접선의 방정식 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 3.3절 · 16번우리말 풀이

주어진 점에서 함수의 그래프에 접하는 접선 $T(x)$ 의 방정식을 구하세요. 그래프 계산기로 함수와 접선을 그려 보세요.

[계산기 사용] $y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}$ , 점 $(1,-1)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line $T(x)$ to the graph of the given function at the indicated point. Use a graphing calculator to graph the function and the tangent line.

[T] $y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}$ at $(1,-1)$

풀이 보기

접선은 (점의 좌표)와 (그 점의 미분계수 = 기울기) 두 가지만 있으면 정해져요.

1
분수식을 음의 거듭제곱으로 바꾸면 미분이 쉬워요.

$y=2x^{-1}-3x^{-2}$
2
$(x^n)'=nx^{n-1}$ 로 미분해요.

$y'=-2x^{-2}+6x^{-3}=-\frac{2}{x^2}+\frac{6}{x^3}$
3
$x=1$ 에서의 기울기는 $y'(1)=-2+6=4$ 예요.
4
점 $(1,-1)$ 을 지나고 기울기가 $4$ 인 직선이에요.

$T(x)=4(x-1)-1=4x-5$

그래프에서도 곡선이 $(1,-1)$ 에서 직선 $T(x)$ 에 닿고, 이 직선이 $y$ 절편 $-5$ 를 지나는 것을 확인할 수 있어요.

답

$T(x)=4x-5$

자주 하는 실수

기울기를 구할 때 함숫값 $y(1)=-1$ 을 기울기로 착각해요. 기울기는 도함수의 값이에요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph y is a two crescents with the crescent in the third quadrant sloping gently from (−3, −1) to (−1, −5) and the other crescent sloping more sharply from (0.8, −5) to (3, 0.2). The straight line T(x) is drawn through (0, −5) with slope 4.

$T(x)=4x-5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번

# 접선의 방정식그래프·표 해석기본

2.CLP-1 · 2.1절 · 1번우리말 번역

아래에 $y=f(x)$ 의 그래프가 나와 있습니다. 그래프 위의 점 $Q$ 를 $y$ 축의 왼쪽에서 선택하면, $P$ 와 $Q$ 를 지나는 할선의 기울기는 양수입니까, 음수입니까? 그래프 위의 점 $Q$ 를 $y$ 축의 오른쪽에서 선택하면, $P$ 와 $Q$ 를 지나는 할선의 기울기는 양수입니까, 음수입니까?

영어 원문 보기

Shown below is the graph $y=f(x)$ . If we choose a point $Q$ on the graph to the left of the $y$ -axis, is the slope of the secant line through $P$ and $Q$ positive or negative? If we choose a point $Q$ on the graph to the right of the $y$ -axis, is the slope of the secant line through $P$ and $Q$ positive or negative?

정답·풀이 보기

$Q$ 가 $y$ 축의 왼쪽에 있으면 $Q$ 와 $P$ 를 지나는 직선은 증가하므로 할선의 기울기는 양수이다. $Q$ 가 $y$ 축의 오른쪽에 있으면 $Q$ 와 $P$ 를 지나는 직선은 감소하므로 할선의 기울기는 음수이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $Q$ is to the left of the $y$ axis, the line through $Q$ and $P$ is increasing, so the secant line has positive slope. If $Q$ is to the right of the $y$ axis, the line through $Q$ and $P$ is decreasing, so the secant line has negative slope.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.1절 · 6번

# 접선의 방정식그래프·표 해석기본자동 분류

3.CLP-1 · 2.1절 · 3번우리말 번역

아래 함수들을 $x=-2$ 에서 $x=2$ 까지의 할선의 기울기가 모두 같은 것끼리 묶으세요.

영어 원문 보기

Group the functions below into collections whose secant lines from $x=-2$ to $x=2$ all have the same slopes.

정답·풀이 보기

모든 경우에서 할선의 기울기는 $\dfrac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \dfrac{f(2)-f(-2)}{4}$ 이다. 따라서 두 직선의 기울기가 같다면 그 차 $f(2)-f(-2)$ 의 값도 같다.

