비교 판정법 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.CLP-2 · 3.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

어떤 기준이 있어서, 그 기준을 넘으면 나이가 많다고 하고, 그 기준에 못 미치면 젊다고 한다고 가정하세요.

올라프는 나이가 많은 사람이고, 위안은 젊은 사람이라고 하세요.

(a) 내가 올라프보다 나이가 많다고 가정하세요. 나는 나이가 많은가요? (b) 내가 올라프보다 나이가 적다고 가정하세요. 나는 나이가 많은가요? (c) 내가 위안보다 나이가 많다고 가정하세요. 나는 젊은가요? (d) 내가 위안보다 나이가 적다고 가정하세요. 나는 젊은가요?

영어 원문 보기

Suppose there is some threshold after which a person is considered old, and before which they are young.

Let Olaf be an old person, and let Yuan be a young person.

(a) Suppose I am older than Olaf. Am I old? (b) Suppose I am younger than Olaf. Am I old? (c) Suppose I am older than Yuan. Am I young? (d) Suppose I am younger than Yuan. Am I young?

정답·풀이 보기

(a) 올라프가 나이가 많고 내가 그보다 더 나이가 많다면, 나도 나이가 많다.

(b) 올라프가 나이가 많고 내가 그보다 나이가 적다면, 나도 나이가 많을 수도 있고(조금 덜할 뿐이다), 젊을 수도 있다. 판단하기에 정보가 충분하지 않다.

(c) 위안이 젊고 내가 그보다 나이가 많다면, 내가 훨씬 나이가 많아서 나이가 많은 사람일 수도 있고, 조금만 나이가 많아서 젊은 사람일 수도 있다. 판단하기에 정보가 충분하지 않다.

(d) 위안이 젊고 내가 그보다 더 젊다면, 나도 반드시 젊다.

이를 생각하는 또 다른 방법은 생년월일을 나타낸 시간선을 이용하는 것이다. 기준 시점보다 먼저 태어난 사람은 나이가 많고, 그 이후에 태어난 사람은 젊다.

내가 올라프보다 먼저(더 나이가 많게) 태어났다면 기준 시점보다 먼저 태어난 것이므로 나이가 많다.

내가 위안보다 나중에(더 젊게) 태어났다면 기준 시점 이후에 태어난 것이므로 젊다.

내가 올라프보다 나중에 태어났거나 위안보다 먼저 태어났다면, 내가 기준 시점의 어느 쪽에 있는지 알 수 없다. 나이가 많을 수도 있고 젊을 수도 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If Olaf is old, and I am even older, then I am old as well.

(b) If Olaf is old, and I am not as old, then perhaps I am old as well (just slightly less so), or perhaps I am young. There is not enough information to tell.

(c) If Yuan is young, and I am older, then perhaps I am much older and I am old, or perhaps I am only a little older, and I am young. There is not enough information to tell.

(d) If Yuan is young, and I am even younger, then I must also be young.

Another way to think about this is with a timeline of birthdates. People born before the threshold are old, and people born after it are young.

If I'm born before (older than) Olaf, I'm born before the threshold, so I'm old.

If I'm born after (younger than) Yuan I'm born after the threshold, so I'm young.

If I'm born after Olaf or before Yuan, I don't know which side of the threshold I'm on. I could be old or I could be young.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 15번

# 비교 판정법계산기본자동 분류

2.CLP-2 · 3.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 추론을 타당하지 않게 만드는 결함은 무엇인가요?

문제: $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\sin(\pi n)+2\right)$ 이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

답: 적분 판정법을 사용한다. $f(x)=\sin(\pi x)+2$ 라 하자. $\sin(x)+2 \geq -1+2 =1$ 이므로 $f(x)$ 는 항상 양수임에 유의한다. 또한 $f(x)$ 는 연속이다.

$\begin{aligned} \int_1^\infty [\sin(\pi x)+2] dx &= \lim_{b \to \infty}\int_1^b [\sin(\pi x)+2 ]dx\\ &=\lim_{b \to \infty} \left[\left.-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)+2x \right|_1^b\right]\\ &=\lim_{b \to \infty}\left[ -\frac{1}{\pi}\cos(\pi b)+2b +\frac{1}{\pi}(-1)-2\right]\\ &=\infty \end{aligned}$

적분 판정법에 의해 적분이 발산하므로 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left( \sin(\pi n)+2\right)$ 도 발산한다.

