공통수학1 · 행렬 · 14강

행렬의 연산

Name: 공통수학1 14강 행렬의 연산
Uploaded: 2026-10-27T00:15:44.846Z
Duration: 4 min 28 s
Description: 행렬의 덧셈·뺄셈·실수배와 곱셈

행렬의 덧셈·뺄셈·실수배와 곱셈

4:28 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 11.5절 연습문제 19 / 11.5절 연습문제 13 (Jay Abramson 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/algebra-and-trigonometry-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

꼴이 같은 두 행렬의 덧셈·뺄셈은 대응하는 성분끼리 계산하고, 실수배 $kA$ 는 모든 성분에 $k$ 를 곱합니다.

곱 $AB$ 는 $A$ 의 열의 개수와 $B$ 의 행의 개수가 같을 때만 정의되고, $(i,j)$ 성분은 $A$ 의 제 $i$ 행과 $B$ 의 제 $j$ 열의 성분을 차례로 곱해 더한 값입니다. $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}$

일반적으로 $AB\neq BA$ 입니다(교환법칙이 성립하지 않음). 결합법칙 $(AB)C=A(BC)$ 와 분배법칙은 성립합니다.

연습문제

원문 · OpenStax Algebra and Trigonometry (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 11.5절 · 19번우리말 풀이

다음 두 행렬 $B,\ C$ 에 대해 곱 $BC$ 를 구하세요.

$B=\begin{pmatrix}3&6&4\\-8&0&12\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}4&10\\-2&6\\5&9\end{pmatrix}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the matrices below to perform matrix multiplication.

$A=\left[\begin{array}{cc}-1 & 5 \\ 3 & 2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}3 & 6 & 4 \\ -8 & 0 & 12\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}4 & 10 \\ -2 & 6 \\ 5 & 9\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}2 & -3 & 12 \\ 9 & 3 & 1 \\ 0 & 8 & -10\end{array}\right]$

$BC$

풀이 보기

곱의 $(i,j)$ 성분은 앞 행렬의 $i$ 행과 뒤 행렬의 $j$ 열을 같은 순서끼리 곱해서 더한 값이에요.

1
곱할 수 있는지, 크기가 어떻게 되는지 확인해요. $B$ 는 $2\times 3$ , $C$ 는 $3\times 2$ 이므로 곱할 수 있고, $BC$ 는 $2\times 2$ 행렬이에요.
2
1행을 계산해요.
- $(1,1)$ : $3\cdot 4+6\cdot(-2)+4\cdot 5=12-12+20=20$
- $(1,2)$ : $3\cdot 10+6\cdot 6+4\cdot 9=30+36+36=102$
3
2행을 계산해요.
- $(2,1)$ : $(-8)\cdot 4+0\cdot(-2)+12\cdot 5=-32+0+60=28$
- $(2,2)$ : $(-8)\cdot 10+0\cdot 6+12\cdot 9=-80+0+108=28$
4
결과를 적어요. $BC=\begin{pmatrix}20&102\\28&28\end{pmatrix}$

답

$BC=\begin{pmatrix}20&102\\28&28\end{pmatrix}$

자주 하는 실수

같은 위치끼리 곱해서( $3\cdot 4$ , $6\cdot 10$ ...) 행렬을 만들면 안 돼요. 행과 열을 짝지어 곱해서 더해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\left[\begin{array}{cc}20 & 102 \\ 28 & 28\end{array}\right]$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 4.6절 · 1번우리말 번역

간단히 하세요: $5(-2)-(-4)(1).$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$-6$

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# 행렬의 연산계산보통

2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 11.5절 · 57번우리말 풀이

행렬 $B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$ 에 대해 $B^{4}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the matrix below to perform the indicated operation on the given matrix.

$B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$

${B}^{4}$

풀이 보기

$B^4=(B^2)^2$ 로 바꿔서 $B^2$ 만 구하면 돼요. $B^2$ 가 단위행렬이면 이후는 바로 알 수 있어요.

1
$B^2$ 를 구해요. $B$ 의 행은 $r_1=(1,0,0),\ r_2=(0,0,1),\ r_3=(0,1,0)$ 이에요. $B\cdot B$ 의 각 행은 앞 행렬의 행을 뒤 행렬 $B$ 에 곱해서 얻어요.
2
각 행을 계산해요. $r_1B=(1,0,0)$ 이고, $r_2B$ 는 $B$ 의 셋째 행인 $(0,1,0)$ , $r_3B$ 는 $B$ 의 둘째 행인 $(0,0,1)$ 이에요. 그래서 $B^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I$ 예요.
3
$B^4$ 를 구해요. $B^{4}=(B^{2})^{2}=I\cdot I=I$ 예요.

