문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

속도와 가속도

직선 위를 움직이는 점의 위치를 미분해 속도·가속도를 구한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.4절 · 6번우리말 풀이

위치 함수 $s(t)=t^2-3t-4$ 는 차고에서 후진해 나온 뒤 일직선으로 달리는 자동차 뒤쪽의 위치를 나타내요. $s$ 의 단위는 피트, $t$ 의 단위는 초예요. 여기서 $s(t)=0$ 은 자동차 뒤쪽이 차고 문에 있는 순간이고, $s(0)=-4$ 는 처음 위치가 차고 안쪽 4피트라는 뜻이에요.

a. $s(t)=0$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요. b. $s(t)=14$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

The position function $s(t)={t}^{2}-3t-4$ represents the position of the back of a car backing out of a driveway and then driving in a straight line, where $s$ is in feet and $t$ is in seconds. In this case, $s(t)=0$ represents the time at which the back of the car is at the garage door, so $s(0)=-4$ is the starting position of the car, 4 feet inside the garage.

a. Determine the velocity of the car when $s(t)=0.$ b. Determine the velocity of the car when $s(t)=14.$

풀이 보기

속도는 위치를 시간에 대해 미분한 값이에요. 먼저 그 위치가 되는 시각 $t$ 를 찾고 속도에 넣어요.

1
위치를 미분하면 속도예요. $v(t)=s'(t)=2t-3$ 이에요.
2
(a) $s(t)=0$ 인 시각을 찾아요. $t^2-3t-4=(t-4)(t+1)=0$ 에서 $t=4$ 또는 $t=-1$ 이에요. 시간은 $0$ 이상이어야 하므로 $t=4$ 예요. 속도는 $v(4)=2\cdot4-3=5$ (피트/초)예요.
3
(b) $s(t)=14$ 이면 $t^2-3t-18=0$ 이고, $(t-6)(t+3)=0$ 이므로 $t=6$ (음수인 $t=-3$ 은 버려요). 속도는 $v(6)=2\cdot6-3=9$ (피트/초)예요.

답

(a) $5\text{ 피트/초}$ (b) $9\text{ 피트/초}$

자주 하는 실수

방정식을 풀 때 나온 음수 시각 $t$ 를 버리지 않고 그대로 속도에 넣는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 5 ft/s b. 9 ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 20번

# 속도와 가속도활용기본

2.CLP-1 · 3.1절 · 1번우리말 번역

공을 똑바로 위로 던졌고, $t=0$ 부터 $t=4$ 까지 공의 높이가 $h(t)=-4.9t^2+19.6t$ 로 주어진다고 하자. 참인지 거짓인지 판단하세요: 시각 $t=2$ 에서 공의 가속도는 0이다.

영어 원문 보기

Suppose you throw a ball straight up in the air, and its height from $t=0$ to $t=4$ is given by $h(t)=-4.9t^2+19.6t$ . True or false: at time $t=2$ , the acceleration of the ball is 0.

정답·풀이 보기

거짓이다. 공의 가속도는 $h''(t)=-9.8$ 이다. 이는 공이 움직이는 내내 상수이다(중력 때문이다).

참고: $t=2$ 에서 공의 속도는 $h'(2)=-9.8(2)+19.6=0$ 이므로 0이지만, 속도가 0인 것은 한 순간뿐이다. 속도가 변하고 있으므로 가속도는 0이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

False. The acceleration of the ball is given by $h''(t)=-9.8$ . This is constant throughout its trajectory (and is due to gravity).

Remark: the velocity of the ball at $t=2$ is zero, since $h'(2)=-9.8(2)+19.6=0$ , but the velocity is only zero for an instant. Since the velocity is changing, the acceleration is nonzero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 15번

# 속도와 가속도개념 확인기본자동 분류

3.CLP-1 · 3.1절 · 2번우리말 번역

어떤 물체가 일정한 가속도로 움직인다고 하자. 이 물체가 $1~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데 10초가 걸린다. $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데 걸리는 시간을 구하세요. $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $13~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose an object is moving with a constant acceleration. It takes ten seconds to accelerate from $1~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . How long does it take to accelerate from $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ? How long does it take to accelerate from $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $13~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ?

정답·풀이 보기

가속도가 상수이므로 속도의 변화율이 상수이다. 따라서 속도가 1 m/s 증가하는 데( $1~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로) 10초가 걸렸으므로, 속도가 1 m/s 증가하는 데에는 언제나 10초가 걸린다.

그러므로 $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데 10초가 걸린다. $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $13~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데(즉, 속도가 10 m/s 변하는 데)에는 $10\times 10=100$ 초가 걸린다.

원본 교재 풀이(영어)

The acceleration is constant, which means the rate of change of the velocity is constant. So, since it took 10 seconds for the velocity to increase by 1 metre per second (from $1~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ), then it always takes 10 seconds for the velocity to increase by 1 metre per second.

So, it takes 10 seconds to accelerate from $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . To accelerate from $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $13~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ (that is, to change its velocity by 10 metres per second), it takes $10\times 10=100$ seconds.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 1번

# 속도와 가속도활용기본자동 분류