문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

공간좌표

3차원 좌표, 두 점 사이 거리, 구의 방정식을 다룬다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

102문제 · 6 / 6쪽

101.CLP-3 · 1.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

$(3,-2,3)$ 으로부터의 거리가 $(3/2,1,0)$ 으로부터의 거리의 2배인 모든 점 $P$ 의 집합이 구임을 보이세요. 이 구의 중심과 반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

Show that the set of all points $P$ that are twice as far from $(3,-2,3)$ as from $(3/2,1,0)$ is a sphere. Find its centre and radius.

정답·풀이 보기

$(x,y,z)$ 를 $P$ 에 속하는 점이라 하자. $(x,y,z)$ 에서 $(3,-2,3)$ 까지의 거리와 $(3/2,1,0)$ 까지의 거리는 각각

$\sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}\quad\text{ 그리고 }\quad \sqrt{(x-3/2)^2+(y-1)^2+z^2}$

이다. $P$ 에 속하려면 $(x,y,z)$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} \sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}&=2\sqrt{(x-3/2)^2+(y-1)^2+z^2} \\ (x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2&=4(x-3/2)^2+4(y-1)^2+4z^2 \\ x^2-6x+9+y^2+4y+4+z^2-6z+9&=4x^2-12x+9+4y^2-8y+4+4z^2 \\ 3x^2-6 x+3y^2-12y+3z^2+6z-9&=0 \\ x^2-2 x+y^2-4y+z^2+2z-3&=0 \\ (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2&=9 \end{aligned}$

이것은 $(1,2,-1)$ 을 중심으로 하고 반지름이 3인 구이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $(x,y,z)$ be a point in $P$ . The distances from $(x,y,z)$ to $(3,-2,3)$ and to $(3/2,1,0)$ are

$\sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}\quad\text{ and }\quad \sqrt{(x-3/2)^2+(y-1)^2+z^2}$

respectively. To be in $P$ , $(x,y,z)$ must obey

This is a sphere of radius 3 centered on $(1,2,-1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.1절 · 4번

# 공간좌표증명·논술보통자동 분류

102.CLP-3 · 1.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

점 $(x,y)$ 에서의 압력 $p(x,y)$ 는 0 이상이며 방정식 $x^2-2px+y^2=3p^2$ 으로 정해진다. 등압선 몇 개를 그래프로 그리세요. 등압선은 어떤 상수 $c\ge 0$ 에 대하여 방정식 $p(x,y)=c$ 로 나타내어지는 곡선이다.

영어 원문 보기

The pressure $p(x,y)$ at the point $(x,y)$ is at least zero and is determined by the equation $x^2-2px+y^2=3p^2$ . Sketch several isobars. An isobar is a curve with equation $p(x,y)=c$ for some constant $c\ge 0$ .

정답·풀이 보기

고정된 각 $c\ge 0$ 에 대하여 등압선 $p(x,y)=c$ 는 곡선 $x^2-2cx+y^2=3c^2$ , 즉 $(x-c)^2+y^2=4c^2$ 이다. 이것은 중심이 $(c,0)$ 이고 반지름이 $2c$ 인 원이다. 다음은 $c=0,1,2,3$ 일 때의 등압선 $p(x,y)=c$ 를 그린 그래프이다.

원본 교재 풀이(영어)

For each fixed $c\ge 0$ , the isobar $p(x,y)=c$ is the curve $x^2-2cx+y^2=3c^2$ , or equivalently, $(x-c)^2+y^2=4c^2$ . This is a circle with centre $(c,0)$ and radius $2c$ . Here is a sketch of the isobars $p(x,y)=c$ with $c=0,1,2,3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.1절 · 6번

# 공간좌표그래프·표 해석도전자동 분류