문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

방향장과 정성적 해석

방향장(기울기장)과 평형해로 해의 모양을 식 없이 그려 본다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

9문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 4.2절 · 39번대학 수준우리말 번역

전체 개체수가 상수라는 가정 $(S+I=N)$ 에 의해, 이 연립방정식을 $I$ 에 대한 하나의 미분방정식 $I:\,I'=c(N-I)I-rI$ 로 줄일 수 있음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that, by our assumption that the total population size is constant $(S+I=N),$ you can reduce the system to a single differential equation in $I:\,I'=c(N-I)I-rI.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5번

# 방향장과 정성적 해석증명·논술자동 분류

2.OpenStax 2권 · 4.2절 · 49번대학 수준우리말 번역

초깃값 문제 $y'=-2y,\quad y(0)=2$ 를 생각하세요.

$y=2{e}^{-2x}$ 이 이 초깃값 문제의 해임을 보이세요.

영어 원문 보기

Consider the initial-value problem $y'=-2y,\quad y(0)=2.$

Show that $y=2{e}^{-2x}$ solves this initial-value problem.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5번

# 방향장과 정성적 해석증명·논술자동 분류

3.APEX · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서, 주어진 함수가 미분방정식 또는 초깃값 문제의 해임을 확인하세요.

$y = Ce^{-6x^2}$ ; $y' = -12xy$ .

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, verify that the given function is a solution to the differential equation or initial value problem.

$y = Ce^{-6x^2}$ ; $y' = -12xy$ .

정답·풀이 보기

답은 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 32번

# 방향장과 정성적 해석증명·논술자동 분류

4.APEX · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10번에서, 주어진 함수가 미분방정식 또는 초깃값 문제의 해임을 확인하세요.

$y = x\sin x$ ; $y' - x\cos x= (x^2+1)\sin x - xy$ 이고 $y(\pi) = 0$ .

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, verify that the given function is a solution to the differential equation or initial value problem.

$y = x\sin x$ ; $y' - x\cos x= (x^2+1)\sin x - xy,$ with $y(\pi) = 0$ .

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 14번

# 방향장과 정성적 해석증명·논술자동 분류

5.APEX · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10번에서, 주어진 함수가 미분방정식 또는 초깃값 문제의 해임을 확인하세요.

$2x^2-y^2=C$ ; $yy'-2x = 0$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, verify that the given function is a solution to the differential equation or initial value problem.

$2x^2-y^2=C$ ; $yy'-2x = 0$

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 42번

# 방향장과 정성적 해석증명·논술자동 분류

6.APEX · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10번에서, 주어진 함수가 미분방정식 또는 초깃값 문제의 해임을 확인하세요.

$y=xe^x$ ; $y'' - 2y' + y = 0$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, verify that the given function is a solution to the differential equation or initial value problem.

$y=xe^x$ ; $y'' - 2y' + y = 0$

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2번

# 방향장과 정성적 해석증명·논술자동 분류

7.APEX · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–12번에서, 주어진 함수가 미분방정식의 해임을 확인하고, 그 함수가 초기 조건을 만족하도록 하는 $C$ 의 값을 구하세요.

$y = 4e^{3x}\sin x + Ce^{3x}$ ; $y' - 3y = 4e^{3x}\cos x$ 이고 $y(0)=2$

영어 원문 보기

In Exercises 11–12, verify that the given function is a solution to the differential equation and find the $C$ value required to make the function satisfy the initial condition.

$y = 4e^{3x}\sin x + Ce^{3x}$ ; $y' - 3y = 4e^{3x}\cos x,$ with $y(0)=2$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$C = 2$

원본 교재 풀이(영어)

$C = 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.2절 · 9번

# 방향장과 정성적 해석증명·논술자동 분류

8.APEX · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–12번에서, 주어진 함수가 미분방정식의 해임을 확인하고, 그 함수가 초기 조건을 만족하도록 하는 $C$ 의 값을 구하세요.

$y(x^2+y) = C$ ; $2xy + (x^2+2y)y'= 0$ 이고 $y(1)=2$

영어 원문 보기

In Exercises 11–12, verify that the given function is a solution to the differential equation and find the $C$ value required to make the function satisfy the initial condition.

