좌극한과 우극한 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.2절 · 28번우리말 풀이

다음 문제에서는 여기에 나온 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용해 값을 구하세요. 구할 수 있다면 구하고, 필요하면 어림해 보세요.

$\lim_{x\to 0}f(x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the graph of the function $y=f(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

$\lim_{x\to 0}f(x)$

풀이 보기

극한이 있으려면 왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때의 값이 같아야 해요.

1
왼쪽에서 다가가요. $x<0$ 일 때의 그래프는 직선이에요. $x$ 가 $0$ 에 왼쪽에서 가까워지면 점이 빈 원이 있는 $(0,1)$ 쪽으로 다가가므로 $\lim_{x\to0^{-}}f(x)=1$ 이에요. (빈 원이라 $f(0)=1$ 은 아니지만 극한값에는 상관없어요.)
2
오른쪽에서 다가가요. $x\ge 0$ 에서는 포물선의 오른쪽 절반이고 꼭짓점 $(0,-4)$ 에서 시작해요. 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지면 $y$ 값이 $-4$ 에 다가가므로 $\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-4$ 예요.
3
두 값을 비교해요. 왼쪽 극한 $1$ 과 오른쪽 극한 $-4$ 가 서로 달라요. 따라서 $x\to0$ 일 때의 극한은 존재하지 않아요.

답

극한이 존재하지 않는다 (DNE)

자주 하는 실수

점 $(0,-4)$ 처럼 색칠된 원의 값, 즉 $f(0)=-4$ 를 그대로 극한값이라고 써요.

원본 교재 풀이(영어)

DNE

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 40번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

2.OpenStax 1권 · 2.2절 · 34번우리말 풀이

다음 문제에서 그림에 나온 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용하여 가능하면 값을 구하세요. 필요하면 어림해도 돼요.

세 개의 직선 조각으로 이루어진 함수의 그래프예요. 첫째는 x<-2 에서 기울기 1이며 (-2,0) 에서 속이 빈 점으로 끝나요. 둘째는 -2<x<2 에서 기울기 -1 이고 원점을 지나며, 양 끝 (-2,2), (2,-2) 는 속이 찬 점이에요. 셋째는 x>2 에서 기울기 1이고 (2,2) 의 속이 빈 점에서 시작해요.

$\lim_{x\to 2^{+}}f(x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the graph of the function $y=f(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

$\lim_{x\to {2}^{+}}f(x)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to2^+$ 는 오른쪽에서 다가가는 것이니, $x>2$ 인 부분의 그래프가 향하는 높이를 읽어요.

1
$x\to2^+$ 는 $x$ 가 $2$ 보다 큰 쪽에서 $2$ 로 다가간다는 뜻이에요. 그러니 $x=2$ 의 오른쪽 그래프만 봐요.
2
$x>2$ 에서 그래프는 기울기 $1$ 인 직선이고, $(2,2)$ 의 속이 빈 점에서 시작해요. 속이 빈 점은 그 점에서 함숫값이 $2$ 가 아니라는 뜻이지만, 그래프가 향하는 높이는 $2$ 예요.
3
$x$ 가 오른쪽에서 $2$ 로 다가갈수록 $f(x)$ 는 $2$ 에 가까워지므로 $\lim_{x\to2^+}f(x)=2$ 예요. (참고로 $x\to2^-$ 일 때는 $-2$ 로 가서 좌극한과 우극한이 달라요.)

답

$2$

자주 하는 실수

$x=2$ 에서 점이 찍힌 곳( $-2$ )의 높이를 읽어 우극한도 $-2$ 라고 답하기 쉬워요. 우극한은 오른쪽 가지만 봐요.

원본 교재 풀이(영어)

2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 35번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

3.OpenStax 1권 · 2.2절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서는 여기에 나온 함수 $y=h(x)$ 의 그래프를 이용해 값을 구하세요. 구할 수 있다면 구하고, 필요하면 어림해 보세요.

