공간좌표 연습문제 | 빌드라인 스쿨

61.OpenStax 3권 · 2.2절 · 61번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$ 를 시각 $t\in [0,T]$ 에서 입자의 위치벡터라 하자. 여기서 $x,y$ , 그리고 $z$ 는 $[0,T]$ 에서 매끄러운 함수이다. 시각 $t$ 에서 입자의 순간속도는 벡터 $\text{v}(t)=\langle x'(t),y'(t),z'(t)\rangle$ 로 정의되며, 이 벡터의 성분은 함수 x, y, z 를 각각 $t$ 에 대해 미분한 도함수이다. 순간속도 벡터의 크기 $\| \text{v}(t)\|$ 를 시각 t 에서 입자의 속력이라 한다. 벡터 $\text{a}(t)=\langle {x}^{''}(t),{y}^{''}(t),{z}^{''}(t)\rangle$ 는 성분이 함수 $x,y$ , 그리고 $z$ 를 각각 $t$ 에 대해 두 번 미분한 이계도함수이며, 시각 $t$ 에서 입자의 가속도를 나타낸다. 시각 $t\in [0,30]$ 에서 입자의 위치벡터를 $\text{r}(t)=\langle \cos \,t,\sin \,t,2t\rangle$ 라 하자. 여기서 $\text{r}$ 의 성분은 센티미터로, 시간은 초로 나타낸다.

a. 처음 1초 후 입자의 순간속도, 속력, 가속도를 구하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. b. CAS를 이용하여 입자의 경로, 즉 $t\in [0,30]$ 일 때 좌표가 $(\cos \,t,\sin \,t,2t)$ 인 모든 점의 집합을 시각화하세요.

영어 원문 보기

Let $\text{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$ be the position vector of a particle at the time $t\in [0,T],$ where $x,y,$ and $z$ are smooth functions on $[0,T].$ The instantaneous velocity of the particle at time $t$ is defined by vector $\text{v}(t)=\langle x'(t),y'(t),z'(t)\rangle ,$ with components that are the derivatives with respect to $t,$ of the functions x, y, and z, respectively. The magnitude $\| \text{v}(t)\|$ of the instantaneous velocity vector is called the speed of the particle at time t. Vector $\text{a}(t)=\langle {x}^{''}(t),{y}^{''}(t),{z}^{''}(t)\rangle ,$ with components that are the second derivatives with respect to $t,$ of the functions $x,y,$ and $z,$ respectively, gives the acceleration of the particle at time $t.$ Consider $\text{r}(t)=\langle \cos \,t,\sin \,t,2t\rangle$ the position vector of a particle at time $t\in [0,30],$ where the components of $\text{r}$ are expressed in centimeters and time is expressed in seconds.

a. Find the instantaneous velocity, speed, and acceleration of the particle after the first second. Round your answer to two decimal places. b. Use a CAS to visualize the path of the particle—that is, the set of all points of coordinates $(\cos \,t,\sin \,t,2t),$ where $t\in [0,30].$

정답·풀이 보기

a. $\text{v}(1)=\langle -0.84,0.54,2\rangle$ (각 성분의 단위는 센티미터/초); $\| \text{v}(1)\| =2.24$ (단위는 센티미터/초); $\text{a}(1)=\langle -0.54,-0.84,0\rangle$ (각 성분의 단위는 센티미터/초²);

b.

xy평면 위쪽의 3차원 좌표계를 나타낸 그림이다. 용수철 모양의 나선이 그려져 있다. 나선은 z축을 감싸며 돌아간다. 나선은 x축 위의 x = 1인 점에서 시작한다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\text{v}(1)=\langle -0.84,0.54,2\rangle$ (each component is expressed in centimeters per second); $\| \text{v}(1)\| =2.24$ (expressed in centimeters per second); $\text{a}(1)=\langle -0.54,-0.84,0\rangle$ (each component expressed in centimeters per second squared);

b.

This figure is of the 3-dimensional coordinate system above the xy-plane. It has a spiral drawn resembling a spring. The spiral is around the z-axis. The spiral starts on the x-axis at x = 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.2절 · 59번

# 공간좌표활용자동 분류

62.OpenStax 3권 · 2.2절 · 62번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $\text{r}(t)=\langle t,2{t}^{2},4{t}^{2}\rangle$ 을 시각 $t$ (단위: 초)에서 입자의 위치 벡터라고 하자. 여기서 $t\in [0,10]$ 이고 ( $\text{r}$ 의 성분은 센티미터 단위로 나타낸다).

a. 처음 2초 후 입자의 순간 속도, 속력, 가속도를 구하세요. 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. b. 컴퓨터 대수 시스템을 이용하여 점 $(t,2{t}^{2},4{t}^{2})$ 로 정의되는 입자의 경로를 시각화하세요. 여기서 $t\in [0,60].$

