정적분과 급수(구분구적법) 연습문제

1.OpenStax 1권 · 5.1절 · 23번우리말 풀이

$[0,6]$ 에서 $f(x)=\sqrt{9-(x-3)^2}$ 에 대한 좌합 $L_6$ 과 우합 $R_6$ 을 각각 구하고, 두 값을 비교하세요.

영어 원문 보기

Compute the left and right Riemann sums—L₆ and R₆, respectively—for $f(x)=\sqrt{9-{(x-3)}^{2}}$ on $[0,6]$ and compare their values.

풀이 보기

구간을 6등분하면 폭이 1이고, 좌합과 우합은 양 끝 직사각형 하나만 다르게 포함해요.

1
$[0,6]$ 을 6등분하면 $\Delta x=1$ 이고 분점은 $x=0,1,2,3,4,5,6$ 이에요. 각 분점의 함숫값을 구해요. $f(0)=\sqrt{9-9}=0$ , $f(1)=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2361$ , $f(2)=\sqrt{8}\approx2.8284$ , $f(3)=3$ , $f(4)=\sqrt8$ , $f(5)=\sqrt5$ , $f(6)=0$ 이에요.
2
좌합은 각 구간의 왼쪽 끝 값을 써요. $L_6=\Delta x\,[f(0)+f(1)+\cdots+f(5)]=0+2.2361+2.8284+3+2.8284+2.2361\approx13.129$ 예요.
3
우합은 오른쪽 끝 값을 써요. $R_6=\Delta x\,[f(1)+\cdots+f(6)]=2.2361+2.8284+3+2.8284+2.2361+0\approx13.129$ 예요.
4
두 값이 같은 이유는 좌합에만 들어가는 $f(0)$ 과 우합에만 들어가는 $f(6)$ 이 모두 $0$ 이기 때문이에요. 이 함수는 반지름 3인 반원이라 실제 넓이 $\frac{9\pi}{2}\approx14.14$ 보다 약간 작은 근삿값이에요.

답

$L_6=R_6\approx13.129$ (두 값이 같다)

자주 하는 실수

좌합과 우합이 항상 다르다고 생각해요. 양 끝의 함숫값이 같으면 두 값이 같아요.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{6}=13.12899={R}_{6}.$ They are equal.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 78번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통

2.OpenStax 1권 · 5.1절 · 29번우리말 풀이

[계산기 사용] 구간 $[0,1]$ 에서 $y=x^2$ 에 대한 $L_{100}$ 과 $R_{100}$ 을 구하세요. ( $L_{100}$ 은 구간을 100등분해 각 작은 구간의 왼쪽 끝점에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이의 합, $R_{100}$ 은 오른쪽 끝점을 쓴 합이에요.)

영어 원문 보기

[T] L₁₀₀ and R₁₀₀ for $y={x}^{2}$ on the interval $[0,1]$

풀이 보기

구간을 100등분하고, 직사각형의 높이를 왼쪽 또는 오른쪽 끝점의 함숫값으로 잡아 더해요.

1
구간 $[0,1]$ 을 100등분하면 한 칸의 폭은 $\Delta x=\frac{1}{100}$ 이고, 분점은 $x_i=\frac{i}{100}$ 예요.
2
오른쪽 끝점 합은 $i=1,2,\dots,100$ 에서 높이 $x_i^2=\left(\frac{i}{100}\right)^2$ 을 쓰므로 $R_{100}=\sum_{i=1}^{100}\left(\frac{i}{100}\right)^2\cdot\frac1{100}=\frac{1}{10^6}\sum_{i=1}^{100}i^2$ 이에요.
3
제곱의 합 공식 $\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 에 $n=100$ 을 넣으면 $\frac{100\cdot101\cdot201}{6}=338350$ 이에요. 그래서 $R_{100}=\frac{338350}{10^6}=0.33835$ 예요.
4
왼쪽 끝점 합은 $i=0,1,\dots,99$ 를 쓰므로 $\sum_{i=0}^{99}i^2=338350-100^2=328350$ 이고, $L_{100}=\frac{328350}{10^6}=0.32835$ 예요.
5
그래프로 확인해요. $y=x^2$ 은 $[0,1]$ 에서 증가하므로 왼쪽 합은 실제 넓이보다 작고(부족하게 어림), 오른쪽 합은 실제 넓이보다 커요. 실제 넓이 $\frac13\approx0.3333$ 이 두 값 사이에 있어요.

