수열의 극한 전체 연습문제

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 50번우리말 번역

[계산기 사용] 크기가 같은 균일한 직육면체 블록 $N$ 개를 차례로 위로 쌓되, 조금씩 내밀어 쌓는다고 합시다. 아르키메데스의 지레의 법칙에 따르면, 위쪽 $(N-1)$ 개 블록의 질량 중심이 맨 아래 블록의 가장자리에 놓이는 한 $N$ 개 블록의 더미는 안정하다. 맨 아래 블록의 가장자리 위치를 $x$ 라 하고, 그 위치를 아래에서 두 번째 블록의 중심에 대한 상대적인 위치로 생각합시다. 그러면 $(N-1)x=\left(\frac{1}{2}-x\right)$ 즉 $x=1/(2N)$ 이다. 이 식을 이용하여 최대로 내밀 수 있는 길이(맨 위 블록의 가장자리가 맨 아래 블록의 가장자리를 넘어선 위치)를 구하세요. 다음 그림을 참고하세요.

탁자의 가장자리 위에 여러 개의 블록을 쌓아 놓은 그림이다. 각 블록은 오른쪽으로 조금씩 밀려 탁자 가장자리 바깥으로 나와 있다. 탁자의 가장자리에서 가장 위에 있는 블록의 가장자리에서 아래로 내린 선까지 양 끝에 화살촉이 있는 화살표가 그려져 있다.

영어 원문 보기

[T] Suppose that $N$ equal uniform rectangular blocks are stacked one on top of the other, allowing for some overhang. Archimedes’ law of the lever implies that the stack of $N$ blocks is stable as long as the center of mass of the top $(N-1)$ blocks lies at the edge of the bottom block. Let $x$ denote the position of the edge of the bottom block, and think of its position as relative to the center of the next-to-bottom block. This implies that $(N-1)x=\left(\frac{1}{2}-x\right)$ or $x=1/(2N).$ Use this expression to compute the maximum overhang (the position of the edge of the top block over the edge of the bottom block.) See the following figure.

This is a diagram of the edge of a table with several blocks stacked on the edge. Each block is pushed slightly to the right, and over the edge of the table. An arrow is drawn with arrowheads at both ends from the edge of the table to a line drawn down from the edge of the highest block.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 68번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그림에서 점선 지그재그 경로의 길이를 구하세요.

제1사분면에 꼭짓점이 (1, 1), (0, 0), (1, 0)인 삼각형이 그려져 있다. 지그재그 선은 (1, 0)에서 시작하여 빗변의 중점 (0.5, 0.5)로 가고, 점 (1, 0.5)를 지나 점 (0.75, 0.75)로 올라간 다음, 점 (1, 0.75)로 가로질러 가는 식으로 위쪽 꼭짓점에 수렴할 때까지 계속된다.

영어 원문 보기

[T] Find the length of the dashed zig-zag path in the following figure.

This is a triangle drawn in quadrant 1 with vertices at (1, 1), (0, 0), and (1, 0). The zigzag line is drawn starting at (1, 0) and goes to the middle of the hypotenuse at (0.5, 0.5), point (1, 0.5), up to point (0.75, 0.75), across to point (1, 0.75), and so on until it converges on the top vertex.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 2권 · 5.2절 · 69번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그림에서 점선 경로의 전체 길이를 구하세요.

제1사분면에 꼭짓점이 (1, 1), (0, 0), (1, 0)인 삼각형이 그려져 있다. 지그재그 선은 (0.5, 0)에서 시작하여 빗변의 중점으로 가고, 그 점과 세로 변 사이의 중점으로 간 다음, 빗변의 위쪽 절반의 중점으로 가고, 다시 그 점과 수직인 변 사이의 중점으로 가는 식으로 위쪽 꼭짓점에 수렴할 때까지 계속된다.

영어 원문 보기

[T] Find the total length of the dashed path in the following figure.

This is a triangle drawn in quadrant 1 with vertices at (1, 1), (0, 0), and (1, 0). The zigzag line is drawn starting at (0.5, 0) and goes to the middle of the hypotenuse, the midpoint between that point and the vertical leg, the midpoint of the upper half of the hypotenuse, the midpoint between that point and the vertical leg, and so on until it converges on the top vertex.

