1)-p(t), or the difference in profit caused by the sale of the (t+1)st(t+1)^{\mathrm{st}} widget. So, p′(t)p'(t) is the profit from the (t+1)st(t+1)^{\mathrm{st}} widget. That is, p′(t)p'(t) is the profit per additional widget sold, when tt widgets are being sold. This is called the marginal profit per widget, when tt widgets are being sold.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.1절 · 3번
# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류
14.CLP-1 · 2.3절 · 3번우리말 번역

T(d)T(d) 는 수면 아래 dd 미터의 특정 위치에서 물의 온도를 나타낸다. T′(d)T'(d) 의 물리적 의미는 무엇인지 설명하세요. T′(d)T'(d) 의 크기는 dd 가 0 에 가까울 때와 dd 가 매우 클 때 중 어느 쪽에서 더 클 것으로 예상하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

T(d)T(d) gives the temperature of water at a particular location dd metres below the surface. What is the physical interpretation of T′(d)T'(d)? Would you expect the magnitude of T′(d)T'(d) to be larger when dd is near 0, or when dd is very large?

정답·풀이 보기

깊이가 단위 길이만큼 변할 때 온도가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타내며, 단위는 도/미터이다. 보통의 물에서는 수면(d=0d=0) 근처의 온도는 햇빛에 따라 꽤 변하지만, 깊은 곳에서는 (열원이 없는 한) 더 안정적이다. 따라서 ∣T′(d)∣|T'(d)| 는 dd 가 0 에 가까울 때 더 클 것이라고 예상하는 것이 합리적이다.

원본 교재 풀이(영어)

How quickly the temperature is changing per unit change of depth, measured in degrees per metre. In an ordinary body of water, the temperature near the surface (d=0d=0) is pretty variable, depending on the sun, but deep down it is more stable (unless there are heat sources). So, one might reasonably expect that ∣T′(d)∣|T'(d)| is larger when dd is near 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 2번
# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류
15.CLP-1 · 2.3절 · 5번우리말 번역

시각 tt 에서 움직이는 물체의 속도가 v(t)v(t) 로 주어진다. v′(t)v'(t) 는 무엇인가요?

영어 원문 보기

The velocity of a moving object at time tt is given by v(t)v(t). What is v′(t)v'(t)?

정답·풀이 보기

속도의 변화율은 가속도이다. (속도가 증가하면 가속하고 있는 것이고, 속도가 감소하면 음의 가속도를 가진다.)

원본 교재 풀이(영어)

The rate of change of velocity is acceleration. (If your velocity is increasing, you're accelerating; if your velocity is decreasing, you have negative acceleration.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 4번
# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류
16.CLP-1 · 2.3절 · 6번우리말 번역

함수 T(j)T(j) 는 물 한 컵에 jj 줄의 열을 가했을 때의 물의 온도를 섭씨 온도(도)로 나타낸다. T′(j)T'(j) 는 무엇인가요?

영어 원문 보기

The function T(j)T(j) gives the temperature in degrees Celsius of a cup of water after jj joules of heat have been added. What is T′(j)T'(j)?

정답·풀이 보기

이 경우 변화율은 가해 준 열과 온도 변화 사이의 관계가 된다. lim⁡h→0T(j+h)−T(j)h≈T(j+1)−T(j)1=T(j+1)−T(j)\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{T(j+h)-T(j)}{h} \approx \dfrac{T(j+1)-T(j)}{1}=T(j+1)-T(j) 이므로, 1줄의 열을 가한 뒤의 온도 변화량이다. (이것은 열용량 및 비열과 밀접하게 관련되어 있으며, 위키백과에 이에 대한 좋은 설명이 있다.)

원본 교재 풀이(영어)

The rate of change in this case will be the relationship between the heat added and the temperature change. lim⁡h→0T(j+h)−T(j)h≈T(j+1)−T(j)1=T(j+1)−T(j)\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{T(j+h)-T(j)}{h} \approx \dfrac{T(j+1)-T(j)}{1}=T(j+1)-T(j), or the change in temperature after the application of one joule. (This is closely related to heat capacity and to specific heat — there's a nice explanation of this on Wikipedia.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 3번
# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류
17.CLP-1 · 2.3절 · 7번우리말 번역

일정한 시간 동안 온도 TT 에 둔 세균 집단이 P(T)P(T) 개체로 늘어난다. P′(T)P'(T) 의 의미를 해석하세요.

영어 원문 보기

A population of bacteria, left for a fixed amount of time at temperature TT, grows to P(T)P(T) individuals. Interpret P′(T)P'(T).