답

$L_{100}=0.32835,\ R_{100}=0.33835$

자주 하는 실수

합의 범위를 헷갈려 $L$ 에도 $i=1\sim100$ 을 쓰면 $R$ 과 같은 값이 나와요. $L$ 은 $i=0\sim99$ 예요.

원본 교재 풀이(영어)

A graph of the given function on the interval (0, 1). It is set up for a left endpoint approximation and is an underestimate because the function is increasing. Ten rectangles are shown for visual clarity, but this behavior persists for more rectangles.

${R}_{100}=0.33835,{L}_{100}=0.32835.$ The plot shows that the left Riemann sum is an underestimate because the function is increasing. Similarly, the right Riemann sum is an overestimate. The area lies between the left and right Riemann sums. Ten rectangles are shown for visual clarity. This behavior persists for more rectangles.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 23번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통

3.OpenStax 1권 · 5.1절 · 59번우리말 풀이

단위원이 그림의 안쪽 부채꼴과 같은 꼴 $n$ 개로 이루어져 있어요. 안쪽 삼각형의 밑변은 $1$ 이고 높이는 $\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 예요. 바깥쪽 삼각형의 밑변은 $B=\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$ 이고 높이는 $H=B\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 예요. 이 정보를 이용해 단위원의 넓이가 $\pi$ 임을 논증하세요.

$중심각 \theta=\frac{2\pi}{n}인 부채꼴. 두 반지름의 끝을 잇는 선, 원에 접하는 평행선, 바깥쪽 삼각형 등이 그려져 있다.$

영어 원문 보기

A unit circle is made up of n wedges equivalent to the inner wedge in the figure. The base of the inner triangle is 1 unit and its height is $\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right).$ The base of the outer triangle is $B=\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)$ and the height is $H=B\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right).$ Use this information to argue that the area of a unit circle is equal to π.

풀이 보기

원 안쪽 삼각형 $n$ 개의 넓이와 바깥쪽 삼각형 $n$ 개의 넓이로 원의 넓이를 위아래에서 끼우고, $n\to\infty$ 로 보내요.

1
단위원의 넓이를 $A$ 라 해요. 원을 중심각 $\frac{2\pi}{n}$ 인 $n$ 개의 부채꼴로 나누면, 각 부채꼴 안에 들어가는 삼각형(밑변 $1$ , 높이 $\sin\frac{2\pi}{n}$ )이 있어요. 그 넓이는 $\frac12\sin\frac{2\pi}{n}$ 이고 $n$ 개를 모으면 원 안에 들어가므로 $\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\le A$
2
반대로 각 부채꼴을 완전히 덮는 바깥쪽 삼각형의 넓이는 $\frac12BH=\frac12B^2\sin\frac{2\pi}{n}$ 이에요. $n$ 개를 모으면 원을 덮으므로 $A\le\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)B^2$
3
왼쪽 값의 극한을 구해요. $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}=\pi\cdot\frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}$ 이고, $n\to\infty$ 이면 $\frac{2\pi}{n}\to0$ 이므로 $\frac{\sin x}{x}\to1$ 덕분에 $\pi$ 에 가까워져요. 그래서 $\pi\le A$ 예요.
4
오른쪽 값의 극한을 구해요. $n\to\infty$ 이면 $\frac{\pi}{n}\to0$ 이므로 $B=\cos\frac{\pi}{n}+\sin\frac{\pi}{n}\tan\frac{\pi}{n}\to1+0\cdot0=1$ 이에요. 따라서 $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}B^2\to\pi\cdot1=\pi$ 이고 $A\le\pi$ 예요.
5
$\pi\le A\le\pi$ 이므로 조임 정리에 의해 $A=\pi$ 예요. 즉 단위원의 넓이는 $\pi$ 예요.