영어 원문 보기

What flaw renders the following reasoning invalid?

Q: Determine whether $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\sin(\pi n)+2\right)$ converges or diverges.

A: We use the integral test. Let $f(x)=\sin(\pi x)+2$ . Note $f(x)$ is always positive, since $\sin(x)+2 \geq -1+2 =1$ . Also, $f(x)$ is continuous.

$\begin{aligned} \int_1^\infty [\sin(\pi x)+2] dx &= \lim_{b \to \infty}\int_1^b [\sin(\pi x)+2 ]dx\\ &=\lim_{b \to \infty} \left[\left.-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)+2x \right|_1^b\right]\\ &=\lim_{b \to \infty}\left[ -\frac{1}{\pi}\cos(\pi b)+2b +\frac{1}{\pi}(-1)-2\right]\\ &=\infty \end{aligned}$

By the integral test, since the integral diverges, also $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left( \sin(\pi n)+2\right)$ diverges.

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 감소하지 않으므로 적분 판정법을 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

The integral test does not apply because $f(x)$ is not decreasing.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 21번

# 비교 판정법계산기본자동 분류

3.CLP-2 · 3.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

비판정법으로 판정할 수 없는, 수렴하는 급수의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a convergent series for which the ratio test is inconclusive.

정답·풀이 보기

가능한 답 중 하나: $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$ . 이 급수는 수렴한다( $p=2>1$ 인 $p$ –급수이다). 그러나 이웃하는 항의 비를 구하면 다음과 같다. $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1$ 비의 극한이 1이므로 비판정법으로는 판정할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

One possible answer: $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$ . This series converges (it's a $p$ –series with $p=2>1$ ), but if we take the ratio of consecutive terms: $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1$ The limit of the ratio is 1, so the ratio test is inconclusive.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 12번

# 비교 판정법계산기본자동 분류

4.CLP-2 · 3.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

시험을 보고 있는데 비판정법에서 부등식이 정확히 어떻게 되는지 순간적으로 잊어버렸다고 상상해 보세요. 비가 있다는 것은 기억하지만 어느 항이 분자에 오는지는 기억나지 않습니다. 극한이 1보다 크거나 작다는 내용이 있었다는 것은 기억하지만 어느 쪽이 수렴을 뜻하는지는 기억나지 않습니다.

$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1$ 또는 이와 동치인 $\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|<1$ 이 합 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 (수렴하는 것이 아니라) 발산함을 뜻해야 하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Imagine you're taking an exam, and you momentarily forget exactly how the inequality in the ratio test works. You remember there's a ratio, but you don't remember which term goes on top; you remember there's something about the limit being greater than or less than one, but you don't remember which way implies convergence.

Explain why $\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1$ or, equivalently, $\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|<1$ should mean that the sum $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ diverges (rather than converging).

정답·풀이 보기

발산판정법에 의해 급수 $\sum a_n$ 이 수렴하려면 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0$ 이어야 한다. 즉, 항의 크기(절댓값)가 점점 작아져야 한다. $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|<1$ 또는 (이와 동치로) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1$ 이면, 충분히 큰 $n$ 에 대해 $|a_{n+1}|>|a_n|$ 이므로 항의 크기가 실제로는 커지고 있다. 따라서 발산판정법에 의해 이 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

By the divergence test, for a series $\sum a_n$ to converge, we need $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0$ . That is, the magnitude (absolute value) of the terms needs to be getting smaller. If $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|<1$ or (equivalently) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1$ , then $|a_{n+1}|>|a_n|$ for sufficiently large $n$ , so the terms are actually growing in magnitude. That means the series diverges, by the divergence test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 13번

# 비교 판정법계산기본자동 분류

5.CLP-2 · 3.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=a}^\infty a_n$ 과, 0 이상의 모든 정수 $n$ 에 대해 $f(n)=a_n$ 인 함수 $f(x)$ 가 있어서 다음을 만족시키는 예를 하나 드세요.

