적분 기법 전체 연습문제

1.OpenStax 2권 · 3.1절 · 53번우리말 풀이

다음 적분을 계산할 때 부분적분을 쓸지 말해 보세요. 쓴다면 $u$ 와 $dv$ 를 정하고, 쓰지 않는다면 실제로 풀지는 말고 어떤 방법을 쓸지 설명하세요.

$\int \frac{\ln^{2}x}{x}dx$

영어 원문 보기

State whether you would use integration by parts to evaluate the integral. If so, identify u and dv. If not, describe the technique used to perform the integration without actually doing the problem.

$\int \frac{{\ln }^{2}x}{x}dx$

풀이 보기

$\ln x$ 의 도함수 $\frac1x$ 가 함께 곱해져 있으면 $u=\ln x$ 로 치환해요.

1
먼저 식을 $\ln^2 x\cdot\frac1x$ 로 읽어요. 여기서 $\frac1x$ 는 바로 $\ln x$ 의 도함수예요. 어떤 함수와 그 도함수가 같이 곱해져 있으면 치환적분을 먼저 떠올려요.
2
$u=\ln x$ 로 놓으면 $du=\frac1x\,dx$ 예요.
3
치환하면 $\int \frac{\ln^2 x}{x}\,dx=\int u^2\,du$ 로 아주 간단한 거듭제곱 적분이 돼요.
4
그래서 부분적분은 필요 없어요. (참고로 끝까지 풀면 $\frac{u^3}{3}+C=\frac{\ln^3 x}{3}+C$ 예요.)

답

부분적분을 쓰지 않아요. $u=\ln x$ 로 치환하면 $\int u^2\,du$ 꼴이 돼요.

자주 하는 실수

$\ln$ 이 보인다고 무조건 부분적분을 쓰면 오히려 더 복잡해질 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

Do not use integration by parts. Choose u to be $\ln x,$ and the integral is of the form $\int {u}^{2}du.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3장 복습 · 16번

# 적분 전략 고르기개념 확인보통

2.OpenStax 2권 · 3장 복습 · 1번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

다음 문제에서 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 증명 또는 반례로 답을 뒷받침하세요.

$\int {e}^{x}\sin (x)dx$ 는 부분적분으로 적분할 수 없다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

For the following exercises, determine whether the statement is true or false. Justify your answer with a proof or a counterexample.

$\int {e}^{x}\sin (x)dx$ cannot be integrated by parts.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.5절 · 52번

# 적분 전략 고르기개념 확인자동 분류

3.OpenStax 2권 · 3장 복습 · 2번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

다음 문제에서 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 증명 또는 반례로 답을 뒷받침하세요.

$\int \frac{1}{{x}^{4}+1}dx$ 는 부분분수를 이용하여 적분할 수 없다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

For the following exercises, determine whether the statement is true or false. Justify your answer with a proof or a counterexample.

$\int \frac{1}{{x}^{4}+1}dx$ cannot be integrated using partial fractions.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓

원본 교재 풀이(영어)

False

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3장 복습 · 6번

# 적분 전략 고르기개념 확인자동 분류

4.APEX · 5.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

T/F: 심프슨 법칙은 부정적분을 어림하는 방법이다.

영어 원문 보기

T/F: Simpson's Rule is a method of approximating antiderivatives.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.5절 · 2번

# 수치적분개념 확인자동 분류

5.APEX · 5.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

정적분의 값을 어림하는 것이 필요한 기본적인 두 가지 상황은 무엇입니까?

영어 원문 보기

What are the two basic situations where approximating the value of a definite integral is necessary?

정답·풀이 보기

부정적분을 구할 수 없는 경우와 피적분함수를 알 수 없는 경우이다.

원본 교재 풀이(영어)

When the antiderivative cannot be computed and when the integrand is unknown.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.5절 · 3번

# 수치적분개념 확인자동 분류

6.APEX · 5.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

왼쪽 끝점 법칙과 오른쪽 끝점 법칙이 거의 사용되지 않는 이유는 무엇입니까?

