공통수학1 · 다항식 · 2강

나머지정리와 인수정리

Name: 공통수학1 2강 나머지정리와 인수정리
Uploaded: 2026-10-27T02:12:07.689Z
Duration: 4 min 46 s
Description: 다항식의 나눗셈, 항등식, 나머지정리·인수정리, 조립제법

다항식의 나눗셈, 항등식, 나머지정리·인수정리, 조립제법

4:46 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Intermediate Algebra 2e, 5.4절 연습문제 36 (Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/intermediate-algebra-2e) / OpenStax, Precalculus 2e, 3.5절 연습문제 15 (Jay Abramson 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/precalculus-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

다항식 $A$ 를 $B$ 로 나눈 몫을 $Q$ , 나머지를 $R$ 라 하면 $A=BQ+R$ ( $R$ 의 차수 $<$ $B$ 의 차수)

$ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'$ 이 $x$ 에 대한 항등식이면 $a=a'$ , $b=b'$ , $c=c'$ 입니다(계수비교법). 아무 수나 대입해도 성립하는 성질을 쓰면 수치대입법입니다.

나머지정리: 다항식 $P(x)$ 를 $x-a$ 로 나눈 나머지는 $P(a)$ , $ax+b$ 로 나눈 나머지는 $P\!\left(-\frac{b}{a}\right)$ 입니다. 인수정리: $P(a)=0$ 이면 $P(x)$ 는 $x-a$ 로 나누어떨어지고, 몫은 조립제법으로 빠르게 구합니다.

연습문제

원문 · OpenStax Intermediate Algebra · OpenStax Precalculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Intermediate Algebra · 5.4절 · 36번우리말 풀이

조립제법을 이용하여 다항식 $3x^4-11x^3+2x^2+10x+6$ 을 $x-3$ 으로 나눈 몫과 나머지를 구하세요.

영어 원문 보기

Divide Polynomials using Synthetic Division

In the following exercises, use synthetic Division to find the quotient and remainder.

$3{x}^{4}-11{x}^{3}+2{x}^{2}+10x+6$ is divided by $x-3$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x-3$ 으로 나눌 때는 $3$ 을 놓고, 계수를 내려쓴 뒤 $3$ 을 곱해 다음 계수에 더하는 일을 반복해요.

1
계수를 적어요. $3,\ -11,\ 2,\ 10,\ 6$ 이고 나누는 수는 $3$ 이에요.
2
차례대로 계산해요. $3$ 을 내려쓰고, $3\times3=9$ 를 $-11$ 에 더해 $-2$ , $-2\times3=-6$ 을 $2$ 에 더해 $-4$ , $-4\times 3=-12$ 를 $10$ 에 더해 $-2$ , $-2\times3=-6$ 을 $6$ 에 더해 $0$ 이에요.
3
몫과 나머지를 읽어요. 마지막 $0$ 이 나머지이고, 앞의 $3,-2,-4,-2$ 가 몫의 계수예요. 차수가 하나 낮아지니까 몫은 $3x^3-2x^2-4x-2$ 예요.
4
확인해요. 나머지가 $0$ 이라 $x=3$ 을 처음 식에 넣어도 $243-297+18+30+6=0$ 이에요.

답

몫 $3x^3-2x^2-4x-2$ , 나머지 $0$

자주 하는 실수

조립제법에서 곱하는 수를 $-3$ 으로 쓰기 쉬워요. $x-a$ 로 나눌 때는 $a$ 를 그대로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$3{x}^{3}-2{x}^{2}-4x-2;\,0$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.5절 · 23번우리말 번역

다음 연습문제에서 유리근 정리를 이용하여 각 방정식의 실수인 해를 구하세요.

$2{x}^{3}+7{x}^{2}-10x-24=0$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$2, -4, -\frac{3}{2}$

이 문제로 이어서 풀기

# 나머지정리와 인수정리계산보통

2.OpenStax Precalculus · 3.5절 · 69번우리말 풀이

상자의 부피가 $10x^{3}+27x^{2}+2x-24$ , 길이가 $5x-4$ , 너비가 $2x+3$ 일 때, 높이를 $x$ 에 대한 식으로 나타내세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the given volume of a box and its length and width to express the height of the box algebraically.