답

$B^{4}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ (단위행렬)

자주 하는 실수

성분을 각각 네제곱해서 $B$ 와 같다고 쓰는 실수가 있어요. 행렬의 거듭제곱은 행렬곱을 반복하는 거예요. 참고로 $B$ 는 둘째·셋째 행을 맞바꾸는 행렬이라서 두 번 하면 원래로 돌아와요.

원본 교재 풀이(영어)

$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 11.5절 · 19번

다음 두 행렬 $B,\ C$ 에 대해 곱 $BC$ 를 구하세요.

$B=\begin{pmatrix}3&6&4\\-8&0&12\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}4&10\\-2&6\\5&9\end{pmatrix}$

다 풀었으면 정답 확인

$BC=\begin{pmatrix}20&102\\28&28\end{pmatrix}$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 행렬의 연산계산도전

3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 11.5절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 아래 행렬을 사용하여 스칼라 곱셈을 하세요.

$A=\left[\begin{array}{cc}4 & 6 \\ 13 & 12\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}3 & 9 \\ 21 & 12 \\ 0 & 64\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}16 & 3 & 7 & 18 \\ 90 & 5 & 3 & 29\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}18 & 12 & 13 \\ 8 & 14 & 6 \\ 7 & 4 & 21\end{array}\right]$

$3B$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the matrices below to perform scalar multiplication.

$A=\left[\begin{array}{cc}4 & 6 \\ 13 & 12\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}3 & 9 \\ 21 & 12 \\ 0 & 64\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}16 & 3 & 7 & 18 \\ 90 & 5 & 3 & 29\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}18 & 12 & 13 \\ 8 & 14 & 6 \\ 7 & 4 & 21\end{array}\right]$

$3B$

정답·풀이 보기

$\left[\begin{array}{cc}9 & 27 \\ 63 & 36 \\ 0 & 192\end{array}\right]$

원본 교재 풀이(영어)

$\left[\begin{array}{cc}9 & 27 \\ 63 & 36 \\ 0 & 192\end{array}\right]$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 4.6절 · 18번우리말 번역

크라메르 공식을 이용하여 연립방정식 풀기

다음 연습문제에서 크라메르 공식을 이용하여 각 연립방정식을 푸세요.

$\left\{\begin{array}{l}x-2y=-5 \\ 2x-3y=-4\end{array}\right.$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$(7,6)$

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# 행렬의 연산계산자동 분류

4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 11.5절 · 47번우리말 번역

다음 문제에서 아래의 행렬을 사용하여 주어진 연산이 가능하면 수행하세요. 가능하지 않으면 그 연산을 수행할 수 없는 이유를 설명하세요. (힌트: ${A}^{2}=A\cdot A$ )

$A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & 3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 3 & 4 \\ -1 & 1 & -5\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0.5 & 0.1 \\ 1 & 0.2 \\ -0.5 & 0.3\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -6 & 7 & 5 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right]$

${D}^{3}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the matrices below to perform the indicated operation if possible. If not possible, explain why the operation cannot be performed. (Hint: ${A}^{2}=A\cdot A$ )

$A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & 3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 3 & 4 \\ -1 & 1 & -5\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0.5 & 0.1 \\ 1 & 0.2 \\ -0.5 & 0.3\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -6 & 7 & 5 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right]$

${D}^{3}$

정답·풀이 보기

$\left[\begin{array}{ccc}1 & -18 & -9 \\ -198 & 505 & 369 \\ -72 & 126 & 91\end{array}\right]$

원본 교재 풀이(영어)

$\left[\begin{array}{ccc}1 & -18 & -9 \\ -198 & 505 & 369 \\ -72 & 126 & 91\end{array}\right]$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 11.5절 · 45번우리말 번역

다음 문제에서 아래의 행렬을 사용하여 주어진 연산이 가능하면 수행하세요. 가능하지 않으면 그 연산을 수행할 수 없는 이유를 설명하세요. (힌트: ${A}^{2}=A\cdot A$ )

$A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & 3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 3 & 4 \\ -1 & 1 & -5\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0.5 & 0.1 \\ 1 & 0.2 \\ -0.5 & 0.3\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -6 & 7 & 5 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right]$

${D}^{2}$

다 풀었으면 정답 확인

$\left[\begin{array}{ccc}-3 & -2 & -2 \\ -28 & 59 & 46 \\ -4 & 16 & 7\end{array}\right]$

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# 행렬의 연산계산자동 분류

「행렬의 연산」 문제 더 풀기 (209문제)

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