수열 전체 연습문제 (대수)

201.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 8번우리말 번역

수열 7, 14, 28, 56, 112, 224, … 의 제11항을 구하세요. 그런 다음 이 수열의 일반항을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the eleventh term of the sequence 7, 14, 28, 56, 112, 224, … Then find the general term for the sequence.

정답·풀이 보기

${a}_{11}=7,168$ . 일반항은 ${a}_{n}=7{(2)}^{n-1}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{11}=7,168.$ The general term is ${a}_{n}=7{(2)}^{n-1}.$

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# 등비수열계산자동 분류

202.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 5번우리말 번역

등비수열 7, 14, 28, 56, 112, 224, … 의 첫째항부터 제20항까지의 합을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the sum of the first 20 terms of the geometric sequence 7, 14, 28, 56, 112, 224, …

정답·풀이 보기

합을 구하기 위해 공식 ${S}_{n}=\frac{{a}_{1}(1-{r}^{n})}{1-r}$ 을 사용한다. ${a}_{1}=7,$ $r=2$ , 그리고 $n=20$ 임을 알고 있다.


${a}_{1}=7,r=2$ , 그리고 $n=20$ 임을 알았으므로 합의 공식을 사용한다.	$\quad {S}_{n}=\frac{{a}_{1}(1-{r}^{n})}{1-r}$
값을 대입한다.	$\quad {S}_{20}=\frac{7(1-{2}^{20})}{1-2}$
간단히 한다.	$\quad {S}_{20}=7,340,025$

원본 교재 풀이(영어)

To find the sum, we will use the formula ${S}_{n}=\frac{{a}_{1}(1-{r}^{n})}{1-r}.$ We know ${a}_{1}=7,$ $r=2,$ and $n=20.$


Knowing ${a}_{1}=7,r=2,$ and $n=20,$ use the sum formula.	$\quad {S}_{n}=\frac{{a}_{1}(1-{r}^{n})}{1-r}$
Substitute in the values.	$\quad {S}_{20}=\frac{7(1-{2}^{20})}{1-2}$
Simplify.	$\quad {S}_{20}=7,340,025$

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# 등비수열계산자동 분류

203.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 9번우리말 번역

등비수열 3, 6, 12, 24, 48, 96, … 의 첫째항부터 제20항까지의 합을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the sum of the first 20 terms of the geometric sequence 3, 6, 12, 24, 48, 96, …

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$3,145,725$

원본 교재 풀이(영어)

$3,145,725$

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# 등비수열계산자동 분류

204.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 10번우리말 번역

등비수열 6, 18, 54, 162, 486, 1,458, … 의 첫째항부터 제20항까지의 합을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the sum of the first 20 terms of the geometric sequence 6, 18, 54, 162, 486, 1,458, …

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$10,460,353,200$

원본 교재 풀이(영어)

$10,460,353,200$

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# 등비수열계산자동 분류

205.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 6번우리말 번역

합을 구하세요: $\sum_{i=1}^{15}2{(3)}^{i}.$

영어 원문 보기

Find the sum: $\sum_{i=1}^{15}2{(3)}^{i}.$

정답·풀이 보기

합을 구하기 위해 공식 ${S}_{n}=\frac{{a}_{1}(1-{r}^{n})}{1-r}$ 을 사용하는데, 이 공식에는 ${a}_{1}$ 과 r 이 필요하다. 필요한 정보를 얻기 위해 처음 몇 개의 항을 써 본다.



처음 몇 개의 항을 쓴다.
${a}_{1}$ 을 찾는다.
공비를 구한다.
${a}_{1}=6,$ $r=3$ , 그리고 $n=15$ 임을 알았으므로 합의 공식을 사용한다.
값을 대입한다.
간단히 한다.

원본 교재 풀이(영어)

To find the sum, we will use the formula ${S}_{n}=\frac{{a}_{1}(1-{r}^{n})}{1-r},$ which requires ${a}_{1}$ and r. We will write out a few of the terms, so we can get the needed information.



Write out the first few terms.
Identify ${a}_{1}$ .
Find the common ratio.	$Mathematical equations calculating the common ratio as 3, shown through fractions (18/6, 54/18) and represented in a summation formula, confirming 'The common ratio is r = 3.'$
Knowing ${a}_{1}=6,$ $r=3,$ and $n=15,$ use the sum formula.
Substitute in the values.
Simplify.

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# 등비수열계산자동 분류

206.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 11번우리말 번역

합을 구하세요: $\sum_{i=1}^{15}6{(2)}^{i}.$

영어 원문 보기

Find the sum: $\sum_{i=1}^{15}6{(2)}^{i}.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$393,204$

원본 교재 풀이(영어)

$393,204$

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# 등비수열계산자동 분류

207.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 12번우리말 번역

합을 구하세요: $\sum_{i=1}^{10}5{(2)}^{i}.$

영어 원문 보기

Find the sum: $\sum_{i=1}^{10}5{(2)}^{i}.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$10,230$

원본 교재 풀이(영어)

$10,230$

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# 등비수열계산자동 분류

208.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 7번우리말 번역

무한등비급수 $54+18+6+2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\ldots$ 의 합을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the sum of the infinite geometric series $54+18+6+2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\ldots$

정답·풀이 보기

합을 구하려면 먼저 공비가 $|r|<1$ 임을 확인해야 하며, 그러면 합의 공식 ${S}_{}=\frac{{a}_{1}}{1-r}$ 을 쓸 수 있다.


