수열의 극한 전체 연습문제

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 7번우리말 풀이

첫째항이 $a_1=-3$ 이고 $n\ge1$ 에서 $a_{n+1}-a_n=4$ 를 만족하는 등차수열의 $n$ 번째 항 $a_n$ 의 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find a formula ${a}_{n}$ for the $n\text{th}$ term of the arithmetic sequence whose first term is ${a}_{1}=-3$ such that ${a}_{n+1}-{a}_{n}=4$ for $n\ge 1.$

풀이 보기

이웃한 항의 차가 일정하면 등차수열이고, 일반항은 $a_n=a_1+(n-1)d$ 예요.

1
수열의 종류를 알아봐요. $a_{n+1}-a_n=4$ 로 차가 일정하니 공차 $d=4$ 인 등차수열이에요.
2
일반항 공식에 넣어요. $a_n=a_1+(n-1)d=-3+4(n-1)=4n-7$
3
확인해요. $a_1=4-7=-3$ , $a_2=1$ , $a_3=5$ 로 차가 $4$ 씩이에요.

답

$a_n=4n-7$

자주 하는 실수

$(n-1)$ 대신 $n$ 을 곱해 $a_n=4n-3$ 으로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=4n-7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 63번

# 수열의 수렴과 발산계산기본

2.OpenStax 2권 · 5.1절 · 15번우리말 풀이

다음과 같이 점화식으로 정의된 수열에 대하여, $n$ 번째 항 $a_n$ 을 $a_n=f(n)$ 으로 나타내는 함수 $f(n)$ 을 구하세요.

$a_1=2$ 이고 $n\ge1$ 에서 $a_{n+1}=2a_n$

영어 원문 보기

Find a function $f(n)$ that identifies the $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ of the following recursively defined sequences, as ${a}_{n}=f(n).$

${a}_{1}=2$ and ${a}_{n+1}=2{a}_{n}$ for $n\ge 1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$a_{n+1}=2a_n$ 은 "앞 항에 2를 곱한다"는 뜻이니 공비가 2인 등비수열이에요.

1
몇 개 항을 직접 써 봐요. $a_1=2$ , $a_2=2\cdot2=4$ , $a_3=2\cdot4=8$ , $a_4=16$ 이에요. 모두 2의 거듭제곱이에요.
2
등비수열의 일반항 공식을 써요. 첫째항 $a_1=2$ , 공비 $r=2$ 이므로 $a_n=a_1\,r^{\,n-1}=2\cdot2^{\,n-1}=2^{\,n}$
3
확인해요. $a_{n+1}=2^{n+1}=2\cdot2^n=2a_n$ 이고 $a_1=2^1=2$ 이므로 조건을 모두 만족해요.

답

$f(n)=2^{n}$

자주 하는 실수

공비를 곱하는 횟수가 $n-1$ 번인데 $n$ 번으로 세어 $2^{n+1}$ 이라고 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$f(n)={2}^{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 39번

# 수열의 수렴과 발산계산기본

3.OpenStax 2권 · 5.1절 · 23번우리말 풀이

$\lim_{n\to\infty}a_n=1$ , $\lim_{n\to\infty}b_n=-1$ 이고 모든 $n$ 에서 $0<-b_n<a_n$ 이라고 합시다. 다음 각 극한을 구하거나, 극한이 존재하지 않는다고 하거나, 극한이 존재하는지 판단하기에 정보가 부족하다고 답하세요.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(3a_n-4b_n)$

영어 원문 보기

Suppose that $\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=1,$ $\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=-1,$ and $0<-{b}_{n}<{a}_{n}$ for all $n.$ Evaluate each of the following limits, or state that the limit does not exist, or state that there is not enough information to determine whether the limit exists.

$\lim_{n\to \infty }(3{a}_{n}-4{b}_{n})$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 수열이 각각 수렴하면, 합·차·상수배의 극한은 극한값끼리 계산하면 돼요.

1
극한의 성질을 떠올려요. $\lim a_n$ 과 $\lim b_n$ 이 모두 존재하면 $\lim(pa_n+qb_n)=p\lim a_n+q\lim b_n$ 이에요.
2
값을 넣어요. $\lim_{n\to\infty}(3a_n-4b_n)=3\cdot1-4\cdot(-1)=3+4=7$
3
조건 $0<-b_n<a_n$ 는 이 문제에서 쓰이지 않아요. 다른 소문항(예: 비의 극한)에서 쓰이는 조건이에요.