영어 원문 보기

Why are the Left and Right Hand Rules rarely used?

정답·풀이 보기

사다리꼴 법칙으로 대체되었기 때문이다. 사다리꼴 법칙은 계산량이 같으면서 일반적으로 더 정확하다.

원본 교재 풀이(영어)

They are superseded by the Trapezoidal Rule; it takes an equal amount of work and is generally more accurate.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.5절 · 4번

# 수치적분개념 확인자동 분류

7.APEX · 5.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

심프슨 법칙은 함수의 일부분을 어떤 종류의 함수로 어림하는 것에 기초합니까?

영어 원문 보기

Simpson's Rule is based on approximating portions of a function with what type of function?

정답·풀이 보기

이차함수(즉, 포물선)

원본 교재 풀이(영어)

A quadratic function (i.e., parabola)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.6절 · 39번

# 수치적분개념 확인자동 분류

8.APEX · 6.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $\displaystyle \int \sin^2x\cos^2x \ dx$ 는 $\sin x$ 와 $\cos x$ 의 거듭제곱이 모두 짝수이므로 이 절에서 설명한 방법으로는 구할 수 없다.

영어 원문 보기

T/F: $\displaystyle \int \sin^2x\cos^2x \ dx$ cannot be evaluated using the techniques described in this section since both powers of $\sin x$ and $\cos x$ are even.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.3절 · 3번

# 삼각함수의 적분개념 확인자동 분류

9.APEX · 6.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $\displaystyle \int \sin^3x\cos^3x \ dx$ 는 $\sin x$ 와 $\cos x$ 의 거듭제곱이 모두 홀수이므로 이 절에서 설명한 방법으로는 구할 수 없다.

영어 원문 보기

T/F: $\displaystyle \int \sin^3x\cos^3x \ dx$ cannot be evaluated using the techniques described in this section since both powers of $\sin x$ and $\cos x$ are odd.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.8절 · 28번

# 삼각함수의 적분개념 확인자동 분류

10.APEX · 6.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 이 절에서는 $\displaystyle \int \sin^5x\tan^3x\ dx$ 와 같은 부정적분을 구하는 방법을 다룬다.

영어 원문 보기

T/F: This section addresses how to evaluate indefinite integrals such as $\displaystyle \int \sin^5x\tan^3x\ dx.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.3절 · 2번

# 삼각함수의 적분개념 확인자동 분류

11.APEX · 6.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 컴퓨터 프로그램이 삼각함수가 포함된 적분을 이 절의 방법으로 구할 때와 다르게 계산하는 경우가 있다. 이런 경우에는 이 절의 방법이 실패한 것이므로 컴퓨터가 준 답만 믿어야 한다.

영어 원문 보기

T/F: Sometimes computer programs evaluate integrals involving trigonometric functions differently than one would using the techniques of this section. When this is the case, the techniques of this section have failed and one should only trust the answer given by the computer.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 43번

# 삼각함수의 적분개념 확인자동 분류

12.APEX · 6.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

빈칸을 채우세요: 부분분수 분해는 _____ 함수를 다시 쓰는 방법이다.

영어 원문 보기

Fill in the blank: Partial Fraction Decomposition is a method of rewriting _____ functions.

정답·풀이 보기

유리

원본 교재 풀이(영어)

rational

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 2번

# 삼각치환개념 확인자동 분류

13.APEX · 6.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 부분분수 분해를 사용하기 전에 다항식의 나눗셈을 사용해야 할 때가 가끔 있다.

영어 원문 보기

T/F: It is sometimes necessary to use polynomial division before using Partial Fraction Decomposition.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.4절 · 1번

# 삼각치환개념 확인자동 분류

14.APEX · 6.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

삼각치환은 치환적분과 같은 원리로 작동하지만, "_____"처럼 느껴질 수 있다.

영어 원문 보기

Trigonometric Substitution works on the same principles as Integration by Substitution, though it can feel “_____”.

