빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 매개변수와 극좌표

극좌표에서의 넓이와 길이

극곡선의 접선, 둘러싸인 넓이, 곡선의 길이를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

10문제 · 1 / 1쪽

1.APEX · 9.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 주어진 구간에서 극함수의 그래프가 수평접선과 수직접선을 갖는 θ\theta 의 값을 구하세요.

r=3\displaystyle r=3; [0,2π][0,2\pi]

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, find the values of θ\theta in the given interval where the graph of the polar function has horizontal and vertical tangent lines.

r=3\displaystyle r=3; [0,2π][0,2\pi]

정답·풀이 보기

수평접선: θ=π/2,3π/2\theta=\pi/2,3\pi/2;

수직접선: θ=0,π,2π\theta = 0,\pi,2\pi

원본 교재 풀이(영어)

horizontal: θ=π/2,3π/2\theta=\pi/2,3\pi/2;

vertical: θ=0,π,2π\theta = 0,\pi,2\pi

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 8번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.APEX · 9.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 주어진 구간에서 극함수의 그래프가 수평접선과 수직접선을 갖는 θ\theta 의 값을 구하세요.

r=2sin⁡θ\displaystyle r=2\sin \theta; [0,π][0,\pi]

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, find the values of θ\theta in the given interval where the graph of the polar function has horizontal and vertical tangent lines.

r=2sin⁡θ\displaystyle r=2\sin \theta; [0,π][0,\pi]

정답·풀이 보기

수평접선: θ=0,π/2,π\theta=0,\pi/2,\pi;

수직접선: θ=π/4,3π/4\theta = \pi/4,3\pi/4

원본 교재 풀이(영어)

horizontal: θ=0,π/2,π\theta=0,\pi/2,\pi;

vertical: θ=π/4,3π/4\theta = \pi/4,3\pi/4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 58번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.APEX · 9.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 주어진 구간에서 극함수의 그래프가 수평접선과 수직접선을 갖는 θ\theta 의 값을 구하세요.

r=cos⁡(2θ)\displaystyle r=\cos(2\theta); [0,2π][0,2\pi]

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, find the values of θ\theta in the given interval where the graph of the polar function has horizontal and vertical tangent lines.

r=cos⁡(2θ)\displaystyle r=\cos(2\theta); [0,2π][0,2\pi]

정답·풀이 보기

수평접선: θ=tan⁡−1(1/5), π/2, π−tan⁡−1(1/5), π+tan⁡−1(1/5), 3π/2, 2π−tan⁡−1(1/5)\theta=\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ \pi/2,\ \pi-\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ \pi+\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ 3\pi/2,\ 2\pi-\tan^{-1}(1/\sqrt{5});

수직접선: θ=0, tan⁡−1(5), π−tan⁡−1(5), π, π+tan⁡−1(5), 2π−tan⁡−1(5)\theta = 0,\ \tan^{-1}(\sqrt{5}),\ \pi-\tan^{-1}(\sqrt{5}),\ \pi,\ \pi+\tan^{-1}(\sqrt{5}),\ 2\pi-\tan^{-1}(\sqrt{5})

원본 교재 풀이(영어)

horizontal: θ=tan⁡−1(1/5), π/2, π−tan⁡−1(1/5), π+tan⁡−1(1/5), 3π/2, 2π−tan⁡−1(1/5)\theta=\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ \pi/2,\ \pi-\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ \pi+\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ 3\pi/2,\ 2\pi-\tan^{-1}(1/\sqrt{5});

vertical: θ=0, tan⁡−1(5), π−tan⁡−1(5), π, π+tan⁡−1(5), 2π−tan⁡−1(5)\theta = 0,\ \tan^{-1}(\sqrt{5}),\ \pi-\tan^{-1}(\sqrt{5}),\ \pi,\ \pi+\tan^{-1}(\sqrt{5}),\ 2\pi-\tan^{-1}(\sqrt{5})

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 14번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.APEX · 9.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서, 주어진 구간에서 극방정식으로 나타낸 함수의 그래프가 수평 접선과 수직 접선을 갖는 θ\theta 의 값을 구하세요.

r=1+cos⁡θ\displaystyle r=1+\cos\theta; [0,2π][0,2\pi]

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, find the values of θ\theta in the given interval where the graph of the polar function has horizontal and vertical tangent lines.

r=1+cos⁡θ\displaystyle r=1+\cos\theta; [0,2π][0,2\pi]

정답·풀이 보기

수평 접선: θ=π/3, 5π/3\theta=\pi/3,\ 5\pi/3;

수직 접선: θ=0, 2π/3, 4π/3, 2π\theta = 0,\ 2\pi/3,\ 4\pi/3,\ 2\pi

θ=π\theta=\pi 일 때 dydx=0/0\frac{dy}{dx} = 0/0 이다. 로피탈의 정리를 적용하면 θ→π\theta\rightarrow \pi 일 때 dydx→0\frac{dy}{dx}\rightarrow 0 임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

horizontal: θ=π/3, 5π/3\theta=\pi/3,\ 5\pi/3;

vertical: θ=0, 2π/3, 4π/3, 2π\theta = 0,\ 2\pi/3,\ 4\pi/3,\ 2\pi

At θ=π\theta=\pi, dydx=0/0\frac{dy}{dx} = 0/0; apply L'Hopital's Rule to find that dydx→0\frac{dy}{dx}\rightarrow 0 as θ→π\theta\rightarrow \pi.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 42번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.APEX · 9.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–16에서, 극점에서 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

r=sin⁡θ\displaystyle r=\sin\theta; [0,π][0,\pi]