영어 원문 보기

[T] Let $\text{r}(t)=\langle t,2{t}^{2},4{t}^{2}\rangle$ be the position vector of a particle at time $t$ (in seconds), where $t\in [0,10]$ (here the components of $\text{r}$ are expressed in centimeters).

a. Find the instantaneous velocity, speed, and acceleration of the particle after the first two seconds. Round your answer to two decimal places. b. Use a CAS to visualize the path of the particle defined by the points $(t,2{t}^{2},4{t}^{2}),$ where $t\in [0,60].$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.2절 · 15번

# 공간좌표활용자동 분류

63.APEX · 10.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

공간에 그린 좌표축은 _____ _____ 법칙을 따라야 한다.

영어 원문 보기

Axes drawn in space must conform to the _____ _____ rule.

정답·풀이 보기

오른손

원본 교재 풀이(영어)

right hand

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.1절 · 9번

# 공간좌표개념 확인자동 분류

64.APEX · 10.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

평면에서 방정식 $x=2$ 는 _____ 을(를) 나타내고, 공간에서 $x=2$ 는 _____ 을(를) 나타낸다.

영어 원문 보기

In the plane, the equation $x=2$ defines a _____; in space, $x=2$ defines a _____.

정답·풀이 보기

직선; 평면

원본 교재 풀이(영어)

line; plane

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.1절 · 3번

# 공간좌표개념 확인자동 분류

65.APEX · 10.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

평면에서 방정식 $y=x^2$ 은 _____ 을(를) 나타내고, 공간에서 $y=x^2$ 은 _____ 을(를) 나타낸다.

영어 원문 보기

In the plane, the equation $y=x^2$ defines a _____; in space, $y=x^2$ defines a _____.

정답·풀이 보기

곡선(포물선); 곡면(기둥면)

원본 교재 풀이(영어)

curve (a parabola); surface (a cylinder)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.1절 · 4번

# 공간좌표개념 확인자동 분류

66.APEX · 10.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

프링글스® 칩처럼 생긴 이차곡면은 무엇인가요?

영어 원문 보기

Which quadric surface looks like a Pringles® chip?

정답·풀이 보기

쌍곡포물면

원본 교재 풀이(영어)

a hyperbolic paraboloid

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.1절 · 5번

# 공간좌표개념 확인자동 분류

67.APEX · 10.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

평면에서 쌍곡선 $x^2-y^2=1$ 을 생각하세요. 이 쌍곡선을 $x$ 축을 중심으로 회전시키면 어떤 이차곡면이 만들어지는지 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the hyperbola $x^2-y^2=1$ in the plane. If this hyperbola is rotated about the $x$ -axis, what quadric surface is formed?

정답·풀이 보기

이엽쌍곡면

원본 교재 풀이(영어)

a hyperboloid of two sheets

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.1절 · 6번

# 공간좌표개념 확인자동 분류

68.APEX · 10.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

평면에서 쌍곡선 $x^2-y^2=1$ 을 생각하세요. 이 쌍곡선을 $y$ 축을 중심으로 회전시키면 어떤 이차곡면이 만들어지는지 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the hyperbola $x^2-y^2=1$ in the plane. If this hyperbola is rotated about the $y$ -axis, what quadric surface is formed?

정답·풀이 보기

일엽쌍곡면

원본 교재 풀이(영어)

a hyperboloid of one sheet

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.1절 · 7번

# 공간좌표개념 확인자동 분류

69.APEX · 10.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

세 점 $A=(1,4,2)$ , $B=(2,6,3)$ , $C=(4,3,1)$ 은 공간에서 삼각형을 이룹니다. 각 두 점 사이의 거리를 구하고, 이 삼각형이 직각삼각형인지 판단하세요.

영어 원문 보기

The points $A=(1,4,2)$ , $B=(2,6,3)$ and $C=(4,3,1)$ form a triangle in space. Find the distances between each pair of points and determine if the triangle is a right triangle.

정답·풀이 보기

$\left\|\overline{AB}\right\| = \sqrt{6}$ ; $\left\|\overline{BC}\right\| = \sqrt{17}$ ; $\left\|\overline{AC}\right\| = \sqrt{11}$ . 예, $\left\|\overline{AB}\right\|^2+\left\|\overline{AC}\right\|^2=\left\|\overline{BC}\right\|^2$ 이므로 직각삼각형이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\overline{AB}\right\| = \sqrt{6}$ ; $\left\|\overline{BC}\right\| = \sqrt{17}$ ; $\left\|\overline{AC}\right\| = \sqrt{11}$ . Yes, it is a right triangle as $\left\|\overline{AB}\right\|^2+\left\|\overline{AC}\right\|^2=\left\|\overline{BC}\right\|^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.1절 · 10번

# 공간좌표계산자동 분류

70.APEX · 10.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

네 점 $A=(1,1,3)$ , $B=(3,2,7)$ , $C=(2,0,8)$ , $D = (0,-1,4)$ 는 공간에서 사각형 $ABCD$ 를 이룹니다. 이 사각형은 평행사변형인지 판단하세요.

