빌드라인 스쿨

공통수학1 · 방정식과 부등식 · 4강

복소수

허수단위, 복소수의 사칙연산, 켤레복소수

4:58 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Intermediate Algebra 2e, 8.8절 연습문제 29 · 57 (Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/intermediate-algebra-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

i2=−1i^2=-1인 수 ii를 허수단위라 하고, a+bia+bi (aa, bb는 실수) 꼴의 수를 복소수라 합니다. b≠0b\neq0이면 허수입니다. aa, bb, cc, dd가 실수일 때 a+bi=c+di  ⟺  a=c, b=da+bi=c+di \iff a=c,\ b=d

ii를 문자처럼 계산하고 i2i^2은 −1-1로 바꿉니다: (2+i)(3−2i)=6−4i+3i−2i2=8−i(2+i)(3-2i)=6-4i+3i-2i^2=8-i

z=a+biz=a+bi의 켤레복소수는 zˉ=a−bi\bar{z}=a-bi입니다. 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱합니다: 11+i=1−i(1+i)(1−i)=1−i2\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2}. a>0a>0이면 −a=a i\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i

연습문제

원문 · OpenStax Intermediate Algebra · OpenStax Precalculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Intermediate Algebra · 8.8절 · 29번우리말 풀이

완전제곱 공식을 이용하여 다음을 계산하고 a+bia+bi 꼴로 나타내세요.

(3+4i)2(3+4i)^2

영어 원문 보기

In the following exercises, multiply using the Product of Binomial Squares Pattern.

(3+4i)2{(3+4i)}^{2}

풀이 보기

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 을 쓰고, i2=−1i^2=-1 로 바꿔서 정리해요.

  1. 1

    전개해요. (3+4i)2=32+2⋅3⋅4i+(4i)2=9+24i+16i2(3+4i)^2=3^2+2\cdot3\cdot4i+(4i)^2=9+24i+16i^2 예요.

  2. 2

    i2=−1i^2=-1 을 써요. 16i2=−1616i^2=-16 이에요.

  3. 3

    실수부와 허수부를 정리해요. 9−16+24i=−7+24i9-16+24i=-7+24i 예요.

답

−7+24i-7+24i

자주 하는 실수

(4i)2(4i)^2 을 +16+16 으로 쓰고 i2=−1i^2=-1 을 잊으면 25+24i25+24i 처럼 틀려요.

원본 교재 풀이(영어)

−7+24i-7+24i

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 8.8절 · 71번우리말 번역

−64=8i\sqrt{-64}=8i 이지만 −643=−4\sqrt[3]{-64}=-4 인 이유는 무엇인지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

답은 다양할 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기
# 복소수계산기본
2.OpenStax Precalculus · 3.1절 · 55번우리말 풀이

다음 식을 계산해서 a+bia+bi 꼴의 복소수로 간단히 나타내세요. (3+i)2(1+2i)2\dfrac{(3+i)^{2}}{(1+2i)^{2}}

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the expressions, writing the result as a simplified complex number.

(3+i)2(1+2i)2\frac{{(3+i)}^{2}}{{(1+2i)}^{2}}

풀이 보기

분자·분모를 각각 전개한 뒤, 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱해서 분모를 실수로 만들어요.

  1. 1

    분자를 전개해요. (3+i)2=9+6i+i2=9+6i−1=8+6i(3+i)^2=9+6i+i^2=9+6i-1=8+6i

  2. 2

    분모를 전개해요. (1+2i)2=1+4i+4i2=1+4i−4=−3+4i(1+2i)^2=1+4i+4i^2=1+4i-4=-3+4i

  3. 3

    분모의 켤레를 곱해요. −3+4i-3+4i 의 켤레는 −3−4i-3-4i 예요. 분모는 (−3)2+42=25(-3)^2+4^2=25 가 돼요. 분자는 (8+6i)(−3−4i)=−24−32i−18i−24i2=−24−50i+24=−50i(8+6i)(-3-4i)=-24-32i-18i-24i^2=-24-50i+24=-50i 예요.

  4. 4

    나눠서 정리해요. −50i25=−2i\dfrac{-50i}{25}=-2i

답

−2i-2i

자주 하는 실수

i2i^2 를 +1+1 로 계산하면 분자의 −24i2-24i^2 가 −24-24 로 남아서 실수 부분이 −48-48 이 돼 버려요. i2=−1i^2=-1 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

−2i-2i

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 8.8절 · 29번

완전제곱 공식을 이용하여 다음을 계산하고 a+bia+bi 꼴로 나타내세요.

(3+4i)2(3+4i)^2

다 풀었으면 정답 확인

−7+24i-7+24i

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 복소수계산보통
3.OpenStax Intermediate Algebra · 8.8절 · 57번우리말 번역

복소수의 나눗셈

다음 문제에서 나눗셈을 하세요.

1+4i3i\frac{1+4i}{3i}

영어 원문 보기

Divide Complex Numbers

In the following exercises, divide.

1+4i3i\frac{1+4i}{3i}

정답·풀이 보기

43−13i\frac{4}{3}-\frac{1}{3}i

원본 교재 풀이(영어)

43−13i\frac{4}{3}-\frac{1}{3}i

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 8.8절 · 67번우리말 번역

ii의 거듭제곱 간단히 하기

다음 문제에서 간단히 하세요.

i137{i}^{137}

다 풀었으면 정답 확인

i

이 문제로 이어서 풀기
# 복소수계산자동 분류
4.OpenStax Precalculus · 3.1절 · 17번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 연산을 하고, 결과를 간단히 한 복소수로 나타내세요.

(3+2i)+(5−3i)(3+2i)+(5-3i)

영어 원문 보기

For the following exercises, perform the indicated operation and express the result as a simplified complex number.

(3+2i)+(5−3i)(3+2i)+(5-3i)

정답·풀이 보기

8−i8-i

원본 교재 풀이(영어)

8−i8-i

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Precalculus · 3.1절 · 27번우리말 번역

다음 연습 문제에서 주어진 연산을 수행하고, 그 결과를 간단히 한 복소수로 나타내세요.

(−1+2i)(−2+3i)(-1+2i)(-2+3i)

다 풀었으면 정답 확인

−4−7i-4-7i

이 문제로 이어서 풀기
# 복소수계산자동 분류
OpenStax Precalculus 2e CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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