답

$7$

자주 하는 실수

$-4b_n$ 의 부호를 놓쳐 $3-4=-1$ 로 계산하는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 47번

# 수열의 극한값 계산계산기본

4.OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번우리말 풀이

시그마 기호를 써서 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

$1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots$

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...$

풀이 보기

분모의 규칙과 부호의 규칙을 따로 찾아 곱해요.

1
분모를 봐요. $1,2,3,4,\ldots$ 이므로 $n$ 번째 항의 크기는 $\dfrac1n$ 이에요.
2
부호를 봐요. $+,-,+,-,\ldots$ 로 번갈아 바뀌어요. 첫 항이 $+$ 이므로 $n=1$ 에서 $+1$ 이 되도록 $(-1)^{n-1}$ 을 써요( $n=2$ 면 $-1$ ).
3
합쳐서 써요. $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

답

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

자주 하는 실수

부호를 $(-1)^n$ 으로 써서 첫 항이 $-1$ 이 되는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 47번

# 급수의 수렴과 발산계산기본

5.OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번우리말 풀이

다음과 같이 $n=1$ 부터 시작하는 급수의 $n$ 번째 항이 $a_n$ 일 때, 처음 네 개의 부분합 $S_1,\ldots,S_4$ 를 구하세요.

$a_n=\sin(n\pi/2)$

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ for the series having $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ starting with $n=1$ as follows.

${a}_{n}=\sin (n\pi /2)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요.

1
각 항을 구해요. $\sin\frac{\pi}{2}=1$ , $\sin\pi=0$ , $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$ , $\sin2\pi=0$ 이므로 $a_1=1,\ a_2=0,\ a_3=-1,\ a_4=0$ 이에요.
2
차례로 더해요. $S_1=1,\quad S_2=1+0=1,\quad S_3=1+0+(-1)=0,\quad S_4=0+0=0$

답

$S_1=1,\ S_2=1,\ S_3=0,\ S_4=0$

자주 하는 실수

부분합을 항 자체와 혼동해 $S_3=-1$ 처럼 쓰는 실수가 있어요(부분합은 누적한 합이에요).

원본 교재 풀이(영어)

$1,1,0,0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번

# 급수의 수렴과 발산계산기본

6.CLP-2 · 3.1절 · 4번우리말 번역

다음 성질을 만족하는 수열 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 의 예를 하나 드세요.

$n \leq 1000$ 인 모든 $n$ 에 대해 $a_n>1000$ ,
모든 $n$ 에 대해 $a_{n+1}<a_n$ , 그리고
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -2$

영어 원문 보기

Give an example of a sequence $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ with the following properties:

$a_n>1000$ for all $n \leq 1000$ ,
$a_{n+1}<a_n$ for all $n$ , and
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -2$

정답·풀이 보기

가능한 답은 많다. 그중 하나는 다음과 같다. $a_n = \begin{cases} 3000-n & \text{ 만일 }n \leq 1000\\ -2+\frac{1}{n} & \text{ 만일 }n > 1000 \end{cases}$ 여기서는 1000번째 항을 기준으로 앞뒤의 모양이 다른 급수를 잡았다. 모든 항이 바로 앞의 항보다 작음에 주목한다.

원하는 성질을 갖는 또 다른 수열은 다음과 같다. $a_n=\frac{1,002,001}{n}-2$ $n \leq 1000$ 일 때, $a_n \geq \frac{1,002,001}{1000}-2>\frac{1,002,000}{1,000}-2=1000$ 이다. 즉, $n \le 1000$ 일 때 $a_n>1000$ 이다. $n$ 이 커질수록 $a_n$ 은 작아지므로 모든 $n$ 에 대해 $a_{n+1}<a_n$ 이다. 마지막으로 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0-2=-2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

There are many possible answers. One is: $a_n = \begin{cases} 3000-n & \text{ if }n \leq 1000\\ -2+\frac{1}{n} & \text{ if }n > 1000 \end{cases}$ where we have a series that looks different before and after its thousandth term. Note every term is smaller than the term preceding it.

Another sequence with the desired properties is: $a_n=\frac{1,002,001}{n}-2$ When $n \leq 1000$ , $a_n \geq \frac{1,002,001}{1000}-2>\frac{1,002,000}{1,000}-2=1000$ . That is, $a_n>1000$ when $n \le 1000$ . As $n$ gets larger, $a_n$ gets smaller, so $a_{n+1}<a_n$ for all $n$ . Finally, $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0-2=-2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 7번

# 수열의 수렴과 발산계산기본자동 분류

7.CLP-2 · 3.1절 · 5번우리말 번역

다음 성질을 만족하는 수열 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 의 예를 하나 드세요.