답

단위원의 넓이 $A$ 에 대해 $\pi\le A\le\pi$ 이므로 $A=\pi$

자주 하는 실수

안쪽 삼각형만 쓰고 바깥쪽을 빼먹으면 $A\ge\pi$ 만 나와요. 위아래 두 부등식이 모두 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

Let A be the area of the unit circle. The circle encloses n congruent triangles each of area $\frac{\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)}{2},$ so $\frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)\le A.$ Similarly, the circle is contained inside n congruent triangles each of area $\frac{BH}{2}=\frac{1}{2}{\left( \cos \left( \frac{\pi }{n} \right)+\sin \left( \frac{\pi }{n} \right)\tan \left( \frac{\pi }{n} \right) \right)}^{2}\sin \left( \frac{2\pi }{n} \right),$ so $A\le \frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)(\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan {\left(\frac{\pi }{n}\right))}^{2}.$ As $n\to \infty ,\frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)=\frac{\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)}{\left(\frac{2}{n}\right)}A\to \pi ,$ so we conclude $\pi \le A.$ Also, as $n\to \infty ,\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)\to 1,$ so we also have $A\le \pi .$ By the squeeze theorem for limits, we conclude that $A=\pi .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 41번

# 정적분과 급수(구분구적법)증명·논술도전

4.OpenStax 1권 · 5.2절 · 6번우리말 풀이

다음 문제에서 $L_n$ 또는 $R_n$ 이 주어졌을 때, $n\to\infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고 적분 구간을 정하세요.

$R_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${R}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}$

풀이 보기

$\frac1n$ 은 폭 $\Delta x$ , $\frac in$ 은 점 $x_i$ 로 읽어요.

1
오른쪽 끝점 합은 $R_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x$ 꼴이에요. 주어진 식과 비교해 각 부분이 무엇인지 읽어요.
2
$\Delta x=\frac1n$ 이고 $x_i=\frac in$ 이에요. 구간이 $[a,b]$ 이면 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ , $x_i=a+i\Delta x$ 이므로 $b-a=1$ , $a=0$ 으로 읽을 수 있어요. 즉 구간은 $[0,1]$ 이에요.
3
그러면 $x_i=\frac in$ 에서의 함숫값이 $\frac in$ 이므로 $f(x)=x$ 예요.
4
따라서 $\lim_{n\to\infty}R_n=\int_0^1 x\,dx$ 예요. (값은 $\frac12$ 이에요.)

답

$\int_0^1 x\,dx$ (구간 $[0,1]$ )

자주 하는 실수

$\frac1n$ 을 보고 구간의 끝을 $\frac1n$ 이라 착각하기 쉬워요. $\frac1n$ 은 한 칸의 폭이에요.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 29번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인보통

5.OpenStax 1권 · 5.2절 · 78번우리말 풀이

[계산기 사용] $[1,2]$ 에서 $f(t)=4-t^2$ 에 대해 왼쪽 합 $L_{10}$ , 오른쪽 합 $R_{10}$ 과 그 평균 $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}$ 을 구하세요. $\int_1^2(4-t^2)\,dt=1.\overline{66}$ 일 때, $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}$ 은 소수점 아래 몇째 자리까지 정확한가요?

영어 원문 보기

[T] Compute the left and right Riemann sums, L₁₀ and R₁₀, and their average $\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}$ for $f(t)=(4-{t}^{2})$ over $[1,2].$ Given that ${\int }_{1}^{2}(4-{t}^{2})dt=1.\overset{-}{66},$ to how many decimal places is $\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}$ accurate?

풀이 보기

한 칸의 폭 $0.1$ 에 높이를 곱해 더하고, 왼쪽과 오른쪽의 평균을 내면 오차가 크게 줄어요.