정답·풀이 보기

거꾸로

원본 교재 풀이(영어)

backwards

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 7번

# 이상적분개념 확인자동 분류

15.APEX · 6.8절 · 2번대학 수준우리말 번역

피적분함수에 $\sqrt{25-x^2}$ 이 들어 있는 적분에 삼각치환을 사용한다면, $x=$ _____ 로 놓아야 한다.

영어 원문 보기

If one uses Trigonometric Substitution on an integrand containing $\sqrt{25-x^2}$ , then one should set $x=$ _____.

정답·풀이 보기

$5\sin\theta$

원본 교재 풀이(영어)

$5\sin\theta$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.8절 · 3번

# 이상적분개념 확인자동 분류

16.APEX · 6.8절 · 3번대학 수준우리말 번역

피타고라스 항등식 $\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1$ 을 생각하자.

(a) 양변을 $\cos^2\theta$ 로 나누면 어떤 항등식이 얻어지는지 구하세요. (b) 새로 얻은 항등식을 이용하여 $9\tan^2\theta + 9$ 를 간단히 하세요.

영어 원문 보기

Consider the Pythagorean Identity $\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1$ .

(a) What identity is obtained when both sides are divided by $\cos^2\theta$ ? (b) Use the new identity to simplify $9\tan^2\theta + 9.$

정답·풀이 보기

(a) $\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ (b) $9\sec^2\theta$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ (b) $9\sec^2\theta$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.8절 · 1번

# 이상적분개념 확인자동 분류

17.CLP-2 · 1.11절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하세요. 참이면 간단한 근거를 제시하세요.

$f(x)$ 가 양수이고 아래로 볼록할 때, $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x$ 에 대한 사다리꼴 공식 어림값은 항상 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x$ 의 상한 어림값이다.

영어 원문 보기

Decide whether the following statement is true or false. If false, provide a counterexample. If true, provide a brief justification.

When $f(x)$ is positive and concave up, any trapezoidal rule approximation for $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x$ will be an upper estimate for $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

참이다. $f(x)$ 가 양수이고 아래로 볼록하므로, $f(x)$ 의 그래프는 사다리꼴 공식에 사용된 사다리꼴들의 윗변보다 항상 아래에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

True. Because $f(x)$ is positive and concave up, the graph of $f(x)$ is always below the top edges of the trapezoids used in the trapezoidal rule.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.5절 · 1번

# 수치적분개념 확인기본자동 분류

18.CLP-2 · 1.12절 · 17번대학 수준우리말 번역

직선 $y = \dfrac{1}{x\vphantom{\frac{1}{2}}}$ 의 $x=a$ 부터 $x=1$ 까지의 부분을 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 부부젤라 모양의 키 큰 입체를 만든다. 여기서 $a$ 는 0과 1 사이의 어떤 상수이다.

참 또는 거짓: 상수 $M$ 이 아무리 크더라도, 부피가 $M$ 보다 큰 입체를 만드는 $a$ 의 값이 존재한다.

영어 원문 보기

We craft a tall, vuvuzela-shaped solid by rotating the line $y = \dfrac{1}{x\vphantom{\frac{1}{2}}}$ from $x=a$ to $x=1$ about the $y$ -axis, where $a$ is some constant between 0 and 1.

True or false: No matter how large a constant $M$ is, there is some value of $a$ that makes a solid with volume larger than $M$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

입체의 부피를 구하기 위해, 입체를 얇은 원판 모양의 가로 단면으로 자른다. 높이 $y$ 에서 원판의 반지름은 $x=\frac{1}{y}$ 이고 두께는 $\mathrm{d}y$ 이므로, 그 부피는 $\frac{\pi}{y^2}\mathrm{d}y$ 이다. 입체의 밑면은 높이 $y=1$ 에 있고, 꼭대기는 높이 $y=\frac{1}{a}$ 에 있다. 따라서 입체 전체의 부피는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_1^{1/a} \frac{\pi}{y^2}\mathrm{d}y = \left[-\frac{\pi}{y}\right]_1^{1/a} = \pi (1-a) \end{aligned}$

$a$ 를 0에 점점 더 가깝게 하면 부피는 커져서 $\pi$ 단위에 점점 가까워지지만, 결코 $\pi$ 에 이르지는 못한다.