$\lim_{x\to 0^{+}}h(x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the graph of the function $y=h(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

$\lim_{x\to {0}^{+}}h(x)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to0^{+}$ 는 $0$ 보다 큰 쪽(오른쪽)에서만 다가간다는 뜻이니 그래프의 오른쪽 조각만 보면 돼요.

1
어느 쪽을 볼지 정해요. $0^{+}$ 는 $x>0$ 인 쪽에서 $0$ 에 다가간다는 뜻이에요. 그래서 $y$ 축 오른쪽, 즉 1사분면의 곡선만 보면 돼요.
2
곡선이 다가가는 값을 읽어요. 1사분면의 곡선은 원점에서 시작해 오른쪽으로 뻗어요. $x$ 가 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지면 곡선의 $y$ 값도 $0$ 에 가까워져요.

답

$0$

자주 하는 실수

왼쪽 곡선(3사분면)까지 함께 보고 극한이 없다고 판단해요. 이 문제는 오른쪽에서만 다가가요.

원본 교재 풀이(영어)

0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.4절 · 3번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

4.OpenStax 1권 · 2.3절 · 35번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 문제에서는 계산기로 각 조각 함수의 그래프를 그리고, 그래프를 살펴서 주어진 극한을 구하세요.

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-2x+1, & x<2 \\ 3-x, & x\ge 2\end{array}\right.$

a. $\lim_{x\to 2^{-}}h(x)$ b. $\lim_{x\to 2^{+}}h(x)$

영어 원문 보기

[T] In the following exercises, use a calculator to draw the graph of each piecewise-defined function and study the graph to evaluate the given limits.

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^{2}-2x+1, & x<2 \\ 3-x, & x\ge 2\end{array}\right.$

a. $\lim_{x\to {2}^{-}}h(x)$ b. $\lim_{x\to {2}^{+}}h(x)$

풀이 보기

$x=2$ 의 왼쪽에서는 첫 번째 식을, 오른쪽에서는 두 번째 식을 써요.

1
어느 식을 쓸지 정해요. $x\to2^{-}$ 는 $x<2$ 이므로 $x^2-2x+1$ 을 써요. $x\to2^{+}$ 는 $x>2$ 이므로 $3-x$ 를 써요.
2
(a) 왼쪽 극한을 구해요. $x^2-2x+1$ 은 다항함수라 그냥 대입하면 돼요. $2^2-2\cdot2+1=1$ 이에요.
3
(b) 오른쪽 극한을 구해요. $3-x$ 에 $x=2$ 를 대입하면 $3-2=1$ 이에요.
4
그래프와 비교해요. 그래프에서 왼쪽 포물선과 오른쪽 직선이 모두 점 $(2,1)$ 에서 만나요. 두 극한이 같으니 $\lim_{x\to2}h(x)=1$ 로 극한이 존재해요.

답

(a) $1$ (b) $1$

자주 하는 실수

조각 함수에서 두 식을 구분하지 않고 한 식에만 대입해요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph of a piecewise function with two segments. The first segment is the parabola x^2 – 2x + 1, for x < 2. It opens upward and has a vertex at (1,0). The second segment is the line 3-x for x>= 2. It has a slope of -1 and an x intercept at (3,0).

a. 1; b. 1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 47번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

5.APEX · 1.4절 · 5번우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 $f(x)$ 의 그래프를 이용하여 각 식의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$

(a) $f(1)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, evaluate each expression using the given graph of $f(x)$ .

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$

(a) $f(1)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)$

정답·풀이 보기

(a) 2 (b) 2 (c) 2 (d) 1 (e) $x<0$ 에서 $f$ 가 정의되지 않으므로 이 극한은 정의되지 않는다. (f) 1

원본 교재 풀이(영어)

(a) 2 (b) 2 (c) 2 (d) 1 (e) As $f$ is not defined for $x<0$ , this limit is not defined. (f) 1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 34번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석자동 분류

6.APEX · 1.4절 · 6번우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 $f(x)$ 의 그래프를 이용하여 각 식의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$

(a) $f(1)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 2^+} f(x)$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, evaluate each expression using the given graph of $f(x)$ .

