변수분리형 미분방정식 연습문제

1.OpenStax 2권 · 4장 복습 · 1번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

미분방정식 $y'=3{x}^{2}y-\cos (x){y}^{''}$ 은 선형이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

The differential equation $y'=3{x}^{2}y-\cos (x){y}^{''}$ is linear.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 31번

# 변수분리형 미분방정식개념 확인자동 분류

2.OpenStax 2권 · 4장 복습 · 2번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

미분방정식 $y'=x-y$ 는 변수분리형이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

The differential equation $y'=x-y$ is separable.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 8번

# 변수분리형 미분방정식개념 확인자동 분류

3.CLP-2 · 2.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

$y=f(x)$ 가 미분방정식 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy$ 의 해라고 하자.

참 또는 거짓: 임의의 상수 $C$ 에 대해 $f(x)+C$ 도 해이다.

영어 원문 보기

Suppose $y=f(x)$ is a solution to the differential equation $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy$ .

True or false: $f(x)+C$ is also a solution, for any constant $C$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=f(x)+C$ 가 이 미분방정식의 해라는 것은 다음을 뜻한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}&=x(f(x)+C) \\ \text{$y=f(x)$ 가 해이므로 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}=xf(x)$ 이다. 또한 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}$ 이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=xf(x)$ 이다.} \\ xf(x)&=x(f(x)+C)\\ 0&=xC \end{aligned}$

이 등식은 정의역의 모든 $x$ 에 대해 성립해야 하고, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하는 것이 의미를 가지려면 정의역이 한 점만으로 이루어져서는 안 된다. 따라서 정의역에는 $x \neq 0$ 인 $x$ 가 존재한다. 그러므로 $C$ 는 반드시 0이어야 한다. 즉, $f(x)+C$ 는 어떤 상수 $C$ 에 대해서도 이 미분방정식의 해가 아니다.

일반적인 부정적분을 구할 때에는 마지막에 “ $+C$ "를 더한다. 미분방정식의 일반해를 구할 때에는 부정적분을 하는 단계에서 “ $+C$ "가 더해지므로, 풀이 마지막에 또 하나를 더하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

To say $y=f(x)+C$ is a solution to the differential equation means:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}&=x(f(x)+C) \\ \text{Since $y=f(x)$ is a solution, we know $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}=xf(x)$. Also, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}$. So, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=xf(x)$.} \\ xf(x)&=x(f(x)+C)\\ 0&=xC \end{aligned}$

Our equation should hold for all $x$ in our domain, and for the derivative to $y$ with respect to $x$ to make sense, our domain should not be a single point. So, there is some $x$ in our domain such that $x \neq 0$ . Therefore, the $C$ must be zero. So, $f(x)+C$ is not a solution to the differential equation for any constant $C$ .

When we're finding a general antiderivative, we add “ $+C$ " at the end. When we're finding a general solution to a differential equation, the “ $+C$ " gets added when we antidifferentiate–we don't add another one at the end of our work.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 17번

# 변수분리형 미분방정식개념 확인기본자동 분류