(a), (c), (e)의 그래프는 모두 $f(2)-f(-2)=1$ 이므로 할선의 기울기가 모두 같다. (b)와 (f)의 그래프는 모두 $f(2)-f(-2)=-1$ 이므로 할선의 기울기가 서로 같다. (d)의 그래프는 $f(2)-f(-2)=0$ 이고 이 성질을 가진 그래프는 (d)뿐이므로, 다른 그래프들과 할선의 기울기가 같지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

The slope of the secant line will be $\dfrac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \dfrac{f(2)-f(-2)}{4}$ , in every part. So, if two lines have the same slope, that means their differences $f(2)-f(-2)$ will be the same.

The graphs in (a),(c), and (e) all have $f(2)-f(-2)=1$ , so they all have the same secant line slope. The graphs in (b) and (f) both have $f(2)-f(-2)=-1$ , so they both have the same secant line slope. The graph in (d) has $f(2)-f(-2)=0$ , and it is the only graph with this property, so it does not share its secant line slope with any of the other graphs.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.1절 · 1번

# 접선의 방정식그래프·표 해석기본자동 분류

4.CLP-1 · 2.1절 · 4번우리말 번역

아래 그래프에서 점 $x=5$ 에서의 접선의 기울기를 가능한 한 정확하게 어림하세요.

영어 원문 보기

Give your best approximation of the slope of the tangent line to the graph below at the point $x=5$ .

정답·풀이 보기

그래프에서 $f(5)=0.5$ 로 어림하는 것이 적절하다. 두 끝점이 모두 $x=5$ 에 매우 가까우면서 $y$ 값도 분명하게 읽히는 할선을 찾아야 한다. $f(5.25) \approx 1$ , $f(4.75)\approx \frac{1}{8}$ 로 보인다. $x=5$ 에서 $x=5.25$ 까지의 할선의 기울기는 대략 $\dfrac{f(5.25)-f(5)}{5.25-5}\approx \dfrac{1-.5}{.25}=2$ 이다. $x=5$ 에서 $x=4.75$ 까지의 할선의 기울기는 $\dfrac{0.5-\frac{1}{8}}{5-4.75}=\dfrac{3}{2}$ 이다.

그래프는 점점 더 빠르게 증가하므로(점점 더 가팔라지므로) $x=5$ 의 왼쪽에 있는 할선의 기울기가 $x=5$ 의 오른쪽에 있는 할선의 기울기보다 작은 것은 자연스럽다. 또 $x=5$ 에서 더 멀리 떨어진 곳에 끝점이 있는 할선을 잡으면 할선의 기울기가 상당히 크게 달라지는 것을 알 수 있다. 어느 정도 정확한 값을 얻으려면 $x=5$ 에 아주 가까워야 한다.

두 값의 중간을 택하면, 할선의 기울기를 $\frac{3}{2}$ 과 $2$ 의 평균인 $\frac{7}{4}$ 로 어림할 수 있다.

접선을 구하는 또 다른 방법은 자를 대고 접선을 정확하게 직접 그려 보는 것이다. 아래 그림에 파란색으로 나타내었다.

곡선보다 직선의 기울기를 구하는 것이 훨씬 쉽고, 이 직선의 기울기는 약 1.5 로 보인다. 하지만 이 그림은 컴퓨터로 그린 것이며, 손으로 정확한 접선을 그리기는 훨씬 어렵다. (그래서 미적분이 필요하다!)

$x=5$ 에서 이 함수의 접선의 실제 기울기는 약 $1.484$ 이다. 그래프만 보고 이 값을 알아내기는 매우 어렵다. 손으로 구할 때는 $1.25$ 와 $1.75$ 사이의 값으로 추측하면 매우 정확한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

A good approximation from the graph is $f(5)=0.5$ . We want to find a secant line whose endpoints are both very close to $x=5$ , but that also give us clear $y$ -values. It looks like $f(5.25) \approx 1$ , and $f(4.75)\approx \frac{1}{8}$ . The secant line from $x=5$ to $x=5.25$ has approximate slope $\dfrac{f(5.25)-f(5)}{5.25-5}\approx \dfrac{1-.5}{.25}=2$ . The secant line from $x=5$ to $x=4.75$ has approximate slope $\dfrac{0.5-\frac{1}{8}}{5-4.75}=\dfrac{3}{2}$ .

