적분 기법 전체 연습문제

1.OpenStax 2권 · 3.2절 · 44번대학 수준우리말 번역

방정식 $y=\sin x,y={\sin }^{3}x,x=0,\text{그리고}\,x=\frac{\pi }{2}$ 의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the region bounded by the graphs of the equations $y=\sin x,y={\sin }^{3}x,x=0,\text{and}\,x=\frac{\pi }{2}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.8절 · 3번

# 삼각함수의 적분활용자동 분류

2.OpenStax 2권 · 3.2절 · 45번대학 수준우리말 번역

방정식 $y={\cos }^{2}x,y={\sin }^{2}x,x=-\frac{\pi }{4},\text{그리고}\,x=\frac{\pi }{4}$ 의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the region bounded by the graphs of the equations $y={\cos }^{2}x,y={\sin }^{2}x,x=-\frac{\pi }{4},\text{and}\,x=\frac{\pi }{4}.$

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1.0

원본 교재 풀이(영어)

1.0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 47번

# 삼각함수의 적분활용자동 분류

3.OpenStax 2권 · 3.2절 · 46번대학 수준우리말 번역

한 입자가 직선 위를 움직이며 속도 함수가 $v(t)=\sin (\omega t){\cos }^{2}(\omega t)$ 이다. $f(0)=0$ 일 때, 이 입자의 위치 함수 $x=f(t)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle moves in a straight line with the velocity function $v(t)=\sin (\omega t){\cos }^{2}(\omega t).$ Find its position function $x=f(t)$ if $f(0)=0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 19번

# 삼각함수의 적분활용자동 분류

4.OpenStax 2권 · 3.3절 · 42번대학 수준우리말 번역

두 가지 서로 다른 치환을 사용하여 적분 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$ 의 값을 구하세요. 먼저 $x=\cos \theta$ 로 놓고 삼각치환을 이용하여 값을 구하세요. 다음으로 $x=\sin \theta$ 로 놓고 삼각치환을 이용하세요. 두 답은 같은가요?

영어 원문 보기

Evaluate the integral $\int \frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$ using two different substitutions. First, let $x=\cos \theta$ and evaluate using trigonometric substitution. Second, let $x=\sin \theta$ and use trigonometric substitution. Are the answers the same?

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$\arcsin (x)+C$ 가 공통된 답이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\arcsin (x)+C$ is the common answer.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 40번

# 삼각치환활용자동 분류

5.OpenStax 2권 · 3.3절 · 49번대학 수준우리말 번역

$y={x}^{2},y=0,x=0,\text{그리고}\,x=\sqrt{2}$ 의 그래프로 둘러싸인 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 겉넓이를 구하세요. (답은 반올림하여 소수 셋째 자리까지 나타내세요.)

영어 원문 보기

Find the surface area of the solid generated by revolving the region bounded by the graphs of $y={x}^{2},y=0,x=0,\text{and}\,x=\sqrt{2}$ about the x-axis. (Round the answer to three decimal places).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 9번

# 삼각치환활용자동 분류

6.OpenStax 2권 · 3.3절 · 54번대학 수준우리말 번역

석유 저장 탱크는 $y=\frac{16}{\sqrt{64+{x}^{2}}},x=0,y=0,x=2$ …로 유계된 영역을 x축을 중심으로 회전시켜 생기는 부피로 나타낼 수 있다. 탱크의 부피(세제곱미터)를 구하세요.

영어 원문 보기

An oil storage tank can be described as the volume generated by revolving the area bounded by $y=\frac{16}{\sqrt{64+{x}^{2}}},x=0,y=0,x=2$ about the x-axis. Find the volume of the tank (in cubic meters).

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24.6 m³

원본 교재 풀이(영어)

24.6 m³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 28번

# 삼각치환활용자동 분류

7.OpenStax 2권 · 3.3절 · 55번대학 수준우리말 번역

각 주기 동안 로봇 용접 장치의 속도 v(피트/초)는 $v=2t-\frac{14}{4+{t}^{2}}$ 로 주어진다. 여기서 t는 시간(초)이다. $t=0$ 일 때 $s=0$ 이면, 변위 s(피트)를 t의 함수로 나타낸 식을 구하세요.

영어 원문 보기

During each cycle, the velocity v (in feet per second) of a robotic welding device is given by $v=2t-\frac{14}{4+{t}^{2}},$ where t is time in seconds. Find the expression for the displacement s (in feet) as a function of t if $s=0$ when $t=0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.4절 · 2번

# 삼각치환활용자동 분류

8.OpenStax 2권 · 3.4절 · 50번대학 수준우리말 번역

$y=1/\sqrt{x(3-x)},$ $y=0,$ $x=1,$ $x=2$ 로 유계인 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the solid generated when the region bounded by $y=1/\sqrt{x(3-x)},$ $y=0,$ $x=1,$ and $x=2$ is revolved about the *x-*axis.