Volume is $10{x}^{3}+27{x}^{2}+2x-24,$ length is $5x-4,$ width is $2x+3.$

답 쓰고 채점

풀이 보기

(부피) $=$ (길이) $\times$ (너비) $\times$ (높이)이므로 높이는 부피를 (길이)(너비)로 나눈 몫이에요.

1
나누는 식을 먼저 만들어요. 길이와 너비의 곱은 $(5x-4)(2x+3)=10x^{2}+15x-8x-12=10x^{2}+7x-12$ 예요.
2
긴 나눗셈을 시작해요. $10x^{3}\div 10x^{2}=x$ 이므로 몫의 첫 항은 $x$ 예요. $x(10x^2+7x-12)=10x^3+7x^2-12x$ 를 빼면 $20x^2+14x-24$ 가 남아요.
3
다음 항을 구해요. $20x^{2}\div 10x^{2}=2$ 이고 $2(10x^2+7x-12)=20x^2+14x-24$ 예요. 이것을 빼면 나머지가 $0$ 이에요.
4
높이를 쓰고 검산해요. 높이는 $x+2$ 예요. $(10x^2+7x-12)(x+2)=10x^3+20x^2+7x^2+14x-12x-24=10x^3+27x^2+2x-24$ 로 부피와 같아요.

답

높이 $=x+2$

자주 하는 실수

두 번 나누는 대신 $10x^3$ 을 $5x$ 로만 나누는 식으로 한 번만 나눠 버리는 실수가 있어요. 길이와 너비를 모두 나눠야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$x+2$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 5.4절 · 36번

조립제법을 이용하여 다항식 $3x^4-11x^3+2x^2+10x+6$ 을 $x-3$ 으로 나눈 몫과 나머지를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

몫 $3x^3-2x^2-4x-2$ , 나머지 $0$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 나머지정리와 인수정리활용도전

3.OpenStax Intermediate Algebra · 5.4절 · 14번우리말 번역

다항식을 단항식으로 나누기

다음 문제에서 각 다항식을 단항식으로 나누세요.

$\frac{72{r}^{5}{s}^{2}+132{r}^{4}{s}^{3}-96{r}^{3}{s}^{5}}{12{r}^{2}{s}^{2}}$

영어 원문 보기

Divide a Polynomial by a Monomial

In the following exercises, divide each polynomial by the monomial.

$\frac{72{r}^{5}{s}^{2}+132{r}^{4}{s}^{3}-96{r}^{3}{s}^{5}}{12{r}^{2}{s}^{2}}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$6{r}^{3}+11{r}^{2}s-8r{s}^{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$6{r}^{3}+11{r}^{2}s-8r{s}^{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 6.6절 · 6번우리말 번역

몫을 구하세요: $\frac{42{b}^{2}-18b}{-6}.$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$-7{b}^{2}+3b$

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# 나머지정리와 인수정리계산자동 분류

4.OpenStax Precalculus · 3.5절 · 15번우리말 번역

다음 문제에서 조립제법을 이용하여 몫을 구하세요.

$(2{x}^{3}-6{x}^{2}-7x+6)\div (x-4)$

영어 원문 보기

For the following exercises, use synthetic division to find the quotient.

$(2{x}^{3}-6{x}^{2}-7x+6)\div (x-4)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2{x}^{2}+2x+1+\frac{10}{x-4}$

원본 교재 풀이(영어)

$2{x}^{2}+2x+1+\frac{10}{x-4}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.4절 · 33번우리말 번역

다음 문제에서 조립제법을 이용하여 몫을 구하세요. 방정식이 조립제법에 필요한 꼴인지 확인하세요. (힌트: 피제수와 제수를 제수의 일차항의 계수로 나누세요.)

$({x}^{4}-8{x}^{3}+24{x}^{2}-32x+16)\div (x-2)$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

${x}^{3}-6{x}^{2}+12x-8$

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# 나머지정리와 인수정리계산자동 분류

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