정답·풀이 보기

$L=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sum_{n=1}^{\infty }1/{2}^{n}=\frac{3}{2}.$

원본 교재 풀이(영어)

$L=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sum_{n=1}^{\infty }1/{2}^{n}=\frac{3}{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 19번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 2권 · 5.2절 · 70번우리말 번역

[계산기 사용] 시에르핀스키 삼각형은 삼각형에서 첫 번째 단계에서 가운데 4분의 1을 지우고, 두 번째 단계에서 남은 합동인 세 삼각형 각각의 가운데 4분의 1을 지우고, 일반적으로 각 단계마다 남은 삼각형들의 가운데 4분의 1을 지우는 방식으로 얻는다. 처음 삼각형이 그림과 같다고 할 때, $N$ 단계 후 처음 삼각형에서 남은 부분의 넓이를 구하고, $N$ 단계 후 모든 경계 삼각형의 둘레의 총길이를 구하세요.

좌표평면 위의 직각삼각형 안에 시에르핀스키 삼각형과 비슷한 기하학적 프랙탈 무늬가 나타나 있다. 색칠된 영역이 정교한 자기유사 도형을 강조하고 있다.

영어 원문 보기

[T] The Sierpinski triangle is obtained from a triangle by deleting the middle fourth as indicated in the first step, by deleting the middle fourths of the remaining three congruent triangles in the second step, and in general deleting the middle fourths of the remaining triangles in each successive step. Assuming that the original triangle is shown in the figure, find the areas of the remaining parts of the original triangle after $N$ steps and find the total length of all of the boundary triangles after $N$ steps.

$A geometric fractal pattern, resembling a Sierpinski triangle, is shown within a right-angled triangle on an x-y coordinate plane. Shaded regions highlight the intricate self-similar design.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 1번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 2권 · 5.2절 · 71번우리말 번역

[계산기 사용] 시에르핀스키 개스킷은 단위정사각형을 합동인 9개의 작은 정사각형으로 나누어 가운데 정사각형을 제거하고, 남은 작은 정사각형 각각에 대해 각 단계마다 같은 과정을 반복하여 얻는다. 그림은 4번 반복한 뒤 남은 집합을 나타낸다. $N$ 단계 후 제거된 전체 넓이를 구하고, $N$ 단계 후 남은 집합의 전체 둘레의 길이를 구하세요.

검은 정사각형에서 여러 개의 더 작은 정사각형이 제거되어, 정사각형 무늬의 빈 공간이 남아 있는 그림이다. 제거 과정은 4번 반복되었다. 첫 번째 단계에서는 가운데 있는 넓이 1/9 인 정사각형이 제거된다. 이 정사각형의 한 변의 길이는 바로 앞 단계의 더 큰 정사각형의 한 변의 길이의 1/3 이다. 다음 단계에서는 이 정사각형 둘레에서 더 작은 정사각형 8개가 제거된다. 그다음에는 그 8개의 정사각형 각각의 둘레에서 더 작은 정사각형 8개씩, 모두 64개가 제거된다. 그다음에는 그 64개 각각의 둘레에서 훨씬 더 작은 정사각형 8개씩이 제거된다.

영어 원문 보기

[T] The Sierpinski gasket is obtained by dividing the unit square into nine equal sub-squares, removing the middle square, then doing the same at each stage to the remaining sub-squares. The figure shows the remaining set after four iterations. Compute the total area removed after $N$ stages, and compute the length the total perimeter of the remaining set after $N$ stages.

정답·풀이 보기

1단계에서는 넓이가 $1/9$ 인 정사각형이 제거되고, 2단계에서는 넓이가 $1/{9}^{2}$ 인 정사각형 $8$ 개가 제거되며, 3단계에서는 넓이가 $1/{9}^{3}$ 인 정사각형 ${8}^{2}$ 개가 제거되고, 이와 같이 계속된다. $N$ 단계 후 제거된 전체 넓이는 $\sum_{n=0}^{N-1}{8}^{N}/{9}^{N+1}=\frac{1}{8}(1-{(8/9)}^{N})/(1-8/9)\to 1$

이다( $N\to \infty$ 일 때). 전체 둘레는 $4+4\sum_{n=0}{8}^{N}/{3}^{N+1}\to \infty$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

At stage one a square of area $1/9$ is removed, at stage $2$ one removes $8$ squares of area $1/{9}^{2},$ at stage three one removes ${8}^{2}$ squares of area $1/{9}^{3},$ and so on. The total removed area after $N$ stages is $\sum_{n=0}^{N-1}{8}^{N}/{9}^{N+1}=\frac{1}{8}(1-{(8/9)}^{N})/(1-8/9)\to 1$

as $N\to \infty .$ The total perimeter is $4+4\sum_{n=0}{8}^{N}/{3}^{N+1}\to \infty .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 29번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

6.APEX · 8.2절 · 7번우리말 번역

연습문제 7–14에서 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어져 있습니다.

