문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 극한 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

6문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번우리말 풀이

[계산기 사용] 공정한 동전을 던질 때, 앞면이 두 번째로 나오는 것이 짝수 번째 던지기에서일 확률을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Find the probability that a fair coin will come up heads for the second time after an even number of flips.

답 쓰고 채점

풀이 보기

$n$ 번째에서 두 번째 앞면이 나올 확률을 식으로 쓰고, 짝수 $n$ 에 대해 모두 더하면 급수가 돼요.

1
$n$ 번째 던지기에서 두 번째 앞면이 나오려면, 앞의 $n-1$ 번 중 앞면이 정확히 1번이고 $n$ 번째가 앞면이어야 해요. 앞면이 나올 자리를 고르는 방법이 $n-1$ 가지이므로 확률은 다음과 같아요.

$P(n)=(n-1)\left(\frac12\right)^{n}$
2
짝수 번째만 모으면 되니까 $n=2m$ ( $m=1,2,3,\dots$ ) 으로 놓아요.

$P(2m)=\frac{2m-1}{2^{2m}}=\frac{2m-1}{4^{m}}$

구하는 확률은 $\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}$ 이에요.
3
식을 둘로 쪼개요. 각각 계산하기 쉬운 급수가 되기 때문이에요.

$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}=2\sum_{m=1}^{\infty}m\left(\frac14\right)^{m}-\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac14\right)^{m}$
4
$|x|<1$ 일 때 $\sum_{m=1}^{\infty}x^m=\frac{x}{1-x}$ 이고 $\sum_{m=1}^{\infty}m x^m=\frac{x}{(1-x)^2}$ 이에요. $x=\frac14$ 를 넣으면

$\sum m\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{(3/4)^2}=\frac49,\qquad \sum\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{3/4}=\frac13$
5
따라서 확률은 다음과 같아요.

$2\cdot\frac49-\frac13=\frac89-\frac39=\frac59$

답

$\dfrac59$

자주 하는 실수

두 번째 앞면이 나오는 확률을 $\left(\frac12\right)^n$ 으로만 쓰고 앞의 $n-1$ 번 중 앞면 자리를 고르는 경우의 수 $(n-1)$ 을 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

$5/9$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번

# 급수의 수렴과 발산활용도전

2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 61번우리말 풀이

[계산기 사용] 환자 몸속의 약의 양이 매시간 일정한 비율 $r<1$ 배로 줄어든다고 합시다. 새 약은 $N$ 시간마다 투여합니다. 투여량 $d$ 와 비율 $r$ 로, 각 $n$ 에 대해 $n$ 시간 후 환자 몸속의 약의 양 $A(n)$ 을 나타내는 식을 구하세요. (힌트: $n=mN+k$ ( $0\le k<N$ ) 로 쓰고, 서로 다른 투여분을 모두 더하세요.)

영어 원문 보기

[T] Suppose that the amount of a drug in a patient’s system diminishes by a multiplicative factor $r<1$ each hour. Suppose that a new dose is administered every $N$ hours. Find an expression that gives the amount $A(n)$ in the patient’s system after $n$ hours for each $n$ in terms of the dosage $d$ and the ratio $r.$ (Hint: Write $n=mN+k,$ where $0\le k<N,$ and sum over values from the different doses administered.)

풀이 보기

각 투여분은 따로 줄어들고, 몸속의 양은 그 투여분들을 모두 더한 값이에요(첫 투여는 시각 $0$ 으로 봐요).

1
투여 시각을 정리해요. 투여는 시각 $0,\ N,\ 2N,\ \ldots$ 에 이뤄지고, $n=mN+k$ 이면 시각 $n$ 까지 $m+1$ 번(시각 $0,N,\ldots,mN$ ) 투여한 거예요.
2
한 번의 투여분이 남는 양을 구해요. 시각 $lN$ 에 투여한 약 $d$ 는 $n-lN$ 시간 동안 매시간 $r$ 배가 되니 $d\,r^{\,n-lN}$ 이 남아요.
3
모두 더해요. $A(n)=\sum_{l=0}^{m}d\,r^{\,n-lN}$ $q=m-l$ 로 바꾸면 $n-lN=k+mN-lN=k+qN$ 이므로 $A(n)=\sum_{q=0}^{m}d\,r^{\,k+qN}=d\,r^{k}\sum_{q=0}^{m}\left(r^{N}\right)^{q}$
4
등비수열의 합 공식을 써요. 첫째항 $1$ , 공비 $r^N$ , 항의 수 $m+1$ 이니 $A(n)=d\,r^{k}\cdot\frac{1-r^{(m+1)N}}{1-r^{N}},\qquad n=mN+k$

답

$A(n)=d\,r^{k}\dfrac{1-r^{(m+1)N}}{1-r^{N}}$ ( $n=mN+k$ , $0\le k<N$ )

자주 하는 실수

항의 수를 $m$ 개로 세어 $1-r^{mN}$ 으로 쓰는 실수가 있어요(투여 횟수는 $m+1$ 번).

