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원기둥좌표와 구면좌표

직교·원기둥·구면 좌표 사이를 바꾸고 곡면을 나타낸다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 2.7절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 방정식 (x2+y2+z2+R2−r2)2=4R2(x2+y2){({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+{R}^{2}-{r}^{2})}^{2}=4{R}^{2}({x}^{2}+{y}^{2}) 으로 나타내어지는 토러스를 생각하세요. 단, R≥r>0.R\ge r>0.

a. 이 토러스의 방정식을 구면좌표로 나타내세요. b. R=rR=r 이면 이 곡면을 뿔 토러스라고 한다. 뿔 토러스의 구면좌표 방정식이 ρ=2R sin⁡ φ\rho =2R\,\sin \,\varphi 임을 보이세요. c. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 R=r=2R=r=2 인 뿔 토러스를 구면좌표로 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Consider the torus of equation (x2+y2+z2+R2−r2)2=4R2(x2+y2),{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+{R}^{2}-{r}^{2})}^{2}=4{R}^{2}({x}^{2}+{y}^{2}), where R≥r>0.R\ge r>0.

a. Write the equation of the torus in spherical coordinates. b. If R=r,R=r, the surface is called a horn torus. Show that the equation of a horn torus in spherical coordinates is ρ=2R sin⁡ φ.\rho =2R\,\sin \,\varphi . c. Use a CAS to graph the horn torus with R=r=2R=r=2 in spherical coordinates.

정답·풀이 보기

a. ρ2=0,{\rho }^{2}=0, ρ+R2−r2−2R sin⁡ φ=0;\rho +{R}^{2}-{r}^{2}-2R\,\sin \,\varphi =0;

c.

이 그림은 토러스이다. 토러스는 상자 안에 있다. 상자의 모서리는 x축, y축, z축을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

a. ρ2=0,{\rho }^{2}=0, ρ+R2−r2−2R sin⁡ φ=0;\rho +{R}^{2}-{r}^{2}-2R\,\sin \,\varphi =0;

c.

This figure is a torus. It is inside of a box. The edges of the box represent the x, y, and z axes.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.7절 · 13번
# 원기둥좌표와 구면좌표증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 3권 · 2.7절 · 60번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 구면좌표계에서 방정식이 ρ=a+b cos⁡(mθ)sin⁡(nφ)\rho =a+b\,\cos (m\theta )\sin (n\varphi ) 인 “울퉁불퉁한 구”는 (단, θ∈[0,2π]\theta \in [0,2\pi ] 이고 φ∈[0,π]\varphi \in [0,\pi ] 이며 aa 와 bb 는 양수이고 mm 과 nn 은 양의 정수이다) 응용수학에서 종양의 성장을 모델링하는 데 사용될 수 있다.

a. “울퉁불퉁한 구”가 방정식 ρ=a+b\rho =a+b 인 구의 내부에 포함됨을 보이세요. 두 곡면이 만나는 점에서의 θ\theta 와 φ\varphi 의 값을 구하세요. b. CAS를 사용하여 a=14,a=14, b=2,b=2, m=4,m=4, n=6n=6 일 때의 곡면과 구 ρ=a+b\rho =a+b 의 그래프를 함께 그리세요. c. b의 곡면과 원뿔 φ=π12\varphi =\frac{\pi }{12} 의 교선의 방정식을 구하세요. 교선이 놓인 평면에서 그 교선의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] The “bumpy sphere” with an equation in spherical coordinates is ρ=a+b cos⁡(mθ)sin⁡(nφ),\rho =a+b\,\cos (m\theta )\sin (n\varphi ), with θ∈[0,2π]\theta \in [0,2\pi ] and φ∈[0,π],\varphi \in [0,\pi ], where aa and bb are positive numbers and mm and nn are positive integers, may be used in applied mathematics to model tumor growth.

a. Show that the “bumpy sphere” is contained inside a sphere of equation ρ=a+b.\rho =a+b. Find the values of θ\theta and φ\varphi at which the two surfaces intersect. b. Use a CAS to graph the surface for a=14,a=14, b=2,b=2, m=4,m=4, and n=6n=6 along with sphere ρ=a+b.\rho =a+b. c. Find an equation of the intersection curve of the surface at b. with the cone φ=π12.\varphi =\frac{\pi }{12}. Graph the intersection curve in the plane of intersection.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.7절 · 27번
# 원기둥좌표와 구면좌표증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)