$\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 발산하고,
$\displaystyle\sum_{n=a}^\infty a_n$ 은 수렴한다.

영어 원문 보기

Give an example of a series $\displaystyle\sum_{n=a}^\infty a_n$ , with a function $f(x)$ such that $f(n)=a_n$ for all whole numbers $n$ , such that:

$\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x$ diverges, while
$\displaystyle\sum_{n=a}^\infty a_n$ converges.

정답·풀이 보기

급수의 항은 적분의 정의역 중 작은 일부분만 반영한다. $x$ 가 0 이상의 정수일 때는 “좋게” 행동하지만(즉, 합이 수렴하는 수열을 만들지만), $x$ 가 0 이상의 정수가 아닐 때는 더 제멋대로인 함수 $f(x)$ 를 생각해 볼 수 있다.

예를 들어 $f(x)=\sin(\pi x)$ 라 하자. 그러면 모든 정수 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ 이지만, 이것이 함수 전체를 대표하지는 않는다. 실제로 이에 대응하는 급수의 항은 $\{a_n\}=\{0,0,0,\ldots\}$ 이다.

$\displaystyle\int_{1}^\infty \sin(\pi x)\,\mathrm{d}x = \lim_{R \to \infty} \left[-\frac{1}{\pi}\cos (\pi x)\right]_1^R = \lim_{R \to \infty}\Big[-\cos (\pi R)\Big]-\frac{1}{\pi}$

극한이 존재하지 않으므로 이 적분은 발산한다.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin(\pi n) = \sum_{n=1}^\infty 0 = 0$ 이다. 이 급수는 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

The terms of the series only see a small portion of the domain of the integral. We can try to think of a function $f(x)$ that behaves “nicely" when $x$ is a whole number (that is, it produces a sequence whose sum converges), but is more unruly when $x$ is not a whole number.

For example, suppose $f(x)=\sin(\pi x)$ . Then $f(x)=0$ for every integer $x$ , but this is not representative of the function as a whole. Indeed, our corresponding series has terms $\{a_n\}=\{0,0,0,\ldots\}$ .

$\displaystyle\int_{1}^\infty \sin(\pi x)\,\mathrm{d}x = \lim_{R \to \infty} \left[-\frac{1}{\pi}\cos (\pi x)\right]_1^R = \lim_{R \to \infty}\Big[-\cos (\pi R)\Big]-\frac{1}{\pi}$

Since the limit does not exist, the integral diverges.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin(\pi n) = \sum_{n=1}^\infty 0 = 0$ . The series converges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 3번

# 비교 판정법계산기본자동 분류

6.CLP-2 · 3.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하고, 참이면 간단히 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 은 수렴한다. (b) $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ 은 수렴한다. (c) $0\le a_n \le b_n$ 이고 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ 이 발산하면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 도 발산한다.

영어 원문 보기

Decide whether each of the following statements is true or false. If false, provide a counterexample. If true provide a brief justification.

(a) If $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ , then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ converges. (b) If $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ , then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ converges. (c) If $0\le a_n \le b_n$ and $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ diverges, then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ diverges.

정답·풀이 보기

(a) 일반적으로 거짓이다. 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 은 $p=1$ 인 $p$ -급수 판정법에 의해 발산한다.

(b) 주의해야 한다. $a_n$ 이 양수라는 조건은 주어지지 않았다. 따라서 이 명제는 일반적으로 거짓이다. $a_n =(-1)^n\frac{1}{n}$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ 은 다시 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 이 되고, 이 급수는 발산한다.

(c) 일반적으로 거짓이다. 예를 들어 $a_n=0$ , $b_n=1$ 로 놓으면 된다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In general false. The harmonic series $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ diverges by the $p$ –test with $p=1$ .

(b) Be careful. You were not told that the $a_n$ 's are positive. So this is false in general. If $a_n =(-1)^n\frac{1}{n}$ , then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ is again the harmonic series $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ , which diverges.

(c) In general false. Take, for example, $a_n=0$ and $b_n=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 16번

# 비교 판정법개념 확인기본자동 분류