빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

접선의 방정식

곡선 위의 점, 주어진 기울기, 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식을 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hm_{\tan}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} 를 이용해 접선의 기울기 mtan⁡=f′(a)m_{\tan}=f'(a) 를 구하고, b. x=ax=a 에서 ff 에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

f(x)=2−3x2, a=−2f(x)=2-3x^2,\ a=-2

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h{m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} to find the slope of the tangent line mtan⁡=f′(a),{m}_{\tan }={f}^{'}(a), and b. find an equation of the tangent line to ff at x=a.x=a.

f(x)=2−3x2,a=−2f(x)=2-3{x}^{2},a=-2

답 쓰고 채점
(a)
(b)
풀이 보기

미분계수의 정의 식에서 분자를 전개하면 hh 가 약분되고, 남은 식에 h→0h\to 0 을 넣어요.

  1. 1

    함숫값을 구해요. f(−2)=2−3⋅4=−10f(-2)=2-3\cdot 4=-10 이에요. 그리고 f(−2+h)=2−3(4−4h+h2)=−10+12h−3h2f(-2+h)=2-3(4-4h+h^2)=-10+12h-3h^2

  2. 2

    a: 정의 식을 계산해요. f(−2+h)−f(−2)h=12h−3h2h=12−3h\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{12h-3h^2}{h}=12-3h 이제 h→0h\to 0 이면 12−3h→1212-3h\to 12 이므로 f′(−2)=12f'(-2)=12 예요.

  3. 3

    b: 접선의 방정식을 세워요. 접점은 (−2,−10)(-2,-10), 기울기는 1212 이므로 y+10=12(x+2) ⇒ y=12x+14y+10=12(x+2)\ \Rightarrow\ y=12x+14

답

a. 1212 b. y=12x+14y=12x+14

자주 하는 실수

(−2+h)2(-2+h)^2 를 전개할 때 4+h24+h^2 으로 가운데 항을 빠뜨리는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 1212 b. y=12x+14y=12x+14

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.1절 · 3번
# 접선의 방정식계산보통
2.OpenStax 1권 · 3.3절 · 16번우리말 풀이

주어진 점에서 함수의 그래프에 접하는 접선 T(x)T(x) 의 방정식을 구하세요. 그래프 계산기로 함수와 접선을 그려 보세요.

[계산기 사용] y=2x−3x2y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}, 점 (1,−1)(1,-1)

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line T(x)T(x) to the graph of the given function at the indicated point. Use a graphing calculator to graph the function and the tangent line.

[T] y=2x−3x2y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}} at (1,−1)(1,-1)

풀이 보기

접선은 (점의 좌표)와 (그 점의 미분계수 = 기울기) 두 가지만 있으면 정해져요.

  1. 1

    분수식을 음의 거듭제곱으로 바꾸면 미분이 쉬워요.

    y=2x−1−3x−2y=2x^{-1}-3x^{-2}

  2. 2

    (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} 로 미분해요.

    y′=−2x−2+6x−3=−2x2+6x3y'=-2x^{-2}+6x^{-3}=-\frac{2}{x^2}+\frac{6}{x^3}

  3. 3

    x=1x=1 에서의 기울기는 y′(1)=−2+6=4y'(1)=-2+6=4 예요.

  4. 4

    점 (1,−1)(1,-1) 을 지나고 기울기가 44 인 직선이에요.

    T(x)=4(x−1)−1=4x−5T(x)=4(x-1)-1=4x-5

    그래프에서도 곡선이 (1,−1)(1,-1) 에서 직선 T(x)T(x) 에 닿고, 이 직선이 yy 절편 −5-5 를 지나는 것을 확인할 수 있어요.

답

T(x)=4x−5T(x)=4x-5

자주 하는 실수

기울기를 구할 때 함숫값 y(1)=−1y(1)=-1 을 기울기로 착각해요. 기울기는 도함수의 값이에요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph y is a two crescents with the crescent in the third quadrant sloping gently from (−3, −1) to (−1, −5) and the other crescent sloping more sharply from (0.8, −5) to (3, 0.2). The straight line T(x) is drawn through (0, −5) with slope 4.

T(x)=4x−5T(x)=4x-5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번
# 접선의 방정식그래프·표 해석기본
3.OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번우리말 풀이

f(x)=2x3+4x2−5x−3f(x)=2x^3+4x^2-5x-3 의 그래프에서 x=−1x=-1 인 점에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the tangent line to the graph of f(x)=2x3+4x2−5x−3f(x)=2{x}^{3}+4{x}^{2}-5x-3 at x=−1.x=-1.

답 쓰고 채점
풀이 보기

접점의 좌표와 그 점의 미분계수(기울기)만 알면 접선이 정해져요.

  1. 1

    접점의 좌표를 구해요. x=−1x=-1 일 때 f(−1)=2(−1)3+4(−1)2−5(−1)−3=−2+4+5−3=4f(-1)=2(-1)^3+4(-1)^2-5(-1)-3=-2+4+5-3=4 이므로 접점은 (−1, 4)(-1,\,4) 예요.

  2. 2

    기울기를 구해요. 접선의 기울기는 미분계수 f′(−1)f'(-1) 이에요. 먼저 도함수는 f′(x)=6x2+8x−5f'(x)=6x^2+8x-5 이고, x=−1x=-1 을 넣으면 f′(−1)=6−8−5=−7f'(-1)=6-8-5=-7 이에요.

  3. 3

    직선의 방정식을 세워요. 점 (−1,4)(-1,4) 를 지나고 기울기가 −7-7 인 직선은 y−4=−7(x+1) ⇒ y=−7x−3y-4=-7(x+1)\ \Rightarrow\ y=-7x-3

답

y=−7x−3y=-7x-3

자주 하는 실수

접점의 yy 좌표를 구하지 않고 f′(−1)f'(-1) 만으로 직선을 쓰려는 실수가 있어요. 점과 기울기가 둘 다 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

y=−7x−3y=-7x-3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번
# 접선의 방정식계산보통