문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

무한대에서의 극한과 점근선

x→∞ 일 때의 극한, ∞/∞ 꼴 계산, 수평·수직 점근선을 찾는다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

10문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번우리말 풀이

다음 문제에서 수평점근선과 수직점근선을 구하세요.

$f(x)=\sin (x)\sin (2x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the horizontal and vertical asymptotes.

$f(x)=\sin (x)\sin (2x)$

풀이 보기

수평점근선은 $x\to\pm\infty$ 에서 함수가 한 값에 다가갈 때만, 수직점근선은 어떤 점에서 함숫값이 무한대로 갈 때만 생겨요.

1
수직점근선을 찾아요. $\sin x$ 와 $\sin 2x$ 는 모든 실수에서 연속이고 값이 $-1$ 과 $1$ 사이에 있어서 곱도 어디서나 유한한 값이에요. 값이 무한대로 가는 점이 없으니 수직점근선은 없어요.
2
수평점근선을 찾으려면 $x\to\infty$ 에서 한 값에 다가가는지 확인해요. 사인 함수는 계속 진동하기만 하고 어느 값으로 모이지 않아요. 예를 들어 $x=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi$ 이면 $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\sin 2x=1$ 이라 $f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 이고, $x=n\pi$ 이면 $\sin x=0$ 이라 $f(x)=0$ 이에요.
3
결론을 내려요. $x$ 가 커져도 $f(x)$ 가 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ 와 $0$ 을 번갈아 되풀이해서 어떤 하나의 값으로 다가가지 않아요. $x\to-\infty$ 일 때도 마찬가지예요. 따라서 수평점근선도 없어요.

답

수평점근선: 없음, 수직점근선: 없음

자주 하는 실수

함숫값이 $-1$ 과 $1$ 사이에 갇혀 있으니 $y=0$ 이 수평점근선이라고 생각해요. 점근선이 되려면 그 값에 한없이 가까워져야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal: none, vertical: none

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인보통

2.OpenStax 1권 · 4.6절 · 60번우리말 번역

참 또는 거짓: 다항식의 비는 모두 수직 점근선을 가진다.

영어 원문 보기

True or false: Every ratio of polynomials has vertical asymptotes.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 6번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인자동 분류

3.APEX · 1.6절 · 1번우리말 번역

참/거짓: $\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x) = \infty$ 이면, 우리는 극한이 존재한다고 암묵적으로 말하는 것이다.

영어 원문 보기

T/F: If $\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x) = \infty$ , then we are implicitly stating that the limit exists.

답 쓰고 채점

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원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 3번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인자동 분류

4.APEX · 1.6절 · 2번우리말 번역

참/거짓: $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = 5$ 이면, 우리는 극한이 존재한다고 암묵적으로 말하는 것이다.

영어 원문 보기

T/F: If $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = 5$ , then we are implicitly stating that the limit exists.

답 쓰고 채점

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원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 1번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인자동 분류

5.APEX · 1.6절 · 3번우리말 번역

참/거짓: $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x) = \infty$ 이다.

영어 원문 보기

T/F: If $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$ , then $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x) = \infty$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 2번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인자동 분류

6.APEX · 1.6절 · 4번우리말 번역

참/거짓: $\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x) = \infty$ 이면 $f$ 는 $x=5$ 에서 수직 점근선을 갖는다.

영어 원문 보기

T/F: If $\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x) = \infty$ , then $f$ has a vertical asymptote at $x=5$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 7번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인자동 분류

7.APEX · 1.6절 · 5번우리말 번역

참/거짓: $\infty/0$ 은 부정형이 아니다.

영어 원문 보기

T/F: $\infty/0$ is not an indeterminate form.

답 쓰고 채점

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원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 4번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인자동 분류

8.APEX · 1.6절 · 6번우리말 번역

부정형 5가지를 나열하세요.

영어 원문 보기

List 5 indeterminate forms.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 1번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인자동 분류

9.APEX · 1.6절 · 7번우리말 번역

$x=5$ 에서 수직 점근선을 갖고 $y=5$ 에서 수평 점근선을 갖는 함수를 만드세요.

영어 원문 보기

Construct a function with a vertical asymptote at $x=5$ and a horizontal asymptote at $y=5$ .

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 6번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인자동 분류

10.APEX · 1.6절 · 8번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to 7} f(x) = \infty$ 라 하자. $f$ 가 $x=7$ 에서 연속인지 아닌지를 어떻게 알 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $\displaystyle \lim_{x\to 7} f(x) = \infty$ . Explain how we know that $f$ is/is not continuous at $x=7$ .

정답·풀이 보기

$x$ 가 7 에 가까워질 때 $f$ 의 극한이 존재하지 않으므로 $f$ 는 연속이 아니다. (참고: $f$ 는 7 에서 정의되어 있을 수도 있다!)

원본 교재 풀이(영어)

The limit of $f$ as $x$ approaches 7 does not exist, hence $f$ is not continuous. (Note: $f$ could be defined at 7!)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 2번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인자동 분류