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$\frac{4}{3}\pi \text{arctanh}\left[\frac{1}{3}\right]=\frac{1}{3}\pi \ln 4$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{4}{3}\pi \text{arctanh}\left[\frac{1}{3}\right]=\frac{1}{3}\pi \ln 4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 52번

# 부분분수 적분활용자동 분류

9.OpenStax 2권 · 3.4절 · 51번대학 수준우리말 번역

직선을 따라 움직이는 입자의 속도가 시간에 대한 함수로 $v(t)=\frac{88{t}^{2}}{{t}^{2}+1}$ 로 주어진다. $t=5$ 초 후까지 입자가 이동한 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

The velocity of a particle moving along a line is a function of time given by $v(t)=\frac{88{t}^{2}}{{t}^{2}+1}.$ Find the distance that the particle has traveled after $t=5$ sec.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 56번

# 부분분수 적분활용자동 분류

10.OpenStax 2권 · 3.5절 · 50번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] CAS 또는 적분표를 사용하여 곡선 $y=\cos x,0\le x\le \frac{\pi }{2}$ 를 x축을 중심으로 회전시켜 생기는 곡면의 넓이를 구하세요. (답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.)

영어 원문 보기

[T] Use a CAS or tables to find the area of the surface generated by revolving the curve $y=\cos x,0\le x\le \frac{\pi }{2},$ about the x-axis. (Round the answer to two decimal places.)

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7.21

원본 교재 풀이(영어)

7.21

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.5절 · 48번

# 적분 전략 고르기활용자동 분류

11.OpenStax 2권 · 3.6절 · 36번대학 수준우리말 번역

심프슨 공식에서 $n=14$ 를 사용하여 그래프 $y=0,$ $x=0,$ $x=\pi /2$ 로 둘러싸인 영역의 넓이를 소수 셋째 자리까지 근삿값으로 구하세요.

영어 원문 보기

Use Simpson’s rule with $n=14$ to approximate (to three decimal places) the area of the region bounded by the graphs of $y=0,$ $x=0,$ and $x=\pi /2.$

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.6절 · 45번

# 수치적분활용자동 분류

12.OpenStax 2권 · 3.6절 · 39번대학 수준우리말 번역

곡선 $y=\cos (2x),0\le x\le \frac{\pi }{4}$ 을 x축을 중심으로 회전시켜 생기는 곡면의 넓이를 어림하세요. 구간을 6등분하여 사다리꼴 공식을 사용하세요.

영어 원문 보기

Estimate the area of the surface generated by revolving the curve $y=\cos (2x),0\le x\le \frac{\pi }{4}$ about the x-axis. Use the trapezoidal rule with six subdivisions.

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4.606

원본 교재 풀이(영어)

4.606

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.6절 · 29번

# 수치적분활용자동 분류

13.OpenStax 2권 · 3.6절 · 40번대학 수준우리말 번역

곡선 $y=2{x}^{2},$ $0\le x\le 3$ 을 x축을 중심으로 회전시켜 생기는 곡면의 넓이를 어림하세요. $n=6$ 인 심프슨 공식을 사용하세요.

영어 원문 보기

Estimate the area of the surface generated by revolving the curve $y=2{x}^{2},$ $0\le x\le 3$ about the *x-*axis. Use Simpson’s rule with $n=6.$

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.6절 · 11번

# 수치적분활용자동 분류

14.OpenStax 2권 · 3.6절 · 41번대학 수준우리말 번역

어떤 나무의 성장률(피트 단위)이 $y=\frac{2}{t+1}+{e}^{-{t}^{2}/2}$ 로 주어진다. 여기서 t 는 연 단위의 시간이다. 두 개의 부분구간으로 나눈 심프슨 공식을 사용하여 2년째 말까지 나무가 자란 길이를 어림하세요. (답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.)

영어 원문 보기

The growth rate of a certain tree (in feet) is given by $y=\frac{2}{t+1}+{e}^{-{t}^{2}/2},$ where t is time in years. Estimate the growth of the tree through the end of the second year by using Simpson’s rule, using two subintervals. (Round the answer to the nearest hundredth.)

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피트(ft)

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3.41 ft

원본 교재 풀이(영어)

3.41 ft

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.6절 · 43번

# 수치적분활용자동 분류

15.OpenStax 2권 · 3.7절 · 48번대학 수준우리말 번역

제1사분면에서 곡선 $y={e}^{-6x}$ 과 x축 사이에 있는 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the region in the first quadrant between the curve $y={e}^{-6x}$ and the x-axis.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.12절 · 25번

# 이상적분활용자동 분류

16.OpenStax 2권 · 3.7절 · 49번대학 수준우리말 번역

곡선 $y=\frac{7}{{x}^{2}},$ x축, 그리고 왼쪽에서 $x=1$ 로 유계인 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the region bounded by the curve $y=\frac{7}{{x}^{2}},$ the x-axis, and on the left by $x=1.$

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정답·풀이 보기

7.0

원본 교재 풀이(영어)

7.0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 55번

# 이상적분활용자동 분류

17.OpenStax 2권 · 3.7절 · 52번대학 수준우리말 번역

곡선 $y=\frac{3}{x}$ 아래에서 $x=1$ 부터 $x=\infty$ 까지의 영역을 x축을 중심으로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the solid generated by revolving about the x-axis the region under the curve $y=\frac{3}{x}$ from $x=1$ to $x=\infty .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 53번

# 이상적분활용자동 분류

18.OpenStax 2권 · 3.7절 · 53번대학 수준우리말 번역

제1사분면에서 곡선 $y=6{e}^{-2x}$ 아래의 영역을 y축을 중심으로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the solid generated by revolving about the y-axis the region under the curve $y=6{e}^{-2x}$ in the first quadrant.