The graph increases more and more quickly (gets steeper and steeper), so it makes sense that the secant line to the left of $x=5$ has a smaller slope than the secant line to the right of $x=5$ . Also, if you're taking secant lines that have endpoints farther out from $x=5$ , you'll notice that the slopes of the secant lines change quite dramatically. You have to be very, very close to $x=5$ to get any kind of accuracy.

If we split the difference, we might approximate the slope of the secant line to be the average of $\frac{3}{2}$ and $2$ , which is $\frac{7}{4}$ .

Another way to try to figure out the tangent line is by carefully drawing it in with a ruler. This is shown here in blue:

It's much easier to take the slope of a line than a curve, and this one looks like it has slope about 1.5. However, we drew this with a computer: by hand it's much harder to draw an accurate tangent line. (That's why we need calculus!)

The actual slope of the tangent line to the function at $x=5$ is about $1.484$ . This is extremely hard to figure out just from the graph–by hand, a guess between $1.25$ and $1.75$ would be very accurate.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 16번

# 접선의 방정식그래프·표 해석보통자동 분류

5.CLP-1 · 2.1절 · 5번우리말 번역

아래 그래프에 $y=f(x)$ 의 $P$ 에서의 접선을 그리세요. 그런 다음, $Q$ 와 $R$ 을 지나는 할선의 기울기가 $P$ 에서의 접선의 기울기와 같도록 그래프 위의 두 점 $Q$ 와 $R$ 을 찾으세요.

영어 원문 보기

On the graph below, sketch the tangent line to $y=f(x)$ at $P$ . Then, find two points $Q$ and $R$ on the graph so that the secant line through $Q$ and $R$ has the same slope as the tangent line at $P$ .

정답·풀이 보기

$f(x)$ 의 $P$ 에서의 접선은 (파란색으로 나타낸) 하나뿐이지만, $Q$ 와 $R$ 을 잡는 방법은 무수히 많다(빨간색으로 나타낸 것은 그중 한 가지이다). 종이 위에 할선을 쉽게 그리는 한 가지 방법은 접선과 평행한 직선을 아무거나 그은 다음, 그 직선과 $y=f(x)$ 가 만나는 두 점을 고르는 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

There is only one tangent line to $f(x)$ at $P$ (shown in blue), but there are infinitely many choices of $Q$ and $R$ (one possibility shown in red). One easy way to sketch the secant line on paper is to draw any line parallel to the tangent line, and choose two intercepts with $y=f(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.1절 · 4번

# 접선의 방정식그래프·표 해석보통자동 분류

6.CLP-1 · 2.1절 · 6번우리말 번역

아래에 나타낸 곡선에서 접선의 기울기가 $0$ 인 점들을 표시하세요.

(나중에 이 점들이 그래프의 모양에 대해 많은 것을 알려 준다는 것을 배우게 됩니다.)

영어 원문 보기

Mark the points where the curve shown below has a tangent line with slope $0$ .

(Later on, we'll learn how these points tell us a lot about the shape of a graph.)

정답·풀이 보기

(확대해서 본다고 상상할 때) 그래프가 평평해 보이는 곳이면 어디든 접선의 기울기가 0이다. 이런 곳은 세 군데이다.

표시된 점 중 두 개는 각각 낮은 점과 높은 점에 있음에 주목하자. 나중에 접선의 기울기가 0인 이러한 곳을 이용하여 그래프가 가장 큰 값과 가장 작은 값을 갖는 곳을 찾을 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Any place the graph looks flat (if you imagine zooming in) is where the tangent line has slope 0. This occurs three times.

Notice that two of the indicated points are at a low point and a high point, respectively. Later, we'll use these places where the tangent line has slope zero to find where a graph achieves its biggest and smallest values.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.1절 · 5번

# 접선의 방정식그래프·표 해석보통자동 분류