영어 원문 보기

In Exercises 15–16, find the equation of the lines tangent to the graph at the pole.

r=sin⁡θ\displaystyle r=\sin\theta; [0,π][0,\pi]

정답·풀이 보기

극좌표: θ=0 ≅ θ=π\theta = 0 \ \cong \ \theta = \pi

직교좌표: y=0y=0

원본 교재 풀이(영어)

In polar: θ=0 ≅ θ=π\theta = 0 \ \cong \ \theta = \pi

In rectangular: y=0y=0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 26번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.APEX · 9.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–16에서, 극점에서 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

r=sin⁡(3θ)\displaystyle r=\sin(3\theta); [0,π][0,\pi]

영어 원문 보기

In Exercises 15–16, find the equation of the lines tangent to the graph at the pole.

r=sin⁡(3θ)\displaystyle r=\sin(3\theta); [0,π][0,\pi]

정답·풀이 보기

극좌표: θ=0, θ=π/3, θ=2π/3\theta = 0,\ \theta = \pi/3,\ \theta = 2\pi/3.

직교좌표: y=0y=0, y=3xy=\sqrt{3}x, y=−3xy= -\sqrt{3}x.

원본 교재 풀이(영어)

In polar: θ=0, θ=π/3, θ=2π/3\theta = 0,\ \theta = \pi/3,\ \theta = 2\pi/3.

In rectangular: y=0y=0, y=3xy=\sqrt{3}x, and y=−3xy= -\sqrt{3}x.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.5절 · 1번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.APEX · 9.5절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28에서 설명된 영역의 넓이를 구하세요.

그림과 같이 r=2cos⁡θr=2\cos \theta 와 r=2sin⁡θr=2\sin\theta 로 둘러싸인 영역:

그림

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by r=2cos⁡θr=2\cos \theta and r=2sin⁡θr=2\sin\theta, as shown:

figure

정답·풀이 보기

넓이 = 11

원본 교재 풀이(영어)

area = 11

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 26번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.APEX · 9.5절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28에서 설명된 영역의 넓이를 구하세요.

그림과 같이 r=cos⁡(3θ)r=\cos(3 \theta) 와 r=sin⁡(3θ)r=\sin(3\theta) 로 둘러싸인 영역:

그림

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by r=cos⁡(3θ)r=\cos(3 \theta) and r=sin⁡(3θ)r=\sin(3\theta), as shown:

figure

정답·풀이 보기

넓이 = ∫π/12π/312sin⁡2(3θ) dθ−∫π/12π/612cos⁡2(3θ) dθ=112+π24\displaystyle \int_{\pi/12}^{\pi/3} \frac12 \sin^2(3\theta)\ d\theta - \int_{\pi/12}^{\pi/6}\frac12\cos^2(3\theta)\ d\theta = \frac1{12}+\frac{\pi}{24}

원본 교재 풀이(영어)

area = ∫π/12π/312sin⁡2(3θ) dθ−∫π/12π/612cos⁡2(3θ) dθ=112+π24\displaystyle \int_{\pi/12}^{\pi/3} \frac12 \sin^2(3\theta)\ d\theta - \int_{\pi/12}^{\pi/6}\frac12\cos^2(3\theta)\ d\theta = \frac1{12}+\frac{\pi}{24}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 42번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.APEX · 9.5절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28에서 설명된 영역의 넓이를 구하세요.

그림과 같이 r=cos⁡θr=\cos \theta 와 r=sin⁡(2θ)r=\sin(2\theta) 로 둘러싸인 영역:

그림

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by r=cos⁡θr=\cos \theta and r=sin⁡(2θ)r=\sin(2\theta), as shown:

figure

정답·풀이 보기

넓이 = 132(4π−33)\frac{1}{32}(4\pi-3\sqrt{3})

원본 교재 풀이(영어)

area = 132(4π−33)\frac{1}{32}(4\pi-3\sqrt{3})

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 48번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.APEX · 9.5절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28에서 설명된 영역의 넓이를 구하세요.

그림과 같이 r=cos⁡θr=\cos\theta 와 r=1−cos⁡θr=1-\cos\theta 로 둘러싸인 영역:

그림

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by r=cos⁡θr=\cos\theta and r=1−cos⁡θr=1-\cos\theta, as shown:

figure

정답·풀이 보기

넓이 = ∫0π/312(1−cos⁡θ)2 dθ+∫π/3π/212(cos⁡θ)2 dθ=7π24−32≈0.0503\displaystyle \int_{0}^{\pi/3} \frac12 (1-\cos\theta)^2\ d\theta +\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac12 (\cos\theta)^2\ d\theta =\frac{7\pi}{24}-\frac{\sqrt{3}}2\approx 0.0503

원본 교재 풀이(영어)

area = ∫0π/312(1−cos⁡θ)2 dθ+∫π/3π/212(cos⁡θ)2 dθ=7π24−32≈0.0503\displaystyle \int_{0}^{\pi/3} \frac12 (1-\cos\theta)^2\ d\theta +\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac12 (\cos\theta)^2\ d\theta =\frac{7\pi}{24}-\frac{\sqrt{3}}2\approx 0.0503

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 2번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)