수열의 극한 전체 연습문제

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 7번우리말 풀이

첫째항이 $a_1=-3$ 이고 $n\ge1$ 에서 $a_{n+1}-a_n=4$ 를 만족하는 등차수열의 $n$ 번째 항 $a_n$ 의 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find a formula ${a}_{n}$ for the $n\text{th}$ term of the arithmetic sequence whose first term is ${a}_{1}=-3$ such that ${a}_{n+1}-{a}_{n}=4$ for $n\ge 1.$

풀이 보기

이웃한 항의 차가 일정하면 등차수열이고, 일반항은 $a_n=a_1+(n-1)d$ 예요.

1
수열의 종류를 알아봐요. $a_{n+1}-a_n=4$ 로 차가 일정하니 공차 $d=4$ 인 등차수열이에요.
2
일반항 공식에 넣어요. $a_n=a_1+(n-1)d=-3+4(n-1)=4n-7$
3
확인해요. $a_1=4-7=-3$ , $a_2=1$ , $a_3=5$ 로 차가 $4$ 씩이에요.

답

$a_n=4n-7$

자주 하는 실수

$(n-1)$ 대신 $n$ 을 곱해 $a_n=4n-3$ 으로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=4n-7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 63번

# 수열의 수렴과 발산계산기본

2.OpenStax 2권 · 5.1절 · 15번우리말 풀이

다음과 같이 점화식으로 정의된 수열에 대하여, $n$ 번째 항 $a_n$ 을 $a_n=f(n)$ 으로 나타내는 함수 $f(n)$ 을 구하세요.

$a_1=2$ 이고 $n\ge1$ 에서 $a_{n+1}=2a_n$

영어 원문 보기

Find a function $f(n)$ that identifies the $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ of the following recursively defined sequences, as ${a}_{n}=f(n).$

${a}_{1}=2$ and ${a}_{n+1}=2{a}_{n}$ for $n\ge 1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$a_{n+1}=2a_n$ 은 "앞 항에 2를 곱한다"는 뜻이니 공비가 2인 등비수열이에요.

1
몇 개 항을 직접 써 봐요. $a_1=2$ , $a_2=2\cdot2=4$ , $a_3=2\cdot4=8$ , $a_4=16$ 이에요. 모두 2의 거듭제곱이에요.
2
등비수열의 일반항 공식을 써요. 첫째항 $a_1=2$ , 공비 $r=2$ 이므로 $a_n=a_1\,r^{\,n-1}=2\cdot2^{\,n-1}=2^{\,n}$
3
확인해요. $a_{n+1}=2^{n+1}=2\cdot2^n=2a_n$ 이고 $a_1=2^1=2$ 이므로 조건을 모두 만족해요.

답

$f(n)=2^{n}$

자주 하는 실수

공비를 곱하는 횟수가 $n-1$ 번인데 $n$ 번으로 세어 $2^{n+1}$ 이라고 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$f(n)={2}^{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 39번

# 수열의 수렴과 발산계산기본

3.OpenStax 2권 · 5.1절 · 23번우리말 풀이

$\lim_{n\to\infty}a_n=1$ , $\lim_{n\to\infty}b_n=-1$ 이고 모든 $n$ 에서 $0<-b_n<a_n$ 이라고 합시다. 다음 각 극한을 구하거나, 극한이 존재하지 않는다고 하거나, 극한이 존재하는지 판단하기에 정보가 부족하다고 답하세요.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(3a_n-4b_n)$

영어 원문 보기

Suppose that $\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=1,$ $\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=-1,$ and $0<-{b}_{n}<{a}_{n}$ for all $n.$ Evaluate each of the following limits, or state that the limit does not exist, or state that there is not enough information to determine whether the limit exists.

$\lim_{n\to \infty }(3{a}_{n}-4{b}_{n})$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 수열이 각각 수렴하면, 합·차·상수배의 극한은 극한값끼리 계산하면 돼요.