영어 원문 보기

The points $A=(1,1,3)$ , $B=(3,2,7)$ , $C=(2,0,8)$ and $D = (0,-1,4)$ form a quadrilateral $ABCD$ in space. Is this a parallelogram?

정답·풀이 보기

예, 마주 보는 변의 길이가 같으므로 평행사변형이다. $\left\|\overline{AB}\right\| = \sqrt{21}=\left\|\overline{CD}\right\|$ ; $\left\|\overline{BC}\right\| = \sqrt{6}=\left\|\overline{AD}\right\|$ .

원본 교재 풀이(영어)

Yes, as opposite sides have equal length. $\left\|\overline{AB}\right\| = \sqrt{21}=\left\|\overline{CD}\right\|$ ; $\left\|\overline{BC}\right\| = \sqrt{6}=\left\|\overline{AD}\right\|$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.2절 · 39번

# 공간좌표계산자동 분류

71.APEX · 10.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음으로 정의되는 구의 중심과 반지름을 구하세요.

$x^2-8x+y^2+2y+z^2+8=0.$

영어 원문 보기

Find the center and radius of the sphere defined by

$x^2-8x+y^2+2y+z^2+8=0.$

정답·풀이 보기

중심: $(4,-1,0)$ ; 반지름 = 3

원본 교재 풀이(영어)

Center at $(4,-1,0)$ ; radius = 3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.1절 · 2번

# 공간좌표계산자동 분류

72.APEX · 10.1절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음으로 정의되는 구의 중심과 반지름을 구하세요.

$x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z+4=0.$

영어 원문 보기

Find the center and radius of the sphere defined by

$x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z+4=0.$

정답·풀이 보기

중심: $(-2,1,2)$ ; 반지름 = $\sqrt{5}$

원본 교재 풀이(영어)

Center at $(-2,1,2)$ ; radius = $\sqrt{5}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.1절 · 8번

# 공간좌표계산자동 분류

73.APEX · 10.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서, 부등식으로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$x^2+y^2+z^2<1$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, describe the region in space defined by the inequalities.

$x^2+y^2+z^2<1$

정답·풀이 보기

원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 구의 내부이다.

원본 교재 풀이(영어)

Interior of a sphere with radius 1 centered at the origin.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.2절 · 35번

# 공간좌표계산자동 분류

74.APEX · 10.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서, 부등식으로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$0\leq x\leq 3$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, describe the region in space defined by the inequalities.

$0\leq x\leq 3$

정답·풀이 보기

평면 $x=0$ ( $y-z$ 좌표평면)과 평면 $x=3$ 사이에 유계인 영역이다.

원본 교재 풀이(영어)

Region bounded between the planes $x=0$ (the $y-z$ coordinate plane) and $x=3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.1절 · 3번

# 공간좌표계산자동 분류

75.APEX · 10.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서, 부등식으로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$x\geq 0,\ y\geq0, \ z\geq0$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, describe the region in space defined by the inequalities.

$x\geq 0,\ y\geq0, \ z\geq0$

정답·풀이 보기

공간의 제1팔분공간이다. $x$ , $y$ , $z$ 가 각각 음이 아닌 모든 점 $(x,y,z)$ 의 집합이다. (평면의 제1사분면에 대응한다.)

원본 교재 풀이(영어)

The first octant of space; all points $(x,y,z)$ where each of $x$ , $y$ and $z$ are non-negative. (Analogous to the first quadrant in the plane.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.1절 · 7번

# 공간좌표계산자동 분류

76.APEX · 10.1절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서, 부등식으로 정의된 공간의 영역을 설명하세요.

$y\geq 3$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, describe the region in space defined by the inequalities.

$y\geq 3$

정답·풀이 보기

공간에서 $y$ 값이 3보다 큰 모든 점이다. 이 교재에서 흔히 나타내는 방식으로 공간을 바라보면, 이 영역은 평면 $y=3$ 의 “오른쪽”에 있는 영역이다(이 평면은 $x-z$ 좌표평면과 평행하다).

원본 교재 풀이(영어)

All points in space where the $y$ value is greater than 3; viewing space as often depicted in this text, this is the region “to the right” of the plane $y=3$ (which is parallel to the $x-z$ coordinate plane.)