(a) 이 급수의 처음 5개의 부분합을 구하세요. (b) 처음 5개의 항 $a_n$ 과 $S_n$ 의 그래프를 같은 좌표축 위에 그리세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is given.

(a) Give the first 5 partial sums of the series. (b) Give a graph of the first 5 terms of $a_n$ and $S_n$ on the same axes.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

정답·풀이 보기

(a) $-1,-\frac{1}{2},-\frac{5}{6},-\frac{7}{12},-\frac{47}{60}$ (b) 그래프 생략

원본 교재 풀이(영어)

(a) $-1,-\frac{1}{2},-\frac{5}{6},-\frac{7}{12},-\frac{47}{60}$ (b) Plot omitted

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 49번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

7.APEX · 8.2절 · 8번우리말 번역

연습문제 7–14에서 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어져 있습니다.

(a) 이 급수의 처음 5개의 부분합을 구하세요. (b) 처음 5개의 항 $a_n$ 과 $S_n$ 의 그래프를 같은 좌표축 위에 그리세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is given.

(a) Give the first 5 partial sums of the series. (b) Give a graph of the first 5 terms of $a_n$ and $S_n$ on the same axes.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

정답·풀이 보기

(a) $1,\frac{5}{4},\frac{49}{36},\frac{205}{144},\frac{526 9}{3600}$ (b) 그래프 생략

원본 교재 풀이(영어)

(a) $1,\frac{5}{4},\frac{49}{36},\frac{205}{144},\frac{526 9}{3600}$ (b) Plot omitted

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 41번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

8.APEX · 8.2절 · 9번우리말 번역

연습문제 7–14에서 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어져 있습니다.

(a) 급수의 처음 5개의 부분합을 구하세요. (b) $a_n$ 의 처음 5개 항과 $S_n$ 의 그래프를 같은 좌표축 위에 그리세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \cos (\pi n)$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is given.

(a) Give the first 5 partial sums of the series. (b) Give a graph of the first 5 terms of $a_n$ and $S_n$ on the same axes.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \cos (\pi n)$

정답·풀이 보기

(a) $-1,0,-1,0,-1$ (b) 그래프는 생략한다

원본 교재 풀이(영어)

(a) $-1,0,-1,0,-1$ (b) Plot omitted

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

9.APEX · 8.2절 · 10번우리말 번역

연습문제 7–14에서 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어져 있습니다.

(a) 급수의 처음 5개의 부분합을 구하세요. (b) $a_n$ 의 처음 5개 항과 $S_n$ 의 그래프를 같은 좌표축 위에 그리세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is given.

(a) Give the first 5 partial sums of the series. (b) Give a graph of the first 5 terms of $a_n$ and $S_n$ on the same axes.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n$

정답·풀이 보기

(a) $1,3,6,10,15$ (b) 그래프는 생략한다

원본 교재 풀이(영어)

(a) $1,3,6,10,15$ (b) Plot omitted

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 71번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

10.APEX · 8.2절 · 11번우리말 번역

연습문제 7–14에서 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어져 있습니다.

(a) 급수의 처음 5개의 부분합을 구하세요. (b) $a_n$ 의 처음 5개 항과 $S_n$ 의 그래프를 같은 좌표축 위에 그리세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is given.

(a) Give the first 5 partial sums of the series. (b) Give a graph of the first 5 terms of $a_n$ and $S_n$ on the same axes.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}$

정답·풀이 보기

(a) $1,\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{41}{24},\frac{103}{60}$ (b) 그래프는 생략한다

원본 교재 풀이(영어)

(a) $1,\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{41}{24},\frac{103}{60}$ (b) Plot omitted

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 53번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

11.APEX · 8.2절 · 12번우리말 번역

연습문제 7–14에서 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어져 있습니다.

(a) 급수의 처음 5개의 부분합을 구하세요. (b) $a_n$ 의 처음 5개 항과 $S_n$ 의 그래프를 같은 좌표축 위에 그리세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is given.