1
극한의 성질을 떠올려요. $\lim a_n$ 과 $\lim b_n$ 이 모두 존재하면 $\lim(pa_n+qb_n)=p\lim a_n+q\lim b_n$ 이에요.
2
값을 넣어요. $\lim_{n\to\infty}(3a_n-4b_n)=3\cdot1-4\cdot(-1)=3+4=7$
3
조건 $0<-b_n<a_n$ 는 이 문제에서 쓰이지 않아요. 다른 소문항(예: 비의 극한)에서 쓰이는 조건이에요.

답

$7$

자주 하는 실수

$-4b_n$ 의 부호를 놓쳐 $3-4=-1$ 로 계산하는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 47번

# 수열의 극한값 계산계산기본

4.OpenStax 2권 · 5.1절 · 47번우리말 풀이

다음 수열의 극한값을 구하거나 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한값을 구하세요.

$a_n=(2n)^{1/n}-n^{1/n}$

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

${a}_{n}={(2n)}^{1/n}-{n}^{1/n}$

풀이 보기

$(2n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot n^{1/n}$ 으로 나누면, 알려진 극한 $n^{1/n}\to1$ 로 계산할 수 있어요.

1
식을 풀어 써요. 지수법칙으로 $(2n)^{1/n}=2^{1/n}\,n^{1/n}$ 이니까 $a_n=2^{1/n}\,n^{1/n}-n^{1/n}=n^{1/n}\left(2^{1/n}-1\right)$
2
각 부분의 극한을 구해요. $n\to\infty$ 일 때 $\dfrac1n\to0$ 이므로 $2^{1/n}\to2^0=1$ 이에요. 또 $\ln n^{1/n}=\dfrac{\ln n}{n}\to0$ 이라(로그는 $n$ 보다 훨씬 느리게 커져요) $n^{1/n}\to e^0=1$ 이에요.
3
극한의 곱의 성질을 써요. $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}n^{1/n}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(2^{1/n}-1\right)=1\cdot(1-1)=0$ (다르게 보면 $(2n)^{1/n}\to1$ , $n^{1/n}\to1$ 이니 차가 $0$ 이에요.)

답

수렴하고 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$

자주 하는 실수

$n^{1/n}$ 에서 $n\to\infty$ 이니 $\infty^0$ 꼴이라 "발산"이라고 단정하는 실수가 있어요(실제로는 1에 수렴).

원본 교재 풀이(영어)

${n}^{1/n}\to 1$ and ${2}^{1/n}\to 1,$ so ${a}_{n}\to 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 23번

# 수열의 극한값 계산계산보통

5.OpenStax 2권 · 5.1절 · 63번우리말 풀이

[계산기 사용] $0$ 과 $1$ 사이의 수 $x$ 의 이진 표현 $x=0.b_1b_2b_3\ldots$ 은 다음과 같이 정할 수 있습니다. $x<1/2$ 이면 $b_1=0$ , $1/2\le x<1$ 이면 $b_1=1$ 로 둡니다. $x_1=2x-b_1$ 로 둡니다. $x_1<1/2$ 이면 $b_2=0$ , $1/2\le x<1$ 이면 $b_2=1$ 로 둡니다. $x_2=2x_1-b_2$ 로 두고, 일반적으로 $x_n=2x_{n-1}-b_n$ 이며 $x_n<1/2$ 이면 $b_{n-1}=0$ , $1/2\le x_n<1$ 이면 $b_{n-1}=1$ 입니다. $1/3$ 의 이진 전개를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The binary representation $x=0.{b}_{1}{b}_{2}{b}_{3}...$ of a number $x$ between $0$ and $1$ can be defined as follows. Let ${b}_{1}=0$ if $x<1/2$ and ${b}_{1}=1$ if $1/2\le x<1.$ Let ${x}_{1}=2x-{b}_{1}.$ Let ${b}_{2}=0$ if ${x}_{1}<1/2$ and ${b}_{2}=1$ if $1/2\le x<1.$ Let ${x}_{2}=2{x}_{1}-{b}_{2}$ and in general, ${x}_{n}=2{x}_{n-1}-{b}_{n}$ and ${b}_{n-1}=0$ if ${x}_{n}<1/2$ and ${b}_{n-1}=1$ if $1/2\le {x}_{n}<1.$ Find the binary expansion of $1/3.$

풀이 보기

"두 배 해서 1이 넘으면 1을 적고 1을 빼는" 과정을 되풀이하면 같은 값이 다시 나타나 규칙이 반복돼요.