정답·풀이 보기

늘 그렇듯이 도함수의 정의를 생각해 보면 도움이 된다. P′(T)=lim⁡h→0P(T+h)=P(T)h≈P(T+1)−P(t)1=P(T+1)−P(T).P'(T) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{P(T+h)=P(T)}{h} \approx \dfrac{P(T+1)-P(t)}{1} = P(T+1)-P(T). 이것은 온도가 1도 차이 나는 두 가상의 집단 사이의 개체 수 차이이다. 따라서 이는 온도가 더 높은 실험에서 추가로 존재하는 개체의 수이다(세균이 좋아하는 온도보다 더 높은 조건에서는 예상할 수 있듯이 이 수가 음수일 수도 있다). 그러므로 P′(T)P'(T) 는 온도 1도당 집단에 추가되는 세균의 수이다.

원본 교재 풀이(영어)

As usual, it is instructive to think about the definition of the derivative: P′(T)=lim⁡h→0P(T+h)=P(T)h≈P(T+1)−P(t)1=P(T+1)−P(T).P'(T) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{P(T+h)=P(T)}{h} \approx \dfrac{P(T+1)-P(t)}{1} = P(T+1)-P(T). This is the difference in population between two hypothetical populations, raised one degree in temperature apart. So, it is the number of extra individuals that exist in the hotter experiment (with the understanding that this number could be negative, as one would expect in conditions that are hotter than the bacteria prefer). So P′(T)P'(T) is the number of bacteria added to the colony per degree.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 6번
# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류
18.CLP-1 · 2.3절 · 8번우리말 번역

나무 수레바퀴에 작은 못을 박습니다. R(t)R(t) 는 수레가 구르기 시작한 지 tt초 후까지 못이 회전한 횟수를 나타냅니다. 못이 얼마나 빠르게 회전하는지를 초당 도 단위로 나타내는 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

You hammer a small nail into a wooden wagon wheel. R(t)R(t) gives the number of rotations the nail has undergone tt seconds after the wagon started to roll. Give an equation for how quickly the nail is rotating, measured in degrees per second.

정답·풀이 보기

R′(t)R'(t) 는 바퀴가 회전하는 속도(변화율)을 초당 회전수로 나타낸 것이다. 이를 도 단위로 바꾸려면 360을 곱하면 되므로 360R′(t)\boxed{360R'(t)} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

R′(t)R'(t) is the rate at which the wheel is rotating measured in rotations per second. To convert to degrees, we multiply by 360: 360R′(t)\boxed{360R'(t)}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 5번
# 평균변화율과 미분계수활용도전자동 분류
19.Active Calculus · 1.5절 · 7번우리말 번역

환자에게 약물을 투여량 qq (단위: 밀리리터)만큼 투여했을 때 생기는 체온 변화 TT (단위: 화씨 도)는 함수 T=f(q)T = f(q) 로 주어진다.

(a) f(50)=0.75f(50) = 0.75 라고 하는 것은 무엇을 뜻하는지 단위를 바르게 사용하여 완전한 문장으로 설명하세요. (b) 약물에 대한 사람의 민감도 ss 는 함수 s(q)=f′(q)s(q) = f'(q) 로 정의된다. 민감도의 단위는 무엇인지 구하세요. (c) f′(50)=−0.02f'(50) = -0.02 라고 하자. 이 값의 의미를 완전한 문장으로 설명하세요. 답에 (a)에서 주어진 정보를 포함하세요.

영어 원문 보기

The temperature change TT (in Fahrenheit degrees), in a patient, that is generated by a dose qq (in milliliters), of a drug, is given by the function T=f(q)T = f(q).

(a) What does it mean to say f(50)=0.75f(50) = 0.75? Write a complete sentence to explain, using correct units. (b) A person's sensitivity, ss, to the drug is defined by the function s(q)=f′(q)s(q) = f'(q). What are the units of sensitivity? (c) Suppose that f′(50)=−0.02f'(50) = -0.02. Write a complete sentence to explain the meaning of this value. Include in your response the information given in (a).