(a) Give the first 5 partial sums of the series. (b) Give a graph of the first 5 terms of $a_n$ and $S_n$ on the same axes.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{1}{3},\frac{4}{9},\frac{13}{27},\frac{40}{81},\frac{121}{243}$ (b) 그래프는 생략한다

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{1}{3},\frac{4}{9},\frac{13}{27},\frac{40}{81},\frac{121}{243}$ (b) Plot omitted

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 29번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

12.APEX · 8.2절 · 13번우리말 번역

연습문제 7–14에서 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어져 있습니다.

(a) 급수의 처음 5개의 부분합을 구하세요. (b) $a_n$ 과 $S_n$ 의 처음 5개 항의 그래프를 같은 좌표축 위에 그리세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{9}{10}\right)^n$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is given.

(a) Give the first 5 partial sums of the series. (b) Give a graph of the first 5 terms of $a_n$ and $S_n$ on the same axes.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{9}{10}\right)^n$

정답·풀이 보기

(a) $-0.9,-0.09,-0.819,-0.1629,-0.75339$ (b) 그래프는 생략한다

원본 교재 풀이(영어)

(a) $-0.9,-0.09,-0.819,-0.1629,-0.75339$ (b) Plot omitted

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 19번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

13.APEX · 8.2절 · 14번우리말 번역

연습문제 7–14에서 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어져 있다.

(a) 이 급수의 처음 5개의 부분합을 구하세요. (b) $a_n$ 의 처음 5개 항과 $S_n$ 을 같은 좌표축 위에 그래프로 그리세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{10}\right)^n$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ is given.

(a) Give the first 5 partial sums of the series. (b) Give a graph of the first 5 terms of $a_n$ and $S_n$ on the same axes.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{10}\right)^n$

정답·풀이 보기

(a) $0.1,0.11,0.111,0.1111,0.11111$ (b) 그래프는 생략

원본 교재 풀이(영어)

(a) $0.1,0.11,0.111,0.1111,0.11111$ (b) Plot omitted

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석자동 분류

14.CLP-2 · 3.1절 · 1번우리말 번역

수열이 그림에 나타난 대로 계속된다고 가정하고, 각 수열의 그래프로부터 수열의 극한을 어림하세요.

영어 원문 보기

Assuming the sequences continue as shown, estimate the limit of each sequence from its graph.

정답·풀이 보기

(a) 수열의 값이 -2에 점점 더 가까워지는 것으로 보이므로, 이 수열의 극한을 -2로 추측한다.

(b) 전체적으로 수열의 값이 0에 매우 가까워지는 것으로 보이므로, 이 수열의 극한을 0으로 어림한다. 수열의 부호가 바뀌거나, 값이 0에서 때로는 더 멀어지고 때로는 더 가까워지는 것은 상관없다.

(c) 이 극한은 존재하지 않는다. 수열이 어떤 때는 0이고 어떤 때는 -2이며, 어느 한 값에 일관되게 매우 가까이 머물지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The values of the sequence seem to be getting closer and closer to -2, so we guess the limit of this sequence is -2.

(b) Overall, the values of the sequence seem to be getting extremely close to 0, so we approximate the limit of this sequence as 0. It doesn't matter that the sequence changes signs, or that the numbers are sometimes farther from 0, sometimes closer.

(c) This limit does not exist. The sequence is sometimes 0, sometimes -2, and not consistently staying extremely near to either one.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 2번

# 수열의 수렴과 발산그래프·표 해석기본자동 분류

15.CLP-2 · 3.1절 · 26번우리말 번역

$\{A_n\}_{n=3}^\infty$ 을 변이 $n$ 개인 정다각형의 넓이라 하자. 다각형의 무게중심에서 각 꼭짓점까지의 거리는 1이다.

(a) 다각형을 $n$ 개의 삼각형으로 나누어 $A_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) $\lim\limits_{n \to \infty} A_n$ 은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $\{A_n\}_{n=3}^\infty$ be the area of a regular polygon with $n$ sides, with the distance from the centroid of the polygon to each corner equal to 1.

(a) By dividing the polygon into $n$ triangles, give a formula for $A_n$ . (b) What is $\lim\limits_{n \to \infty} A_n$ ?