1
규칙을 이해해요. 이진수 $0.b_1b_2\ldots$ 는 $\dfrac{b_1}2+\dfrac{b_2}4+\cdots$ 를 뜻해요. 수를 두 배 했을 때 $1$ 이상이면 그 자리 숫자는 $1$ (그리고 $1$ 을 빼고), 아니면 $0$ 이에요.
2
$x=\dfrac13$ 으로 시작해요. $\dfrac13<\dfrac12$ 이므로 $b_1=0$ 이고 $x_1=2\cdot\frac13-0=\frac23$
3
다음 단계예요. $x_1=\dfrac23\ge\dfrac12$ 이므로 $b_2=1$ 이고 $x_2=2\cdot\frac23-1=\frac43-1=\frac13$
4
반복을 찾아요. $x_2=\dfrac13$ 은 처음 값과 같아요. 그러니 이후에도 $b_3=0,\ b_4=1,\ \ldots$ 가 같은 순서로 반복돼요. 따라서 $\dfrac13=0.010101\ldots_{(2)}$ 이에요.
5
검산해요. $0.010101\ldots_{(2)}=\dfrac14+\dfrac1{16}+\cdots=\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac13$ 으로 맞아요.

답

$\dfrac13=0.010101\ldots_{(2)}$ ( $01$ 이 반복)

자주 하는 실수

$x_1$ 을 계산할 때 $b_1$ 을 빼는 것을 잊어 $x_1=\tfrac23$ 대신 다른 값을 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

${b}_{1}=0,$ ${x}_{1}=2/3,$ ${b}_{2}=1,$ ${x}_{2}=4/3-1=1/3,$ so the pattern repeats, and $1/3=0.010101\ldots .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 15번

# 수열의 수렴과 발산계산보통

6.OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번우리말 풀이

시그마 기호를 써서 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

$1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots$

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...$

풀이 보기

분모의 규칙과 부호의 규칙을 따로 찾아 곱해요.

1
분모를 봐요. $1,2,3,4,\ldots$ 이므로 $n$ 번째 항의 크기는 $\dfrac1n$ 이에요.
2
부호를 봐요. $+,-,+,-,\ldots$ 로 번갈아 바뀌어요. 첫 항이 $+$ 이므로 $n=1$ 에서 $+1$ 이 되도록 $(-1)^{n-1}$ 을 써요( $n=2$ 면 $-1$ ).
3
합쳐서 써요. $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

답

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

자주 하는 실수

부호를 $(-1)^n$ 으로 써서 첫 항이 $-1$ 이 되는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 47번

# 급수의 수렴과 발산계산기본

7.OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번우리말 풀이

다음과 같이 $n=1$ 부터 시작하는 급수의 $n$ 번째 항이 $a_n$ 일 때, 처음 네 개의 부분합 $S_1,\ldots,S_4$ 를 구하세요.

$a_n=\sin(n\pi/2)$

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ for the series having $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ starting with $n=1$ as follows.

${a}_{n}=\sin (n\pi /2)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요.

1
각 항을 구해요. $\sin\frac{\pi}{2}=1$ , $\sin\pi=0$ , $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$ , $\sin2\pi=0$ 이므로 $a_1=1,\ a_2=0,\ a_3=-1,\ a_4=0$ 이에요.
2
차례로 더해요. $S_1=1,\quad S_2=1+0=1,\quad S_3=1+0+(-1)=0,\quad S_4=0+0=0$

답

$S_1=1,\ S_2=1,\ S_3=0,\ S_4=0$

자주 하는 실수

부분합을 항 자체와 혼동해 $S_3=-1$ 처럼 쓰는 실수가 있어요(부분합은 누적한 합이에요).

원본 교재 풀이(영어)

$1,1,0,0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번

# 급수의 수렴과 발산계산기본

8.OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번우리말 풀이

다음 급수를 서로 소거되는 합(망원합) 꼴로 나타내고, 제 $n$ 항까지의 부분합을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

영어 원문 보기

Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

풀이 보기

로그의 나눗셈은 뺄셈으로 바꿀 수 있어서, 항을 늘어놓으면 가운데 항들이 줄줄이 사라져요.

