문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

여러 가지 함수의 적분

지수·로그·삼각함수, 1/x 꼴의 부정적분과 정적분을 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

7문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.10절 · 27번우리말 풀이

다음 문제에서 적분을 구하세요.

$\int \sin x\,dx$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the integral.

$\int \sin xdx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

미분하면 $\sin x$ 가 되는 함수를 떠올려요. $\cos x$ 를 미분하면 $-\sin x$ 예요.

1
부정적분은 미분하면 $\sin x$ 가 되는 함수예요. $(\cos x)'=-\sin x$ 이므로 부호가 반대인 $-\cos x$ 를 생각해요.
2
확인해 봐요. $(-\cos x)'=-(-\sin x)=\sin x$ 로 맞아요. 상수는 미분하면 $0$ 이므로 적분상수 $C$ 를 붙여요. $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$

답

$-\cos x+C$

자주 하는 실수

$\sin x$ 의 부정적분을 $\cos x$ 로 쓰는 부호 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\cos x+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 24번

# 여러 가지 함수의 적분계산기본

2.OpenStax 1권 · 4.10절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 이계도함수 또는 삼계도함수가 주어졌을 때, 가능한 함수 $f$ 를 두 가지 구하세요.

$f''(x)=e^{-x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find two possible functions $f$ given the second- or third-order derivatives.

${f}^{''}(x)={e}^{-x}$

풀이 보기

$f''$ 을 두 번 적분하면 $f$ 가 되고, 적분할 때마다 상수가 생겨서 답이 여러 개예요.

1
먼저 $f''(x)=e^{-x}$ 를 한 번 적분해 $f'$ 을 구해요. $(e^{-x})'=-e^{-x}$ 이므로 $\int e^{-x}dx=-e^{-x}$ 예요. 따라서 $f'(x)=-e^{-x}+C_1$ 이에요.
2
한 번 더 적분해요. $\int(-e^{-x})dx=e^{-x}$ 이므로 $f(x)=e^{-x}+C_1x+C_2$ 예요.
3
$C_1$ , $C_2$ 는 아무 상수나 될 수 있어요. $C_1=C_2=0$ 으로 놓으면 $f(x)=e^{-x}$ 이고, $C_1=1$ , $C_2=0$ 으로 놓으면 $f(x)=e^{-x}+x$ 예요. 둘 다 두 번 미분하면 $e^{-x}$ 가 되는지 확인해 봐요.

답

예시 답: $f(x)=e^{-x}$ 와 $f(x)=e^{-x}+x$

자주 하는 실수

적분상수를 하나( $C$ )만 붙여요. 두 번 적분하면 상수가 두 개 생겨요.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; one possible answer is $f(x)={e}^{-x}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.10절 · 27번

# 여러 가지 함수의 적분계산보통

3.OpenStax 1권 · 5.3절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서 미적분의 기본정리 2부를 이용하여 각 정적분의 값을 구하세요.

$\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each definite integral using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.

${\int }_{0}^{\pi /2}\sin \theta d\theta$

풀이 보기

부정적분 $F$ 를 찾아 $F(\text{위끝})-F(\text{아래끝})$ 을 계산해요.

1
$\sin\theta$ 의 부정적분 하나는 $F(\theta)=-\cos\theta$ 예요. 미분하면 $\sin\theta$ 가 되는 것을 확인할 수 있어요.
2
기본정리 2부에 의해 $\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=F\left(\frac\pi2\right)-F(0)$ 예요.
3
$F\left(\frac\pi2\right)=-\cos\frac\pi2=0$ , $F(0)=-\cos0=-1$ 이므로 $0-(-1)=1$ 이에요.

답

$1$

자주 하는 실수

$F(0)=-1$ 을 빼는 부호를 놓쳐 $-1$ 이라고 답해요.

원본 교재 풀이(영어)

$F(x)=-\cos x,F\left(\frac{\pi }{2}\right)-F(0)=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.10절 · 41번

# 여러 가지 함수의 적분계산기본

4.OpenStax 1권 · 5.4절 · 3번우리말 풀이

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

$\int\frac{dx}{2x}$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

$\int \frac{dx}{2x}$

풀이 보기

상수 $\frac12$ 을 적분 밖으로 꺼내면 $\int\frac1x dx=\ln|x|$ 를 쓸 수 있어요.

1
$\frac{1}{2x}=\frac12\cdot\frac1x$ 이므로 상수배를 앞으로 꺼내요. $\int\frac{dx}{2x}=\frac12\int\frac1x\,dx$ 예요.
2
$\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$ 이므로 $\frac12\ln|x|+C$ 예요. $x$ 가 음수일 수도 있으므로 절댓값을 붙여요.

답

$\frac12\ln|x|+C$

자주 하는 실수

$2x$ 를 한 덩어리로 보고 $\ln|2x|$ 로 쓴 뒤 $2$ 를 곱하지 않는 등 계수를 틀려요. (상수는 $C$ 에 흡수되지만 앞의 $\frac12$ 은 남아요.)

원본 교재 풀이(영어)

$\int \frac{dx}{2x}=\frac{1}{2}\ln |x|+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 60번

# 여러 가지 함수의 적분계산기본

5.OpenStax 1권 · 5.6절 · 24번우리말 풀이

다음 문제에서 $\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$ 임을 미분으로 확인한 다음, 알맞게 변수를 바꾸어 적분을 계산하세요.

$\int {x}^{2}\text{ln(}{x}^{2})\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify by differentiation that $\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C,$ then use appropriate changes of variables to compute the integral.