1
구간 $[1,2]$ 를 10등분하면 $\Delta t=0.1$ 이고 분점은 $t_i=1+0.1i$ 예요.
2
왼쪽 합은 $i=0,\dots,9$ 를 쓰므로 $L_{10}=0.1\sum_{i=0}^{9}\bigl(4-t_i^2\bigr)$ 이에요. $\sum_{i=0}^{9}t_i^2=\sum(1+0.2i+0.01i^2)=10+0.2\cdot45+0.01\cdot285=21.85$ 이므로 $\sum(4-t_i^2)=40-21.85=18.15$ , 따라서 $L_{10}=1.815$ 예요.
3
오른쪽 합은 $i=1,\dots,10$ 을 쓰므로 $\sum t_i^2=10+0.2\cdot55+0.01\cdot385=24.85$ 이고 $\sum(4-t_i^2)=40-24.85=15.15$ 예요. 따라서 $R_{10}=1.515$ 예요.
4
평균은 $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}=\frac{1.815+1.515}{2}=1.665$ 예요. $f$ 가 감소하므로 $L_{10}$ 은 실제보다 크고 $R_{10}$ 은 작아서, 평균을 내면 서로 오차가 상쇄돼요.
5
실제 값 $1.666\ldots$ 과 비교하면 $1.665$ 는 차이가 약 $0.0017$ 이에요. 소수 둘째 자리까지 같은 값( $1.66$ )이므로 소수점 아래 둘째 자리까지 정확해요.

답

$L_{10}=1.815,\ R_{10}=1.515,\ \frac{L_{10}+R_{10}}{2}=1.665$ (소수점 아래 둘째 자리까지 정확)

자주 하는 실수

왼쪽 합에 $i=1\sim10$ 을 쓰는 등 합의 범위를 바꿔 쓰는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{10}=1.815,{R}_{10}=1.515,\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}=1.665,$ so the estimate is accurate to two decimal places.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 29번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통

6.OpenStax 1권 · 5.4절 · 29번우리말 풀이

다음 표는 2012년 투르 드 프랑스 1구간 마지막 18초 동안 피터 사간의 초당 평균 출력(와트)을 추정한 자료예요.

평균 출력

초	와트	초	와트
1	600	10	1200
2	500	11	1170
3	575	12	1125
4	1050	13	1100
5	925	14	1075
6	950	15	1000
7	1050	16	950
8	950	17	900
9	1100	18	780

출처: sportsexercisengineering.com

$1\text{W}=1\text{J/s}$ 임을 이용하여, 이 구간 동안 쓴 순 에너지를 킬로줄(kJ) 단위로 추정하고, 이 시간 동안의 평균 출력도 구하세요.

영어 원문 보기

The data in the following table are used to estimate the average power output produced by Peter Sagan for each of the last 18 sec of Stage 1 of the 2012 Tour de France.

Average Power Output

Second	Watts	Second	Watts
1	600	10	1200
2	500	11	1170
3	575	12	1125
4	1050	13	1100
5	925	14	1075
6	950	15	1000
7	1050	16	950
8	950	17	900
9	1100	18	780

Source: sportsexercisengineering.com

Estimate the net energy used in kilojoules (kJ), noting that 1W = 1 J/s, and the average power output by Sagan during this time interval.

답 쓰고 채점

kJ

풀이 보기

출력(와트=줄/초)을 시간에 대해 더하면 에너지(줄)가 돼요. 1초 간격이므로 와트 값을 모두 더하면 돼요.

1
에너지는 출력을 시간에 대해 적분한 값이에요. 표는 1초마다 값이 있으므로 폭이 $\Delta t=1$ 초인 직사각형의 합(리만 합)으로 근사해요. 각 칸의 에너지는 (와트)×(1초)=줄이에요.
2
1초부터 9초까지의 합은 $600+500+575+1050+925+950+1050+950+1100=7700$ 이에요.
3
10초부터 18초까지의 합은 $1200+1170+1125+1100+1075+1000+950+900+780=9300$ 이에요. 전체는 $7700+9300=17000$ 줄, 즉 $17\text{ kJ}$ 예요.
4
평균 출력은 전체 에너지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. $\frac{17000\text{ J}}{18\text{ s}}\approx944\text{ W}$ 예요.

답

순 에너지 약 $17\text{ kJ}$ , 평균 출력 약 $944\text{ W}$

자주 하는 실수

킬로줄로 바꾸지 않고 $17000$ 이라고만 쓰거나, 평균을 구할 때 18이 아닌 다른 수로 나누는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

17 kJ

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 59번

# 정적분과 급수(구분구적법)활용보통