따라서 주어진 명제는 거짓이다. 예를 들어 $M=4$ 로 두면, 어떤 $a$ 를 택하더라도 이 입체의 부피는 $M$ 보다 확실히 작다.

참고: 앞에서 $\int_0^1 \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ 가 발산함을 보았다. $a=0$ 으로 택했을 때 만들어질 입체를 생각하면, 그 부피는 겨우 $\pi$ 세제곱 단위에 불과하지만, 그 실루엣(옆에서 본 모양)의 넓이는 무한하다.

원본 교재 풀이(영어)

To find the volume of the solid, we cut it into horizontal slices, which are thin circular disks. At height $y$ , the disk has radius $x=\frac{1}{y}$ and thickness $\mathrm{d}y$ , so its volume is $\frac{\pi}{y^2}\mathrm{d}y$ . The base of the solid is at height $y=1$ , and its top is at height $y=\frac{1}{a}$ . So, the volume of the entire solid is:

$\begin{aligned} \int_1^{1/a} \frac{\pi}{y^2}\mathrm{d}y = \left[-\frac{\pi}{y}\right]_1^{1/a} = \pi (1-a) \end{aligned}$

If we imagine sliding $a$ closer and closer to 0, the volume increases, getting closer and closer to $\pi$ units, but never quite reaching it.

So, the statement is false. For example, if we set $M=4$ , no matter which $a$ we choose our solid has volume strictly less than $M$ .

Remark: we've seen before that $\int_0^1 \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ diverges. If we imagine the solid that would result from choosing $a=0$ , it would have a scant volume of $\pi$ cubic units, but a silhouette (side view) of infinite area.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.5절 · 11번

# 이상적분개념 확인도전자동 분류

19.CLP-2 · 1.12절 · 27번대학 수준우리말 번역

참 또는 거짓: $x \geq 1$ 인 어떤 실수 $x$ 가 존재하여 $\displaystyle\int_0^x \frac{1}{e^t}~\mathrm{d}t = 1$ 이다.

영어 원문 보기

True or false: There is some real number $x$ , with $x \geq 1$ , such that $\displaystyle\int_0^x \frac{1}{e^t}~\mathrm{d}t = 1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$F(x)= \int_0^x \frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t$ 라 하자.

$\begin{aligned} F(x)=\int_0^x \frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t&=\left[-\frac{1}{e^{t}}\right]_0^x = \frac{1}{e^0}-\frac{1}{e^{x}}<\frac{1}{e^0}=1 \end{aligned}$

따라서 주어진 명제는 거짓이다. $F(x)=1$ 인 $x$ 는 존재하지 않는다. 모든 실수 $x$ 에 대해 $F(x) < \frac{1}{e^0}=1$ 이다.

여기서 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \int_0^x\frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t=1$ 임에 주목하자. 즉 $x$ 가 커질수록 $F(x)$ 와 1 의 차는 한없이 작아진다. 그러나 $F(x)$ 가 정확히 1 과 같아지는 실수 $x$ 의 값은 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Define $F(x)= \int_0^x \frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t$ .

$\begin{aligned} F(x)=\int_0^x \frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t&=\left[-\frac{1}{e^{t}}\right]_0^x = \frac{1}{e^0}-\frac{1}{e^{x}}<\frac{1}{e^0}=1 \end{aligned}$

So, the statement is false: there is no $x$ such that $F(x)=1$ . For every real $x$ , $F(x) < \frac{1}{e^0}=1$ .

We note here that $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \int_0^x\frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t=1$ . So, as $x$ grows larger, the gap between $F(x)$ and 1 grows infintesimally small. But there is no real value of $x$ where $F(x)$ is exactly equal to 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 29번

# 이상적분개념 확인도전자동 분류

적분 기법 전체 문제