문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

접선의 방정식

곡선 위의 점, 주어진 기울기, 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식을 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

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3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.3절 · 16번우리말 풀이

주어진 점에서 함수의 그래프에 접하는 접선 $T(x)$ 의 방정식을 구하세요. 그래프 계산기로 함수와 접선을 그려 보세요.

[계산기 사용] $y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}$ , 점 $(1,-1)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line $T(x)$ to the graph of the given function at the indicated point. Use a graphing calculator to graph the function and the tangent line.

[T] $y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}$ at $(1,-1)$

풀이 보기

접선은 (점의 좌표)와 (그 점의 미분계수 = 기울기) 두 가지만 있으면 정해져요.

1
분수식을 음의 거듭제곱으로 바꾸면 미분이 쉬워요.

$y=2x^{-1}-3x^{-2}$
2
$(x^n)'=nx^{n-1}$ 로 미분해요.

$y'=-2x^{-2}+6x^{-3}=-\frac{2}{x^2}+\frac{6}{x^3}$
3
$x=1$ 에서의 기울기는 $y'(1)=-2+6=4$ 예요.
4
점 $(1,-1)$ 을 지나고 기울기가 $4$ 인 직선이에요.

$T(x)=4(x-1)-1=4x-5$

그래프에서도 곡선이 $(1,-1)$ 에서 직선 $T(x)$ 에 닿고, 이 직선이 $y$ 절편 $-5$ 를 지나는 것을 확인할 수 있어요.

답

$T(x)=4x-5$

자주 하는 실수

기울기를 구할 때 함숫값 $y(1)=-1$ 을 기울기로 착각해요. 기울기는 도함수의 값이에요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph y is a two crescents with the crescent in the third quadrant sloping gently from (−3, −1) to (−1, −5) and the other crescent sloping more sharply from (0.8, −5) to (3, 0.2). The straight line T(x) is drawn through (0, −5) with slope 4.

$T(x)=4x-5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번

# 접선의 방정식그래프·표 해석기본

2.CLP-1 · 2.1절 · 1번우리말 번역

아래에 $y=f(x)$ 의 그래프가 나와 있습니다. 그래프 위의 점 $Q$ 를 $y$ 축의 왼쪽에서 선택하면, $P$ 와 $Q$ 를 지나는 할선의 기울기는 양수입니까, 음수입니까? 그래프 위의 점 $Q$ 를 $y$ 축의 오른쪽에서 선택하면, $P$ 와 $Q$ 를 지나는 할선의 기울기는 양수입니까, 음수입니까?

영어 원문 보기

Shown below is the graph $y=f(x)$ . If we choose a point $Q$ on the graph to the left of the $y$ -axis, is the slope of the secant line through $P$ and $Q$ positive or negative? If we choose a point $Q$ on the graph to the right of the $y$ -axis, is the slope of the secant line through $P$ and $Q$ positive or negative?

정답·풀이 보기

$Q$ 가 $y$ 축의 왼쪽에 있으면 $Q$ 와 $P$ 를 지나는 직선은 증가하므로 할선의 기울기는 양수이다. $Q$ 가 $y$ 축의 오른쪽에 있으면 $Q$ 와 $P$ 를 지나는 직선은 감소하므로 할선의 기울기는 음수이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $Q$ is to the left of the $y$ axis, the line through $Q$ and $P$ is increasing, so the secant line has positive slope. If $Q$ is to the right of the $y$ axis, the line through $Q$ and $P$ is decreasing, so the secant line has negative slope.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.1절 · 6번

# 접선의 방정식그래프·표 해석기본자동 분류

3.CLP-1 · 2.1절 · 3번우리말 번역

아래 함수들을 $x=-2$ 에서 $x=2$ 까지의 할선의 기울기가 모두 같은 것끼리 묶으세요.

영어 원문 보기

Group the functions below into collections whose secant lines from $x=-2$ to $x=2$ all have the same slopes.

정답·풀이 보기

모든 경우에서 할선의 기울기는 $\dfrac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \dfrac{f(2)-f(-2)}{4}$ 이다. 따라서 두 직선의 기울기가 같다면 그 차 $f(2)-f(-2)$ 의 값도 같다.

(a), (c), (e)의 그래프는 모두 $f(2)-f(-2)=1$ 이므로 할선의 기울기가 모두 같다. (b)와 (f)의 그래프는 모두 $f(2)-f(-2)=-1$ 이므로 할선의 기울기가 서로 같다. (d)의 그래프는 $f(2)-f(-2)=0$ 이고 이 성질을 가진 그래프는 (d)뿐이므로, 다른 그래프들과 할선의 기울기가 같지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

The slope of the secant line will be $\dfrac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \dfrac{f(2)-f(-2)}{4}$ , in every part. So, if two lines have the same slope, that means their differences $f(2)-f(-2)$ will be the same.

The graphs in (a),(c), and (e) all have $f(2)-f(-2)=1$ , so they all have the same secant line slope. The graphs in (b) and (f) both have $f(2)-f(-2)=-1$ , so they both have the same secant line slope. The graph in (d) has $f(2)-f(-2)=0$ , and it is the only graph with this property, so it does not share its secant line slope with any of the other graphs.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.1절 · 1번

# 접선의 방정식그래프·표 해석기본자동 분류