1
먼저 로그의 성질 $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ 를 써서 일반항을 뺄셈 꼴로 바꿔요.

$\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)=\ln n-\ln(n+1)$

그래서 급수는 $\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ 로 쓸 수 있어요.
2
부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요. 왜 이렇게 쓰냐면, 항을 직접 늘어놓아야 무엇이 소거되는지 보이기 때문이에요.

$S_k=(\ln 1-\ln 2)+(\ln 2-\ln 3)+(\ln 3-\ln 4)+\cdots+(\ln k-\ln(k+1))$
3
이웃한 항끼리 $-\ln 2$ 와 $+\ln 2$ , $-\ln 3$ 와 $+\ln 3$ 처럼 서로 지워져요. 남는 것은 맨 앞의 $\ln 1$ 과 맨 뒤의 $-\ln(k+1)$ 뿐이에요.
4
$\ln 1=0$ 이므로 부분합은 다음과 같아요.

$S_k=\ln 1-\ln(k+1)=-\ln(k+1)$

참고로 $k\to\infty$ 이면 $S_k\to-\infty$ 이므로 이 급수는 발산해요.

답

$\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ , $\;S_k=-\ln(k+1)$

자주 하는 실수

$\ln 1$ 을 $1$ 로 착각하면 안 돼요. $\ln 1=0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln n-\ln (n+1),{S}_{k}=-\ln (k+1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번

# 급수의 수렴과 발산계산보통

9.OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번우리말 풀이

일반적인 망원급수란, 연속한 항들을 어느 정도 더하고 나면 처음 몇 항을 빼고는 모두 지워지는 급수입니다.

$a_n=f(n)-2f(n+1)+f(n+2)$ 이고 $n\to\infty$ 일 때 $f(n)\to0$ 이라고 합시다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

Let ${a}_{n}=f(n)-2f(n+1)+f(n+2),$ in which $f(n)\to 0$ as $n\to \infty .$ Find $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}.$

풀이 보기

$a_n$ 을 "앞뒤가 지워지는 차"의 꼴로 바꾸면 부분합이 몇 개 항만 남아요.

1
$a_n$ 을 두 개의 차로 나눠요. $-2f(n+1)=-f(n+1)-f(n+1)$ 이므로 $a_n=\big[f(n)-f(n+1)\big]-\big[f(n+1)-f(n+2)\big]$
2
부분합 $S_N$ 을 써요. 각 대괄호를 따로 더하면 이웃한 항이 지워져요. $\sum_{n=1}^N\big[f(n)-f(n+1)\big]=f(1)-f(N+1),\qquad \sum_{n=1}^N\big[f(n+1)-f(n+2)\big]=f(2)-f(N+2)$ $S_N=f(1)-f(N+1)-f(2)+f(N+2)$
3
$N\to\infty$ 로 보내요. $f(N+1)\to0$ , $f(N+2)\to0$ 이므로 $\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}S_N=f(1)-f(2)$

답

$f(1)-f(2)$

자주 하는 실수

두 번째 대괄호의 부호를 놓쳐 $f(1)+f(2)$ 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=f(1)-f(2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번

# 급수의 수렴과 발산계산도전

10.OpenStax 2권 · 5.1절 · 1번우리말 번역

다음 각 수열의 첫 여섯 항을 $n=1$ 부터 시작하여 구하세요.

모든 $n\ge 1$ 에 대해 ${a}_{n}=1+{(-1)}^{n}$

영어 원문 보기

Find the first six terms of each of the following sequences, starting with $n=1.$

${a}_{n}=1+{(-1)}^{n}$ for $n\ge 1$

정답·풀이 보기

$n$ 이 홀수이면 ${a}_{n}=0$ 이고 $n$ 이 짝수이면 ${a}_{n}=2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=0$ if $n$ is odd and ${a}_{n}=2$ if $n$ is even

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 9번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

11.OpenStax 2권 · 5.1절 · 2번우리말 번역

$n=1$ 부터 시작하여 다음 각 수열의 처음 여섯 항을 구하세요.