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$

(a) $f(1)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 2^+} f(x)$

정답·풀이 보기

(a) 1 (b) 2 (c) 존재하지 않는다. (d) 2 (e) 0 (f) $x>2$ 에서 $f$ 가 정의되지 않으므로 이 극한은 정의되지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) 1 (b) 2 (c) Does not exist. (d) 2 (e) 0 (f) As $f$ is not defined for $x>2$ , this limit is not defined.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 35번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석자동 분류

7.APEX · 1.4절 · 7번우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 $f(x)$ 의 그래프를 이용하여 각 식의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$

(a) $f(1)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, evaluate each expression using the given graph of $f(x)$ .

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$

(a) $f(1)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)$

정답·풀이 보기

(a) 존재하지 않는다. (b) 존재하지 않는다. (c) 존재하지 않는다. (d) 정의되지 않는다. (e) 0 (f) 0

원본 교재 풀이(영어)

(a) Does not exist. (b) Does not exist. (c) Does not exist. (d) Not defined. (e) 0 (f) 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 47번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석자동 분류

8.APEX · 1.4절 · 8번우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 $f(x)$ 의 그래프를 이용하여 각 식의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)$

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$ (b) $f(1)$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, evaluate each expression using the given graph of $f(x)$ .

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)$

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$ (b) $f(1)$

정답·풀이 보기

(a) 2 (b) 0 (c) 존재하지 않는다. (d) 1

원본 교재 풀이(영어)

(a) 2 (b) 0 (c) Does not exist. (d) 1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 47번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석자동 분류

9.APEX · 1.4절 · 9번우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 $f(x)$ 의 그래프를 이용하여 각 식의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)$

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$ (b) $f(1)$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, evaluate each expression using the given graph of $f(x)$ .

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)$

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$ (b) $f(1)$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

(a) 2 (b) 2 (c) 2 (d) 2

원본 교재 풀이(영어)

(a) 2 (b) 2 (c) 2 (d) 2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 28번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석자동 분류

10.APEX · 1.4절 · 10번우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 $f(x)$ 의 그래프를 이용하여 각 식의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)$

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)$ (b) $f(0)$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, evaluate each expression using the given graph of $f(x)$ .

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)$

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)$ (b) $f(0)$

정답·풀이 보기

(a) 4 (b) $-4$ (c) 존재하지 않는다. (d) 0

원본 교재 풀이(영어)

(a) 4 (b) $-4$ (c) Does not exist. (d) 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 35번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석자동 분류

11.APEX · 1.4절 · 11번우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 $f(x)$ 의 그래프를 이용하여 각 식의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to -2^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to -2^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to -2} f(x)$ (d) $f(-2)$

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 2^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)$ (d) $f(2)$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, evaluate each expression using the given graph of $f(x)$ .

(a) $\displaystyle \lim_{x\to -2^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to -2^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to -2} f(x)$ (d) $f(-2)$

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 2^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)$ (d) $f(2)$

정답·풀이 보기

(a) 2 (b) 2 (c) 2 (d) 0 (e) 2 (f) 2 (g) 2 (h) 정의되지 않는다

원본 교재 풀이(영어)

(a) 2 (b) 2 (c) 2 (d) 0 (e) 2 (f) 2 (g) 2 (h) Not defined

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 34번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석자동 분류

12.APEX · 1.4절 · 12번우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 $f(x)$ 의 그래프를 이용하여 각 식의 값을 구하세요.

$-3\leq a\leq 3$ 인 정수 $a$ 에 대하여 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)$

(a) $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)$ (b) $f(a)$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, evaluate each expression using the given graph of $f(x)$ .

Let $-3\leq a\leq 3$ be an integer.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)$

(a) $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)$ (b) $f(a)$

정답·풀이 보기

(a) $a-1$ (b) $a$ (c) 존재하지 않는다. (d) $a$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $a-1$ (b) $a$ (c) Does not exist. (d) $a$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.4절 · 4번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석자동 분류