정답·풀이 보기

(a) f(50)=0.75f(50) = 0.75 라는 것은 환자가 약물 5050 ml 를 투여하면 환자의 체온이 화씨 0.750.75 도만큼 변한다는 뜻이다. (b) ff 의 단위가 화씨 도이고 qq 의 단위가 ml 이므로, s(q)=f′(q)s(q) = f'(q) 의 단위는 “밀리리터당 화씨 도”이다. (c) f′(50)=−0.02f'(50) = -0.02 화씨 도/밀리리터라는 것은 투여량이 5050 ml 일 때 체온 변화 함수의 순간변화율이 ml 당 −0.02-0.02 화씨 도라는 뜻이다. 즉 5050 ml 를 투여하는 환자에게 투여량을 1 ml 더 늘리면, 체온 변화는 5050 ml 를 투여했을 때의 체온 변화보다 약 0.020.02 화씨 도 작을 것으로 예상된다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) To say that f(50)=0.75f(50) = 0.75 means that if a patient takes a dose of 5050 ml of a drug, the patient will experience a body temperature change of 0.750.75 degrees F. (b) Since the units of ff are degrees F and the units of qq are ml, it follows that the units of s(q)=f′(q)s(q) = f'(q) are “degrees Fahrenheit per milliliter.” (c) If f′(50)=−0.02f'(50) = -0.02 degrees Fahrenheit per milliliter, this means that the instantaneous rate of change of the temperature change function is −0.02-0.02 degrees F per ml at the dose-level of 5050 ml. This means that for a patient taking a 5050 ml dose, adding one more ml to the dose leads us to expect a temperature change that is about 0.020.02 degrees less than the temperature change induced by a 5050 ml dose.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 5번
# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류
Active Calculus CC BY-SA우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.Active Calculus · 1.5절 · 9번우리말 번역

어떤 자동차의 가치 VV (달러)는 그 자동차가 주행한 거리 mm (마일)에 따라 함수 V=h(m)V = h(m) 으로 정해진다.

(a) h(40000)=15500h(40000) = 15500 이고 h(55000)=13200h(55000) = 13200 이라 하자. 구간 [40000,55000][40000,55000] 에서 hh 의 평균변화율은 얼마이며, 이 값의 단위는 무엇인가요? (b) (a)에서 주어진 정보 외에 h(70000)=11100h(70000) = 11100 이라 하자. h′(55000)h'(55000) 의 가장 좋은 추정값을 구하고, 단위를 포함하여 그 결과의 의미를 한 문장으로 설명하세요. (c) h′(30000)h'(30000) 과 h′(80000)h'(80000) 중 어느 값이 더 클 것으로 예상하나요? 그 이유는 무엇인가요? (d) 함수 V=h(m)V = h(m) 의 장기적인 변화 양상을 한 문장으로 서술하고, h′(m)h'(m) 의 장기적인 변화 양상을 또 다른 한 문장으로 서술하세요. 자동차의 가치와 그 가치가 변하는 비율에 대해 실생활의 관점에서 설명하세요.

영어 원문 보기

The value, VV, of a particular automobile (in dollars) depends on the number of miles, mm, the car has been driven, according to the function V=h(m)V = h(m).

(a) Suppose that h(40000)=15500h(40000) = 15500 and h(55000)=13200h(55000) = 13200. What is the average rate of change of hh on the interval [40000,55000][40000,55000], and what are the units on this value? (b) In addition to the information given in (a), say that h(70000)=11100h(70000) = 11100. Determine the best possible estimate of h′(55000)h'(55000) and write one sentence to explain the meaning of your result, including units on your answer. (c) Which value do you expect to be greater: h′(30000)h'(30000) or h′(80000)h'(80000)? Why? (d) Write a sentence to describe the long-term behavior of the function V=h(m)V = h(m), plus another sentence to describe the long-term behavior of h′(m)h'(m). Provide your discussion in practical terms regarding the value of the car and the rate at which that value is changing.