정답·풀이 보기

(a) 넓이 $A_n$ 을 구하기 위해, 변이 $n$ 개인 도형을 $n$ 개의 이등변삼각형으로 나눌 수 있음에 주목한다. 각 삼각형은 길이가 1인 두 변과 그 사이의 각 $\frac{2\pi}{n}$ 를 가진다.

이 삼각형 하나의 넓이는 각각 $\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 이다.

모두 합하면 $n$ 각형의 넓이는 $A_n = \displaystyle\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 이다.

(b) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$ 은 $\infty \times 0$ 꼴의 부정형이며, 이를 구하는 두 가지 방법을 살펴본다.

먼저, $n \to \infty$ 일 때 도형은 점점 반지름이 1인 원에 가까워진다. 따라서 $A_n$ 은 반지름이 1인 원의 넓이에 가까워진다. 즉 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n = \pi$ 이다.

다른 방법으로, 극한 $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 을 이용할 수 있다. $x=\frac{2\pi}{n}$ 라 하자. $n \to \infty$ 이면 $x \to 0$ 임에 주목한다.

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}A_n&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{\frac{2\pi}{n}}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\ &=\lim_{x \to 0}\pi\frac{\sin x}{x} =\pi\times 1=\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) To find the area $A_n$ , note that the figure with $n$ sides can be divided up into $n$ isosceles triangles, each with two sides of length 1 and angle between them of $\frac{2\pi}{n}$ :

Each of these triangles has area $\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ :

All together, the area of the $n$ -sided figure is $A_n = \displaystyle\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ .

(b) We will discuss two ways to find $\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$ , which has the indeterminate form $\infty \times 0$ .

First, note that as $n \to \infty$ , our figures look more and more like a circle of radius 1. So, we see $A_n$ is approaching the area of a circle of radius 1. That is, $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n = \pi$ .

Alternately, we can make use of the limit $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ . Let $x=\frac{2\pi}{n}$ . Note if $n \to \infty$ , then $x \to 0$ .

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}A_n&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{\frac{2\pi}{n}}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\ &=\lim_{x \to 0}\pi\frac{\sin x}{x} =\pi\times 1=\pi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 24번

# 수열의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류

16.CLP-2 · 3.1절 · 27번우리말 번역

상수 $x$ 에 따라 정해지는 수열 $\{f_n\}$ 을 다음과 같이 정의한다고 하자. $f_n(x) = \begin{cases} 1 & n \leq x < n+1\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$ 고정된 상수 $x \ge 1$ 에 대해 $\{f_n\}$ 은 수열 $\{0,0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0,0,0,\ldots\}$ 이다. 0이 아닌 유일한 항은 $k$ 번째 자리에 있으며, 여기서 $k$ 는 $x$ 를 0 이상의 정수로 내림한 값이다. $x<1$ 이면 이 수열은 모든 항이 0이다.

$x$ 에 서로 다른 값을 대입할 수 있으므로, $f_n(x)$ 를 수열을 대응시키는 함수로 생각할 수 있다. 즉 $x$ 가 다르면 수열이 달라진다. 한편 $n$ 을 고정한다고 생각하면 $f_n(x)$ 는 그냥 함수이며, $f_n(x)$ 는 $x$ 에 대응하는 수열의 $n$ 번째 항이다.

(a) 곡선 $y=f_2(x)$ 의 그래프를 그리세요. (b) 곡선 $y=f_3(x)$ 의 그래프를 그리세요. (c) $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x$ 라고 정의하자. 수열 $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ 을 간단히 설명하세요. (d) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n$ 의 값을 구하세요. (e) 상수 $x$ 에 대해 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ 의 값을 구하고, 그 결과를 $g(x)$ 라고 하세요. (f) $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose we define a sequence $\{f_n\}$ , which depends on some constant $x$ , as the following: $f_n(x) = \begin{cases} 1 & n \leq x < n+1\\ 0 & \text{else} \end{cases}$ For a fixed constant $x \ge 1$ , $\{f_n\}$ is the sequence $\{0,0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0,0,0,\ldots\}$ . The sole nonzero element comes in position $k$ , where $k$ is what we get when we round $x$ down to a whole number. If $x<1$ , then the sequence consists of all zeroes.

Since we can plug in different values of $x$ , we can think of $f_n(x)$ as a function of sequences: a different $x$ gives you a different sequence. On the other hand, if we imagine fixing $n$ , then $f_n(x)$ is just a function, where $f_n(x)$ gives the $n$ th term in the sequence corresponding to $x$ .