${a}_{n}={n}^{2}-1$ ( $n\ge 1$ )

영어 원문 보기

Find the first six terms of each of the following sequences, starting with $n=1.$

${a}_{n}={n}^{2}-1$ for $n\ge 1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 7번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

12.OpenStax 2권 · 5.1절 · 3번우리말 번역

$n=1$ 부터 시작하여 다음 각 수열의 처음 여섯 항을 구하세요.

${a}_{1}=1$ 이고 $n\ge 2$ 에 대해 ${a}_{n}={a}_{n-1}+n$

영어 원문 보기

Find the first six terms of each of the following sequences, starting with $n=1.$

${a}_{1}=1$ and ${a}_{n}={a}_{n-1}+n$ for $n\ge 2$

정답·풀이 보기

$\{{a}_{n}\}=\{1,3,6,10,15,21,\ldots \}$

원본 교재 풀이(영어)

$\{{a}_{n}\}=\{1,3,6,10,15,21,\ldots \}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 1번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

13.OpenStax 2권 · 5.1절 · 4번우리말 번역

$n=1$ 부터 시작하여 다음 각 수열의 처음 여섯 항을 구하세요.

${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}=1$ 이고 $n\ge 1$ 에 대해 ${a}_{n+2}={a}_{n}+{a}_{n+1}$

영어 원문 보기

Find the first six terms of each of the following sequences, starting with $n=1.$

${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}=1$ and ${a}_{n+2}={a}_{n}+{a}_{n+1}$ for $n\ge 1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 4번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

14.OpenStax 2권 · 5.1절 · 5번우리말 번역

${a}_{1}=1$ 이고 $n\ge 2$ 에 대해 ${a}_{n}={a}_{n-1}+n$ 일 때, ${a}_{n}$ 의 일반항을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an explicit formula for ${a}_{n}$ where ${a}_{1}=1$ and ${a}_{n}={a}_{n-1}+n$ for $n\ge 2.$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 3번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

15.OpenStax 2권 · 5.1절 · 6번우리말 번역

첫째항이 ${a}_{1}=1$ 이고 $n\ge 1$ 에 대해 ${a}_{n+1}-{a}_{n}=17$ 인 등차수열의 제 $n$ 항 ${a}_{n}$ 에 대한 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find a formula ${a}_{n}$ for the $n\text{th}$ term of the arithmetic sequence whose first term is ${a}_{1}=1$ such that ${a}_{n+1}-{a}_{n}=17$ for $n\ge 1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.1절 · 2번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

16.OpenStax 2권 · 5.1절 · 8번우리말 번역

첫째항이 ${a}_{1}=1$ 이고 $n\ge 1$ 에 대해 $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=10$ 을 만족시키는 등비수열의 제 $n$ 항에 대한 식 ${a}_{n}$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Find a formula ${a}_{n}$ for the $n\text{th}$ term of the geometric sequence whose first term is ${a}_{1}=1$ such that $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=10$ for $n\ge 1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 1번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

17.OpenStax 2권 · 5.1절 · 9번우리말 번역

첫째항이 ${a}_{1}=3$ 이고 $n\ge 1$ 에 대해 $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1/10$ 을 만족시키는 등비수열의 제 $n\text{th}$ 항에 대한 식 ${a}_{n}$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Find a formula ${a}_{n}$ for the $n\text{th}$ term of the geometric sequence whose first term is ${a}_{1}=3$ such that $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1/10$ for $n\ge 1.$

정답·풀이 보기

${a}_{n}={3.10}^{1-n}={30.10}^{-n}$

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}={3.10}^{1-n}={30.10}^{-n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 65번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

18.OpenStax 2권 · 5.1절 · 10번우리말 번역

처음 몇 개의 항이 $\{0,3,8,15,24,35,48,63,80,99,\ldots \}$ 인 수열의 제 $n\text{th}$ 항에 대한 명시적인 식을 구하세요. (힌트: 먼저 각 항에 1을 더하세요.)

영어 원문 보기

Find an explicit formula for the $n\text{th}$ term of the sequence whose first several terms are $\{0,3,8,15,24,35,48,63,80,99,\ldots \}.$ (Hint: First add one to each term.)