정답·풀이 보기

(a) 구간 [40000,55000][40000,55000] 에서 hh 의 평균변화율을 구하려면, 이 구간에서 hh 의 값(달러)의 변화량을 mm 의 값(마일)의 변화량으로 나눈다. 그러면 AV[40000,55000]=h(55000)−h(40000)55000−40000=13200−1550015000=−230015000≈−0.153AV_{[40000,55000]} = \frac{h(55000)- h(40000)}{55000-40000} = \frac{13200-15500}{15000} = -\frac{2300}{15000} \approx -0.153 달러/마일이다. 이는 주행거리가 4000040 000 마일에서 5000050 000 마일까지 늘어나는 동안, 평균적으로 자동차의 가치가 주행 1마일당 0.1530.153 달러씩 감소함을 뜻한다. (b) 4000040 000 과 70000070 0000 은 5500055 000 에서 같은 거리에 있으므로, 중심차분몫을 이용하여 55000055 0000 에서 hh 의 미분계수를 근사하면 h′(55000)≈h(70000)−h(40000)70000−40000=11100−1550030000=−440030000≈−0.147h'(55000) \approx \frac{h(70000) - h(40000)}{70000-40000} = \frac{11100-15500}{30000} = - \frac{4400}{30000} \approx -0.147 달러/마일이다. 이 근삿값은 자동차가 5500055 000 마일을 주행한 순간에 자동차의 가치가 순간변화율 1마일당 0.1470.147 달러로 감소하고 있음을 뜻한다. 즉, 55000155 0001번째 마일을 주행하는 동안 자동차의 가치가 0.1470.147 달러 떨어질 것으로 예상할 수 있다. (c) 자동차의 주행거리가 쌓일수록 가치는 내려갈 것으로 예상된다. 그러나 가치 하락은 처음에 더 크고, 주행거리가 늘어 자동차가 낡을수록 그 크기가 작아질 것으로 예상해야 한다. 그렇지만 자동차의 가치는 항상 감소하며 h′(m)h'(m) 은 항상 음수임에 유의하라. 따라서 mm 이 증가함에 따라 hh 의 변화율은 증가한다(덜 음수가 된다)고 예상할 수 있고, h′(30000)<h′(80000)h'(30000) < h'(80000) 이다. (d) 자동차의 가치는 결코 음수가 아니다. 따라서 모든 mm 에 대해 h(m)≥0h(m) \geq 0 임을 알 수 있다. 새 자동차는 처음에 가치가 매우 빠르게 떨어지고, 자동차가 낡고 주행거리가 늘어남에 따라 가치는 00 에 가깝게 감가된다. 그러므로 hh 는 감소함수이다. 자동차의 가치는 항상 감소하므로 모든 m>0m > 0 에 대해 h′(m)<0h'(m) < 0 이다. mm 이 증가함에 따라 감가 속도가 느려진다는 사실은 h′h' 이 증가하는(덜 음수가 되는) 함수임을 뜻한다. h′h' 이 증가하므로 hh 는 아래로 볼록하다. 이 내용은 1.6절에서 더 자세히 공부할 것이다. 따라서 hh 의 그래프는 xx 가 양수일 때 y=e−xy = e^{-x} 의 그래프와 대체로 비슷한 모양일 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) To find the average rate of change of hh on the interval [40000,55000][40000,55000], we divide the change in hh values (in dollars) on this interval by the change in mm values (in miles) to obtain AV[40000,55000]=h(55000)−h(40000)55000−40000=13200−1550015000=−230015000≈−0.153AV_{[40000,55000]} = \frac{h(55000)- h(40000)}{55000-40000} = \frac{13200-15500}{15000} = -\frac{2300}{15000} \approx -0.153 dollars per mile. This tells us that from the mileage of 4000040 000 to 5000050 000 miles, on average the car's value decreases by 0.1530.153 dollars per mile driven. (b) Since 4000040 000 and 70000070 0000 are equidistant from 5500055 000, we use the central difference quotient to approximate the derivative of hh at 55000055 0000 to obtain h′(55000)≈h(70000)−h(40000)70000−40000=11100−1550030000=−440030000≈−0.147h'(55000) \approx \frac{h(70000) - h(40000)}{70000-40000} = \frac{11100-15500}{30000} = - \frac{4400}{30000} \approx -0.147 dollars per mile. This approximation tells us that at the instant the car has been driven 5500055 000 miles, the car's value is decreasing at an instantaneous rate of 0.1470.147 dollars per mile. That is, during 55000155 0001st mile, we'd expect the car's value to drop by 0.1470.147 dollars. (c) As we pile up miles on our car, we expect the value to go down. However, we should expect the depreciation to be more extreme at first, but less in magnitude as we drive more miles and our car gets older. Note, though, the the value of the car is always decreasing and h′(m)h'(m) is always negative. Thus, we should expect that the rate of change of hh is increasing (becoming less negative) as mm increases and that h′(30000)<h′(80000)h'(30000) < h'(80000). (d) The value of a car is never negative. So we know that h(m)≥0h(m) \geq 0 for all mm. A new car decreases in value very quickly at first, and as the car gets older with more mileage, its value will depreciate to near zero. So hh is a decreasing function. Since the value of our car always decreases, it follows that h′(m)<0h'(m) < 0 for all m>0m > 0. The fact that the depreciation slows as mm increases implies that h′h' is an increasing (getting less negative) function. Since h′h' is increasing, it follows that hh is bends upward; we will study this issue more in Section 1.6. So the graph of hh might have the general shape of the graph of y=e−xy = e^{-x} for positive values of xx.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.5절 · 8번
# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류
Active Calculus CC BY-SA우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)