(a) Sketch the curve $y=f_2(x)$ . (b) Sketch the curve $y=f_3(x)$ . (c) Define $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x$ . Give a simple description of the sequence $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ . (d) Evaluate $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n$ . (e) Evaluate $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ for a constant $x$ , and call the result $g(x)$ . (f) Evaluate $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

(a) $f_2(x) = \begin{cases} 1 & 2 \leq x < 3\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

(b) $f_3(x) = \begin{cases} 1 & 3 \leq x < 4\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

(c) 모든 $n$ 에 대해 길이가 1인 구간에서 $f_n(x)=1$ 이고, 그 밖의 모든 $x$ 에서 $f_n(x)=0$ 이다. 따라서 곡선 아래의 넓이는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 넓이이다.

그러면 모든 $n$ 에 대해 $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x=1$ 이다. 즉 수열 $\{A_n\}$ 은 $\{1,1,\ldots,1\}$ , 곧 모든 항이 1인 수열이다. (d) 위의 설명에 따라 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=1$ 이다. (e) 고정된 $x$ 에 대해 $\{f_n(x)\} = \{0,\ldots,0,1,0,\ldots 0,0,0,0,0,\ldots\}$ 임을 떠올리자. 특히 이 수열의 끝에는 0이 무한히 많이 있다. 따라서 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)=0$ 이다. 그러면 모든 $x$ 에 대해 $g(x)=0$ 이다. (f) 위의 설명에 따라 $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{\infty}0\,\mathrm{d}x=0$ 이다.

참고: 지금까지 보인 것은, 이 특정한 $f_n(x)$ 에 대해 $\lim_{n \to \infty}\int_0^{\infty}f_n(x)\,\mathrm{d}x \neq \int_0^{\infty}\lim_{n \to \infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x$ 라는 사실이다. 즉 극한과 적분의 순서를 항상 바꿀 수 있는 것은 아니다(이 경우 적분은 이상적분이므로 적분 자체가 또 하나의 극한이다). 이 둘의 순서를 바꿀 수 있는 조건이 궁금한 독자는 “균등수렴”을 찾아보기 바란다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $f_2(x) = \begin{cases} 1 & 2 \leq x < 3\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

(b) $f_3(x) = \begin{cases} 1 & 3 \leq x < 4\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

(c) For any $n$ , $f_n(x)=1$ for an interval of length 1, and $f_n(x)=0$ for all other $x$ . So, the area under the curve is a square of side length one.

Then $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x=1$ for all $n$ . That is, the sequence $\{A_n\}$ is simply $\{1,1,\ldots,1\}$ , a sequence of all 1s. (d) Given the description above, $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=1$ . (e) For any fixed $x$ , recall $\{f_n(x)\} = \{0,\ldots,0,1,0,\ldots 0,0,0,0,0,\ldots\}$ . In particular, there are infinitely many zeroes at its end. So, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)=0$ . Then $g(x)=0$ for every $x$ . (f) Given the description above, $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{\infty}0\,\mathrm{d}x=0$ .

Remark: what we've shown here is that, for this particular $f_n(x)$ , $\lim_{n \to \infty}\int_0^{\infty}f_n(x)\,\mathrm{d}x \neq \int_0^{\infty}\lim_{n \to \infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x$ That is, we can't necessarily swap a limit with an integral (which is, in this case, another limit, since the integral is improper). The interested reader can look up “uniform convergence" to learn about the conditions under which these can be swapped.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 26번

# 수열의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류

17.CLP-2 · 3.2절 · 29번우리말 번역

무한히 긴 평평한 절벽에 질량을 무시할 수 있는 가는 철사에 매달린 돌들이 있다. 위치 $x=1$ 에서 시작하여, 1미터마다(위치 $x$ 에서, 여기서 $x$ 는 0 이상의 정수) 돌의 질량은 $\dfrac{1}{4^x}$ kg 이고 절벽 꼭대기에서 $2^x$ 미터 아래에 매달려 있다.

영어 원문 보기

An infinitely long, flat cliff has stones hanging off it, attached to thin wire of negligible mass. Starting at position $x=1$ , every metre (at position $x$ , where $x$ is some whole number) the stone has mass $\dfrac{1}{4^x}$ kg and is hanging $2^x$ metres below the top of the cliff.

