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공통수학1 · 경우의 수 · 12강

조합

서로 다른 것 중 순서 없이 택하는 경우의 수

4:18 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 13.5절 연습문제 49 / 13.6절 연습문제 5 (Jay Abramson 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/algebra-and-trigonometry-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

서로 다른 nn개에서 순서를 생각하지 않고 rr개를 택하는 조합의 수: nCr=nPrr!=n!r!(n−r)!_n\mathrm{C}_r=\frac{_n\mathrm{P}_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!} (0≤r≤n)(0\le r\le n)

nCr=nCn−r_n\mathrm{C}_r={_n\mathrm{C}_{n-r}}, nCr=n−1Cr−1+n−1Cr_n\mathrm{C}_r={_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}}+{_{n-1}\mathrm{C}_r} (1≤r≤n−1)(1\le r\le n-1)

예: 남학생 55명, 여학생 44명 가운데 남학생 22명, 여학생 11명을 뽑는 방법은 5C2×4C1=10×4=40_5\mathrm{C}_2\times{_4\mathrm{C}_1}=10\times4=40가지

연습문제

원문 · OpenStax Algebra and Trigonometry (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.6절 · 31번우리말 풀이

(3x−2y)5(3x-2y)^{5} 을 전개하지 않고 네 번째 항을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the indicated term of each binomial without fully expanding the binomial.

The fourth term of (3x−2y)5{(3x-2y)}^{5}

답 쓰고 채점
풀이 보기

(a+b)n(a+b)^n 의 (k+1)(k+1) 번째 항은 (nk)an−kbk\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k} 예요. 네 번째 항이니까 k=3k=3 이에요.

  1. 1

    a, b, ka,\ b,\ k 를 정해요. (3x−2y)5=(3x+(−2y))5(3x-2y)^5=\big(3x+(-2y)\big)^5 에서 a=3x, b=−2y, n=5a=3x,\ b=-2y,\ n=5 이고, 네 번째 항이니 k=3k=3 이에요.

  2. 2

    공식에 넣어요. (53)(3x)2(−2y)3\binom{5}{3}(3x)^{2}(-2y)^{3}

  3. 3

    각각 계산해요. (53)=10, (3x)2=9x2, (−2y)3=−8y3\binom{5}{3}=10,\ (3x)^2=9x^2,\ (-2y)^3=-8y^3

  4. 4

    곱해요. 10⋅9⋅(−8) x2y3=−720x2y310\cdot 9\cdot(-8)\,x^{2}y^{3}=-720x^{2}y^{3}

답

−720x2y3-720x^{2}y^{3}

자주 하는 실수

네 번째 항인데 k=4k=4 로 잡는 실수가 흔해요. 첫째 항이 k=0k=0 이라서 kk 는 항 번호보다 11 작아요. −2y-2y 의 부호도 같이 세제곱해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

−720x2y3-720{x}^{2}{y}^{3}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 13장 복습 · 43번우리말 번역

이항계수 (238)\left(\begin{array}{c}23 \\ 8\end{array}\right) 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

490,314490,314

이 문제로 이어서 풀기
# 조합계산도전
2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.6절 · 5번우리말 번역

다음 문제에서 이항계수의 값을 구하세요.

(62)\left(\begin{array}{c}6 \\ 2\end{array}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the binomial coefficient.

(62)\left(\begin{array}{c}6 \\ 2\end{array}\right)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

15

원본 교재 풀이(영어)

15

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.6절 · 7번우리말 번역

다음 문제에서 이항계수의 값을 구하세요.

(74)\left(\begin{array}{c}7 \\ 4\end{array}\right)

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

35

이 문제로 이어서 풀기
# 조합계산자동 분류
3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.6절 · 25번우리말 번역

다음 문제에서 이항정리를 이용하여 각 이항식의 처음 세 항을 쓰세요.

(a−2b)15{(a-2b)}^{15}

영어 원문 보기

For the following exercises, use the Binomial Theorem to write the first three terms of each binomial.

(a−2b)15{(a-2b)}^{15}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

a15−30a14b+420a13b2{a}^{15}-30{a}^{14}b+420{a}^{13}{b}^{2}

원본 교재 풀이(영어)

a15−30a14b+420a13b2{a}^{15}-30{a}^{14}b+420{a}^{13}{b}^{2}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.6절 · 23번우리말 번역

다음 문제에서 이항정리를 이용하여 각 이항식의 처음 세 항을 쓰세요.

(a+b)17{(a+b)}^{17}

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

a17+17a16b+136a15b2{a}^{17}+17{a}^{16}b+136{a}^{15}{b}^{2}

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# 조합계산자동 분류
4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.6절 · 47번우리말 번역

 (x+b)40\,{(x+b)}^{40} 의 전개를 생각하세요. kk번째 항에서 bb 의 지수는 얼마입니까?

영어 원문 보기

Consider the expansion of  (x+b)40.\,{(x+b)}^{40}. What is the exponent of bb in the kthk\text{th} term?

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

k−1k-1

원본 교재 풀이(영어)

k−1k-1

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.6절 · 39번우리말 번역

다음 문제에서 이항식을 완전히 전개하지 않고 각 이항식의 지정된 항을 구하세요.

 (y2+2x)9\,{\left(\frac{y}{2}+\frac{2}{x}\right)}^{9} 의 여덟째 항

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

1152y2x7\frac{1152{y}^{2}}{{x}^{7}}

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# 조합계산자동 분류

「조합」 문제 더 풀기 (65문제)

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