모든 짝수 $n$ 에 대해 $a_n>0$ ,
모든 홀수 $n$ 에 대해 $a_n<0$ ,
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ 은 존재하지 않는다.

영어 원문 보기

Give an example of a sequence $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ with the following properties:

$a_n>0$ for all even $n$ ,
$a_n<0$ for all odd $n$ ,
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ does not exist.

정답·풀이 보기

가능한 답 중 하나는 $a_n=(-1)^{n} = \{-1, 1,-1,1,-1,1,-1,\ldots\}$ 이다. 또 다른 예는 $a_n=n(-1)^{n} = \{-1, 2,-3,4,-5,6,-7,\ldots\}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

One possible answer is $a_n=(-1)^{n} = \{-1, 1,-1,1,-1,1,-1,\ldots\}$ . Another is $a_n=n(-1)^{n} = \{-1, 2,-3,4,-5,6,-7,\ldots\}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 4번

# 수열의 수렴과 발산계산기본자동 분류

8.CLP-2 · 3.1절 · 7번우리말 번역

아래 수열들의 극한은 조임 정리를 이용하여 구할 수 있다. 각 수열에 대해, 조임 정리에 쓸 수 있는 위에서 누르는(위쪽 경계) 수열과 아래에서 받치는(아래쪽 경계) 수열을 선택하세요.

(a) $a_n = \dfrac{\sin n}{n}$ (b) $b_n = \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)}$ (c) $c_n = (-n)^{-n}$

영어 원문 보기

The limits of the sequences below can be evaluated using the squeeze theorem. For each sequence, choose an upper bounding sequence and lower bounding sequence that will work with the squeeze theorem.

(a) $a_n = \dfrac{\sin n}{n}$ (b) $b_n = \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)}$ (c) $c_n = (-n)^{-n}$

정답·풀이 보기

(a) 모든 $n$ 에 대해 $-1 \leq \sin n \leq 1$ 이므로, 가능한 위쪽 경계와 아래쪽 경계의 한 가지는 $\dfrac{-1}{n}\le \dfrac{\sin n}{n}\le \dfrac{1}{n}$ 이다. $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{-1}{n} = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}$ 이므로, 이 수열들은 조임 정리에 쓸 수 있는 올바른 비교 수열이다. (b) 모든 $n$ 에 대해 $-1\leq \sin n \leq 1$ 이고 $-5 \leq -5\cos n \leq 5$ 이므로

$\begin{aligned} 7 -1 -5&\leq 7+ \sin n - 5 \cos n \leq 7+{red}1+{blue}5\\ 1&\leq 7+ \sin n - 5 \cos n \leq13 \end{aligned}$

이를 통해 다음 경계를 시도해 볼 수 있다. $\dfrac{n^2}{13e^n} \le \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)} \le \dfrac{n^2}{e^n}$ $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2}{13e^n} = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2}{e^n}$ 임을 확인한다(둘 다 0이며, 로피탈 법칙을 이용하여 확인할 수 있다). 따라서 이 경계들은 조임 정리에 쓰기에 적절하다. 또한 $0\le \frac{n^2}{13e^n}$ 이므로 다음을 쓸 수도 있다. $0 \le \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)} \le \dfrac{n^2}{e^n}$ (c) $(-n)^{-n} = \dfrac{1}{(-n)^n} = \dfrac{(-1)^n}{n^n}$ 이므로 $\dfrac{-1}{n^n} \le (-n)^{-n} \le \dfrac{1}{n^n}$ 이다. $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{-1}{n^n}$ 과 $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n^n}$ 이 모두 0이므로, 이 경계들은 조임 정리에 쓰기에 적절하다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $-1 \leq \sin n \leq 1$ for all $n$ , one potential set of upper and lower bound is $\dfrac{-1}{n}\le \dfrac{\sin n}{n}\le \dfrac{1}{n}$ Note $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{-1}{n} = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}$ , so these are valid comparison sequences for the squeeze theorem. (b) Since $-1\leq \sin n \leq 1$ and $-5 \leq -5\cos n \leq 5$ for all $n$ , we see

$\begin{aligned} 7 -1 -5&\leq 7+ \sin n - 5 \cos n \leq 7+{red}1+{blue}5\\ 1&\leq 7+ \sin n - 5 \cos n \leq13 \end{aligned}$