답 쓰고 채점

J

정답·풀이 보기

위치 $x$ 에 있는 돌의 질량은 $\dfrac{1}{4^x}$ kg 이고 이 돌을 $2^x$ 미터만큼 끌어올려야 하므로, 돌 하나를 옮기는 데 필요한 일은 $\left(\frac{1}{4^x}\text{ kg}\right)\left(2^x\text{ m}\right)\left(9.8 ~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{9.8}{2^x}\text{ J}$ 이다. 따라서 모든 돌을 옮기는 데 필요한 일은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{x=1}^{\infty}\frac{9.8}{2^x}& =\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2^{x+1}}\\ &=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{2^{x}} =\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac12}=9.8 \text{ J} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The stone at position $x$ has mass $\dfrac{1}{4^x}$ kg, and we have to pull it a distance of $2^x$ metres, so the work involved in moving that one stone is $\left(\frac{1}{4^x}\text{ kg}\right)\left(2^x\text{ m}\right)\left(9.8 ~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{9.8}{2^x}\text{ J}$ Therefore, the work to move all the stones is:

$\begin{aligned} \sum_{x=1}^{\infty}\frac{9.8}{2^x}& =\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2^{x+1}}\\ &=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{2^{x}} =\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac12}=9.8 \text{ J} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 69번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류

18.CLP-2 · 3.2절 · 33번우리말 번역

다음 방법으로 과녁을 만드세요.

넓이가 1인 빨간 원에서 시작하여, 반지름을 3등분해서 두 개의 고리와 하나의 원을 만든다. 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

안쪽 원에 대해서도 같은 방식을 계속한다. 그 반지름을 3등분하고, 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

이와 같이 끝없이 계속한다. 가장 안쪽 원의 반지름을 3등분하여 두 개의 고리와 또 하나의 원을 만들고, 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

빨간색 부분의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Create a bullseye using the following method:

Starting with a red circle of area 1, divide the radius into thirds, creating two rings and a circle. Colour the middle ring blue.

Continue the pattern with the inside circle: divide its radius into thirds, and colour the middle ring blue.

Continue in this way indefinitely: dividing the radius of the innermost circle into thirds, creating two rings and another circle, and colouring the middle ring blue.

What is the area of the red portion?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

반지름이 $R$ 인 원을 생각하자. 이 원에는 $\frac{R}{3}$ 에서 $\frac{2R}{3}$ 까지의 “안쪽 고리"와 $\frac{2R}{3}$ 에서 $R$ 까지의 “바깥쪽 고리"가 있다.

바깥쪽 고리의 넓이는 다음과 같다. $\pi R^2 - \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\pi R^2$

안쪽 고리의 넓이는 다음과 같다. $\pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 - \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{3}{9}\pi R^2$

따라서 바깥쪽 고리의 넓이에 대한 안쪽 고리의 넓이의 비는 $\frac{3}{5}$ 이다.

과녁 그림에서 빨간 고리와 그 바로 안쪽에 있는 파란 고리를 짝지으면, 파란 고리의 넓이는 빨간 고리 넓이의 $\frac{3}{5}$ 이다. 그러므로 과녁의 파란색 부분의 넓이는 빨간색 부분 넓이의 $\frac{3}{5}$ 이다.

원의 넓이가 1이므로, 빨간색 부분의 넓이를 $A$ 라 하면 $1=A+\frac{3}{5}A=\frac{8}{5}A$ 이다.

따라서 빨간색 부분의 넓이는 $\frac{5}{8}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We consider a circle of radius $R$ , with an “inner ring" from $\frac{R}{3}$ to $\frac{2R}{3}$ and an “outer ring" from $\frac{2R}{3}$ to $R$ .

The area of the outer ring is: $\pi R^2 - \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\pi R^2$

The area of the inner ring is: $\pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 - \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{3}{9}\pi R^2$

So, the ratio of the inner ring's area to the outer ring's area is $\frac{3}{5}$ .

In our bullseye diagram, if we pair up any red ring with the blue ring just inside it, the blue ring has $\frac{3}{5}$ the area of the red ring. So, the blue portion of the bullseye has $\frac{3}{5}$ the area of the red portion.

Since the circle has area 1, if we let the red portion have area $A$ , then $1=A+\frac{3}{5}A=\frac{8}{5}A$

So, the red portion has area $\frac{5}{8}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 27번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류

수열의 극한 전체 문제