원본 교재 풀이(영어)

The part of the first dose after $n$ hours is $d{r}^{n},$ the part of the second dose is $d{r}^{n-N},$ and, in general, the part remaining of the $m\text{th}$ dose is $d{r}^{n-mN},$ so

$A(n)=\sum_{l=0}^{m}d{r}^{n-lN}=\sum_{l=0}^{m}d{r}^{k+(m-l)N}=\sum_{q=0}^{m}d{r}^{k+qN}=d{r}^{k}\sum_{q=0}^{m}{r}^{Nq}=d{r}^{k}\frac{1-{r}^{(m+1)N}}{1-{r}^{N}},n=k+mN.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 25번

# 등비급수활용도전

3.OpenStax 2권 · 5.1절 · 58번우리말 번역

[계산기 사용] 식초 1리터에서 시작하여, 0.1 L 를 덜어 내고 그만큼 물로 채운 뒤 섞는 과정을 반복한다고 합시다.

a. $n$ 단계 후의 농도에 대한 식을 구하세요. b. 몇 단계 후에 혼합액의 식초 비율이 $10\%$ 미만이 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose you start with one liter of vinegar and repeatedly remove $0.1\,\text{L,}$ replace with water, mix, and repeat.

a. Find a formula for the concentration after $n$ steps. b. After how many steps does the mixture contain less than $10\%$ vinegar?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 5번

# 수열의 수렴과 발산활용자동 분류

4.OpenStax 2권 · 5.1절 · 59번우리말 번역

[계산기 사용] 어떤 호수에 처음에 물고기가 $2000$ 마리 있습니다. 포식자나 그 밖의 제거 요인이 없다면 물고기 개체 수는 매달 $6\%$ 씩 증가한다고 합시다. 그러나 모든 요인을 고려하면 매달 물고기 $150$ 마리가 사라집니다.

a. $n$ 개월 후의 물고기 개체 수가 ${P}_{0}=2000$ 일 때 ${P}_{n}=1.06{P}_{n-1}-150$ 으로 모형화되는 이유를 설명하세요. b. 1년 후 연못에 물고기가 몇 마리 있게 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A lake initially contains $2000$ fish. Suppose that in the absence of predators or other causes of removal, the fish population increases by $6\%$ each month. However, factoring in all causes, $150$ fish are lost each month.

a. Explain why the fish population after $n$ months is modeled by ${P}_{n}=1.06{P}_{n-1}-150$ with ${P}_{0}=2000.$ b. How many fish will be in the pond after one year?

정답·풀이 보기

a. 손실이 없다면 개체 수는 ${P}_{n}=1.06{P}_{n-1}$ 을 따를 것이다. $150$ 을 빼는 것은 물고기의 손실을 나타낸다. b. $12$ 개월 후에는 ${P}_{12}\approx 1494$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. Without losses, the population would obey ${P}_{n}=1.06{P}_{n-1}.$ The subtraction of $150$ accounts for fish losses. b. After $12$ months, we have ${P}_{12}\approx 1494.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 51번

# 수열의 수렴과 발산활용자동 분류

5.OpenStax 2권 · 5.2절 · 58번우리말 번역

[계산기 사용] 공정한 동전을 던질 때, 앞면이 두 번째로 나오는 것이 3의 배수 번째 던지기에서 일어날 확률을 나타내는 급수를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Find a series that expresses the probability that a fair coin will come up heads for the second time on a multiple of three flips.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 19번

# 급수의 수렴과 발산활용자동 분류

6.OpenStax 2권 · 5.2절 · 62번우리말 번역

[계산기 사용] 어떤 약물은 평균적인 환자의 몸속에 체중 1 kg당 적어도 $1$ mg이 있어야만 효과가 있고, 평균적인 환자의 몸속에 체중 1 kg당 많아야 $2$ mg이 있어야만 안전하다. 투약 후 환자의 몸속에 있는 약물의 양이 매시간 $0.9$ 의 일정한 비율로 곱해져 줄어든다고 하자. 이 약물을 장기적으로 안전하고 효과적으로 사용할 수 있도록 하는, 투약 간격의 최대 시간 $N$ 과, 이 $N$ 에 대응하는 투약량의 범위 $d$ (단위: mg/kg)를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A certain drug is effective for an average patient only if there is at least $1$ mg per kg in the patient’s system, while it is safe only if there is at most $2$ mg per kg in an average patient’s system. Suppose that the amount in a patient’s system diminishes by a multiplicative factor of $0.9$ each hour after a dose is administered. Find the maximum interval $N$ of hours between doses, and corresponding dose range $d$ (in mg/kg) for this $N$ that will enable use of the drug to be both safe and effective in the long term.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 31번

# 급수의 수렴과 발산활용자동 분류