This gives us the idea to try the bounds $\dfrac{n^2}{13e^n} \le \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)} \le \dfrac{n^2}{e^n}$ We check that $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2}{13e^n} = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2}{e^n}$ (they're both 0–you can verify using l'Hopital's rule), so these are indeed reasonable bounds to choose to use with the squeeze theorem. Alternatively, since $0\le \frac{n^2}{13e^n}$ , we can also use $0 \le \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)} \le \dfrac{n^2}{e^n}$ (c) Since $(-n)^{-n} = \dfrac{1}{(-n)^n} = \dfrac{(-1)^n}{n^n}$ , we see $\dfrac{-1}{n^n} \le (-n)^{-n} \le \dfrac{1}{n^n}$ Since both $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{-1}{n^n}$ and $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n^n}$ are 0, these are reasonable bounds to use with the squeeze theorem.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 1번

# 수열의 수렴과 발산계산기본자동 분류

9.CLP-2 · 3.2절 · 1번우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 에 대응하는 처음 다섯 개의 부분합을 쓰세요.

각 항을 간단히 할 필요는 없다.

영어 원문 보기

Write out the first five partial sums corresponding to the series $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ .

You don't need to simplify the terms.

정답·풀이 보기

부분합의 수열의 $N$ 번째 항 $S_N$ 은 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 의 처음 $N$ 개 항의 합이다. $\begin{array}{l|l} \mathbf{N}&\mathbf{S_N}\\ \hline 1 & 1\\[7pt] 2 & 1+\frac12\\[7pt] 3 & 1+\frac12 + \frac13\\[7pt] 4 & 1+\frac12 + \frac13+\frac14\\[7pt] 5 & 1+\frac12 + \frac13+\frac14+\frac15\\[7pt] \end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

The $N$ th term of the sequence of partial sums, $S_N$ , is the sum of the first $N$ terms of the series $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ . $\begin{array}{l|l} \mathbf{N}&\mathbf{S_N}\\ \hline 1 & 1\\[7pt] 2 & 1+\frac12\\[7pt] 3 & 1+\frac12 + \frac13\\[7pt] 4 & 1+\frac12 + \frac13+\frac14\\[7pt] 5 & 1+\frac12 + \frac13+\frac14+\frac15\\[7pt] \end{array}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 51번

# 급수의 수렴과 발산계산기본자동 분류

10.CLP-2 · 3.2절 · 2번우리말 번역

수업에 오는 학생은 모두 강사에게 쿠키를 가져와 강사의 책상 위에 놓고 간다. $k$ 번째 학생이 온 뒤 강사의 책상 위에 있는 쿠키의 총수를 $C_k$ 라 하자.

$C_{11}=20$ 이고 $C_{10}=17$ 일 때, 11번째 학생은 수업에 쿠키를 몇 개 가져왔는지 구하세요.

영어 원문 보기

Every student who comes to class brings their instructor cookies, and leaves them on the instructor's desk. Let $C_k$ be the total number of cookies on the instructor's desk after the $k$ th student comes.

If $C_{11}=20$ , and $C_{10}=17$ , how many cookies did the 11th student bring to class?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

11번째 학생이 오기 전에 쿠키가 모두 17개였고 온 뒤에 20개였다면, 11번째 학생은 쿠키를 3개 가져온 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

If there were a total of 17 cookies before Student 11 came, and 20 cookies after, then Student 11 brought 3 cookies.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 1번

# 급수의 수렴과 발산계산기본자동 분류

11.CLP-2 · 3.2절 · 5번우리말 번역

$f(N)$ 을 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ 의 $N$ 번째 부분합을 나타내는 식이라 하자. (즉, $f(N)=S_N$ 이다.) 모든 $N > 1$ 에 대해 $f'(N)<0$ 이면, $a_n$ 에 대해 무엇을 알 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(N)$ be a formula for the $N$ th partial sum of $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ . (That is, $f(N)=S_N$ .) If $f'(N)<0$ for all $N > 1$ , what does that say about $a_n$ ?

정답·풀이 보기

$f'(N)<0$ 이면 $f(N)$ 은 감소한다. 따라서 항을 더 더할수록 합이 작아진다. 이는 더해지는 항들이 음수라는 뜻이다. 즉, 모든 $n \geq 2$ 에 대해 $a_n < 0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $f'(N)<0$ , that means $f(N)$ is decreasing. So, adding more terms makes for a smaller sum. That means the terms we're adding are negative. That is, $a_n < 0$ for all $n \geq 2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 2번

# 급수의 수렴과 발산계산기본자동 분류

수열의 극한 전체 문제