$\int {x}^{2}\text{ln(}{x}^{2})\,dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

$u=x^3$ 으로 치환하면 $x^2dx$ 가 $\frac{du}{3}$ 이 되고, 이미 아는 $\int\ln u\,du$ 로 바뀌어요.

1
먼저 주어진 공식을 확인해요. $\frac{d}{dx}\left[x(\ln x-1)\right]=(\ln x-1)+x\cdot\frac1x=\ln x$ 이므로 $\int\ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$ 가 맞아요.
2
로그를 정리해요. ( $x>0$ 으로 생각해요.) $\ln(x^2)=2\ln x$ 이고, $x^3=u$ 로 두면 $\ln x=\frac13\ln u$ 예요. 그래서 $x^2\ln(x^2)=2x^2\ln x=\frac{2}{3}\,x^2\ln u$
3
치환해요. $u=x^3$ 이면 $du=3x^2dx$ , 즉 $x^2dx=\frac{du}{3}$ 이에요. $\int x^2\ln(x^2)\,dx=\int 2\cdot\frac{1}{3}\ln u\cdot\frac{du}{3}=\frac{2}{9}\int\ln u\,du$
4
공식을 써요. $\frac29\int\ln u\,du=\frac29\,u(\ln u-1)+C$
5
$x$ 로 되돌려요. $u=x^3$ 이므로 $\frac{2}{9}x^3\left(\ln(x^3)-1\right)+C$ 로 정리돼요. (직접 부분적분으로 풀어도 $\frac23x^3\ln x-\frac29x^3+C$ 로 같은 식이에요.)

답

$\dfrac{2}{9}x^3\left(\ln(x^3)-1\right)+C$

자주 하는 실수

$\ln(x^2)$ 의 지수 2 를 앞으로 빼는 것을 잊거나, 치환 후 $dx$ 를 $\frac{du}{3}$ 로 바꾸는 것을 빼먹어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{2}{9}{x}^{3}(\ln ({x}^{3})-1)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 56번

# 여러 가지 함수의 적분계산보통

6.OpenStax 1권 · 5.6절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{\pi /4}^{\pi /3}\cot x\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the definite integral.

${\int }_{\pi /4}^{\pi /3}\cot xdx$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ 이고 분자가 분모의 도함수이므로 $\ln|\sin x|$ 가 부정적분이에요.

1
왜 이렇게 할까요? $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ 로 쓰면, 분자 $\cos x$ 가 분모 $\sin x$ 의 도함수예요. 이런 꼴은 $\int\frac{g'(x)}{g(x)}dx=\ln|g(x)|+C$ 를 써요.
2
부정적분을 구해요. $\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$ (구간에서 $\sin x>0$ 이에요.)
3
위끝과 아래끝을 넣어요. $\Big[\ln\sin x\Big]_{\pi/4}^{\pi/3}=\ln\frac{\sqrt3}{2}-\ln\frac{\sqrt2}{2}$
4
로그의 성질로 합쳐요. $\ln\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=\ln\sqrt{\frac32}=\frac12\ln\frac32$

답

$\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2}$

자주 하는 실수

$\cot x$ 의 적분을 $-\ln|\cos x|$ 나 $\ln|\cos x|$ 로 헷갈려요. (그건 $\tan x$ 쪽이에요.)

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2}\ln \,\frac{3}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 40번

# 여러 가지 함수의 적분계산보통

7.OpenStax 1권 · 5.6절 · 56번우리말 풀이

다음 문제에서 구간 $a\le x\le b$ 에서 $f(x)\ge 0$ 이에요. 주어진 값 $a$ , $b$ 에 대해 $f(x)$ 의 그래프 아래의 넓이를 적분으로 구하세요.

$f(x)={2}^{-x};a=3,b=4$

영어 원문 보기

In the following exercises, $f(x)\ge 0$ for $a\le x\le b.$ Find the area under the graph of $f(x)$ between the given values a and b by integrating.

$f(x)={2}^{-x};a=3,b=4$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ 이므로 $2^{-x}$ 의 부정적분은 $-\frac{2^{-x}}{\ln 2}$ 예요.

1
왜 이렇게 할까요? 그래프 아래의 넓이는 정적분 $\int_3^4 2^{-x}dx$ 의 값이에요. 먼저 부정적분을 구해요.
2
부정적분. $2^{-x}=\left(\frac12\right)^x$ 이므로 $\int 2^{-x}dx=-\frac{2^{-x}}{\ln2}+C$ 예요. 미분하면 $-\frac{2^{-x}\cdot(-\ln 2)}{\ln 2}=2^{-x}$ 로 맞아요.
3
위끝과 아래끝을 넣어요. $\left[-\frac{2^{-x}}{\ln2}\right]_3^4=-\frac{2^{-4}}{\ln2}+\frac{2^{-3}}{\ln2}=\frac{1}{\ln2}\left(\frac18-\frac1{16}\right)=\frac{1}{16\ln2}$
4
원본 답과 같은 꼴로 바꿔요. $65536=2^{16}$ 이므로 $\ln(65536)=16\ln2$ 이고 $\frac{1}{16\ln2}=\frac{1}{\ln(65536)}$

답

$\dfrac{1}{16\ln 2}=\dfrac{1}{\ln(65536)}$

자주 하는 실수

$2^{-x}$ 의 부정적분에서 음수 부호를 빼먹어 $\frac{2^{-x}}{\ln 2}$ 로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{\ln (65,536)}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 3번

# 여러 가지 함수의 적분계산보통