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$3\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$3\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 49번

# 이상적분활용자동 분류

19.OpenStax 2권 · 3.7절 · 54번대학 수준우리말 번역

1사분면에서 곡선 $y=3{e}^{-x}$ 아래의 영역을 x축을 중심으로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the solid generated by revolving about the x-axis the area under the curve $y=3{e}^{-x}$ in the first quadrant.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 35번

# 이상적분활용자동 분류

20.CLP-2 · 1.9절 · 25번대학 수준우리말 번역

$f(x) = \dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}$ 이라 하고, $R$ 을 구간 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 에서 $f(x)$ 와 $x$ 축 사이의 영역이라 하자.

(a) $R$ 의 넓이를 구하세요. (b) $R$ 을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x) = \dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}$ , and let $R$ be the region between $f(x)$ and the $x$ -axis over the interval $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ .

(a) Find the area of $R$ . (b) Find the volume of the solid formed by rotating $R$ about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 우함수이고, 정의역 전체에서 음이 아님에 유의한다.

(a) $R$ 의 넓이를 구하기 위해 다음을 계산한다.

$\begin{aligned} \text{넓이}&=\int _{-1/2}^{1/2} \dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}~\mathrm{d}x = 2\int _{0}^{1/2} \dfrac{x}{\sqrt[4]{1-x^2}}~\mathrm{d}x \\ \text{치환 $u=1-x^2$, $\mathrm{d}u=-2x~\mathrm{d}x$ 를 이용한다.} \\ &=-\int_{1}^{3/4} \frac{1}{u^{1/4}}~\mathrm{d}u\\ &=-\left[\frac{4}{3}u^{3/4}\right]_1^{3/4} = -\frac{4}{3}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{3/4}-1\right)\\ &=\frac{4}{3} - \sqrt[4]{\frac{4}{3}} \end{aligned}$

(b) 회전체를 너비가 $\mathrm{d}x$ 이고 반지름이 $\dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}$ 인 원판으로 얇게 자른다.

$\begin{aligned} \text{부피}&=\int_{-1/2}^{1/2} \pi\left(\dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}\right)^2~\mathrm{d}x\\ &=2\pi\int_{0}^{1/2} \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}~\mathrm{d}x \\ \text{치환 $x=\sin \theta$, $\mathrm{d}x = \cos\theta~\mathrm{d}\theta$ 를 이용하면 $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos \theta$ 이다. $\sin 0 =0$ 이고 $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ 임에 유의한다.} \\ &=2\pi\int_{0}^{\pi/6} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\cos \theta~\mathrm{d}\theta \\&=2\pi\int_{0}^{\pi/6} \sin^2 \theta~\mathrm{d}\theta \\&=\pi\int_{0}^{\pi/6}\big(1- \cos(2 \theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\pi\left[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_0^{\pi/6}\\ &=\pi\left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=\frac{\pi^2}{6} - \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Note that $f(x)$ is an even function, nonnegative over its entire domain.

(a) To find the area of $R$ , we evaluate

$\begin{aligned} \text{Area}&=\int _{-1/2}^{1/2} \dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}~\mathrm{d}x = 2\int _{0}^{1/2} \dfrac{x}{\sqrt[4]{1-x^2}}~\mathrm{d}x \\ \text{We use the substitution $u=1-x^2$, $\mathrm{d}u=-2x~\mathrm{d}x$.} \\ &=-\int_{1}^{3/4} \frac{1}{u^{1/4}}~\mathrm{d}u\\ &=-\left[\frac{4}{3}u^{3/4}\right]_1^{3/4} = -\frac{4}{3}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{3/4}-1\right)\\ &=\frac{4}{3} - \sqrt[4]{\frac{4}{3}} \end{aligned}$

(b) We slice the solid of rotation into circular disks of width $\mathrm{d}x$ and radius $\dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}$ .

$\begin{aligned} \text{Volume}&=\int_{-1/2}^{1/2} \pi\left(\dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}\right)^2~\mathrm{d}x\\ &=2\pi\int_{0}^{1/2} \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}~\mathrm{d}x \\ \text{We use the substitution $x=\sin \theta$, $\mathrm{d}x = \cos\theta~\mathrm{d}\theta$, so $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos \theta$. Note $\sin 0 =0$ and $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.$} \\ &=2\pi\int_{0}^{\pi/6} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\cos \theta~\mathrm{d}\theta \\&=2\pi\int_{0}^{\pi/6} \sin^2 \theta~\mathrm{d}\theta \\&=\pi\int_{0}^{\pi/6}\big(1- \cos(2 \theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\pi\left[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_0^{\pi/6}\\ &=\pi\left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=\frac{\pi^2}{6} - \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 28번

# 삼각치환활용도전자동 분류

적분 기법 전체 문제