$y(x^2+y) = C$ ; $2xy + (x^2+2y)y'= 0,$ with $y(1)=2$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$C = 6$

원본 교재 풀이(영어)

$C = 6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3번

# 방향장과 정성적 해석증명·논술자동 분류

9.Active Calculus · 7.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

미분방정식

$\frac{dy}{dt} = t-y\,$

을 생각하세요.

(a) 오른쪽 좌표축에 기울기장을 그리세요. (b) 초깃값이 $y(0)= -4, -3, \ldots, 4$ 인 해의 그래프를 그리세요. (c) 그린 그래프로 볼 때, 초깃값이 $y(0) = -1$ 인 해는 무엇이라고 생각되는지 쓰세요. 이것이 실제로 이 초깃값 문제의 해임을 확인하세요. (d) 미분방정식과 그린 그래프를 이용하여, 해가 극솟값을 갖는 점에서 $t$ 와 $y$ 사이의 관계를 설명하세요.

기울기장을 그리기 위한 좌표축이다. t 의 값의 범위는 -4부터 4까지이고, y 의 값의 범위는 -4부터 4까지이다.

영어 원문 보기

Consider the differential equation

$\frac{dy}{dt} = t-y\,.$

(a) Sketch a slope field on the axes at right. (b) Sketch the solutions whose initial values are $y(0)= -4, -3, \ldots, 4$ . (c) What do your sketches suggest is the solution whose initial value is $y(0) = -1$ ? Verify that this is indeed the solution to this initial value problem. (d) By considering the differential equation and the graphs you have sketched, what is the relationship between $t$ and $y$ at a point where a solution has a local minimum?

Axes for plotting the slope field.The values of t range from -4 to 4, and the values of y range from -4 to 4.

정답·풀이 보기

(a) 여러 $(t,y)$ 에서 $\frac{dy}{dt}\vert_{(t,y)}$ 를 계산하여 각 점에서의 기울기를 그리면 다음과 같은 기울기장을 얻는다. 이 그림은 미분방정식의 기울기장과 서로 다른 초기 조건을 만족하는 여러 해를 함께 보여 준다. 직선 y = t-1 을 따라 기울기장의 모든 선분은 기울 (b) 기울기장을 따라 점 $(0,-4)$ , $(0,-3)$ , $\ldots$ , $(0,4)$ 를 지나도록 곡선을 그리면 위 그림과 같은 곡선들을 얻는다. (c) $(0,-1)$ 을 지나는 해는 기울기가 $m = 1$ 인 직선으로 보이므로 식은 $y(t) = t-1$ 이다. 이 함수가 해임을 확인하기 위해 $\frac{dy}{dt}$ 와 $t-y$ 를 모두 계산하면 $\frac{dy}{dt} = 1$ 이고 $t-y = t - (t-1) = 1\,$ 이다. 따라서 $y(t) = t-1$ 은 이 미분방정식의 해이다. (d) 미분방정식과 그린 그래프로부터, 해가 극솟값을 갖는 모든 점에서 $t$ 와 $y$ 는 같은 것으로 보인다. 그 까닭은 $t = y$ 일 때 $\frac{dy}{dt} = t - y = 0$ 이고, 미분가능한 함수가 극솟값을 가지려면 그 점에서의 미분계수가 0이어야 하기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Sketching the slopes at individual points by computing $\frac{dy}{dt}\vert_{(t,y)}$ at various values of $(t,y)$ , we see the following slope field. This image shows both the slope field of the differential equation and several solutions that satisfy different initial conditions.Along the line y = t-1, every line segment in the slope field has slo (b) By following the slope field so that we pass through the points $(0,-4)$ , $(0,-3)$ , $\ldots$ , $(0,4)$ , we see the collection of curves in the figure above. (c) It looks like the solution that passes through $(0,-1)$ is a straight line with slope $m = 1$ , and thus has the formula $y(t) = t-1$ . To verify this function is a solution, we compute both $\frac{dy}{dt}$ and $t-y$ . Doing so, we see $\frac{dy}{dt} = 1$ and $t-y = t - (t-1) = 1\,.$ Thus, $y(t) = t-1$ is indeed a solution to the differential equation. (d) From both the differential equation and the graphs we have sketched, it appears that $t$ and $y$ are equal at any point where a solution has a local minimum. This is because when $t = y$ , $\frac{dy}{dt} = t - y = 0$ , and having the derivative be zero is required for any local minimum on a differentiable function.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 8번

# 방향장과 정성적 해석증명·논술자동 분류