공비를 구한다.	$\quad r=\frac{18}{54}\quad r=\frac{6}{18}\ldots$
	$\quad r=\frac{1}{3}\quad r=\frac{1}{3}\quad \\|r\\|<1$
${a}_{1}$ 을 찾는다.	$\quad {a}_{1}=54$
${a}_{1}=54,r=\frac{1}{3}$ 이므로 합의 공식을 쓴다.	$\quad {S}_{}=\frac{{a}_{1}}{1-r}$
값을 대입한다.	$\quad {S}_{}=\frac{54}{1-\frac{1}{3}}$
간단히 한다.	$\quad {S}_{}=81$

원본 교재 풀이(영어)

To find the sum, we first have to verify that the common ratio $|r|<1$ and then we can use the sum formula ${S}_{}=\frac{{a}_{1}}{1-r}.$


Find the common ratio.	$\quad r=\frac{18}{54}\quad r=\frac{6}{18}\ldots$
	$\quad r=\frac{1}{3}\quad r=\frac{1}{3}\quad \\|r\\|<1$
Identify ${a}_{1}.$	$\quad {a}_{1}=54$
Knowing ${a}_{1}=54,r=\frac{1}{3},$ use the sum formula.	$\quad {S}_{}=\frac{{a}_{1}}{1-r}$
Substitute in the values.	$\quad {S}_{}=\frac{54}{1-\frac{1}{3}}$
Simplify.	$\quad {S}_{}=81$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 6번

# 등비수열계산자동 분류

209.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 13번우리말 번역

무한등비급수 $48+24+12+6+3+\frac{3}{2}+\ldots$ 의 합을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the sum of the infinite geometric series $48+24+12+6+3+\frac{3}{2}+\ldots$

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정답·풀이 보기

96

원본 교재 풀이(영어)

96

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 10번

# 등비수열계산자동 분류

210.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 14번우리말 번역

무한등비급수 $64+16+4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots$ 의 합을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the sum of the infinite geometric series $64+16+4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots$

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정답·풀이 보기

$\frac{256}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{256}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 13번

# 등비수열계산자동 분류

211.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 8번우리말 번역

순환소수 $0.\overset{-}{5}$ 를 분수로 나타내세요.

영어 원문 보기

Write the repeating decimal $0.\overset{-}{5}$ as a fraction.

정답·풀이 보기


반복되는 5가 드러나도록 $0.\overset{-}{5}$ 를 다시 쓴다.	$\quad 0.5555555555555\ldots$
자릿값을 이용하여 합으로 다시 나타낸다.	$\quad 0.5+0.05+0.005+0.0005+...$
이것은 무한등비급수이다.
공비를 구한다.	$\quad r=\frac{0.05}{0.5}\quad r=\frac{0.005}{0.05}\ldots$
	$\quad r=0.1\quad r=0.1\quad \\|r\\|<1$
${a}_{1}$ 을 찾는다.	$\quad {a}_{1}=0.5$
${a}_{1}=0.5,r=0.1$ 이므로 합의 공식을 쓴다.	$\quad {S}_{}=\frac{{a}_{1}}{1-r}$
값을 대입한다.	$\quad {S}_{}=\frac{0.5}{1-0.1}$
간단히 한다.	$\quad {S}_{}=\frac{0.5}{0.9}$
분자와 분모에 10을 곱한다.	$\quad {S}_{}=\frac{5}{9}$
구하려는 것은 분수 꼴이다.	$0.\overset{-}{5}=\frac{5}{9}$

원본 교재 풀이(영어)


Rewrite the $0.\overset{-}{5}$ showing the repeating five.	$\quad 0.5555555555555\ldots$
Use place value to rewrite this as a sum.	$\quad 0.5+0.05+0.005+0.0005+...$
This is an infinite geometric series.
Find the common ratio.	$\quad r=\frac{0.05}{0.5}\quad r=\frac{0.005}{0.05}\ldots$
	$\quad r=0.1\quad r=0.1\quad \\|r\\|<1$
Identify ${a}_{1}.$	$\quad {a}_{1}=0.5$
Knowing ${a}_{1}=0.5,r=0.1,$ use the sum formula.	$\quad {S}_{}=\frac{{a}_{1}}{1-r}$
Substitute in the values.	$\quad {S}_{}=\frac{0.5}{1-0.1}$
Simplify.	$\quad {S}_{}=\frac{0.5}{0.9}$
Multiply numerator and denominator by 10.	$\quad {S}_{}=\frac{5}{9}$
We are asked to find the fraction form.	$0.\overset{-}{5}=\frac{5}{9}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.3절 · 21번

# 등비수열계산자동 분류

212.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 15번우리말 번역

순환소수 $0.\overset{-}{4}$ 를 분수로 나타내세요.

영어 원문 보기

Write the repeating decimal $0.\overset{-}{4}$ as a fraction.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{4}{9}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{4}{9}$

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# 등비수열계산자동 분류

213.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 16번우리말 번역

순환소수 $0.\overset{-}{8}$ 을 분수로 나타내세요.

영어 원문 보기

Write the repeating decimal $0.\overset{-}{8}$ as a fraction.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{8}{9}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{8}{9}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 15번

# 등비수열계산자동 분류

214.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 9번우리말 번역

정부는 경기를 부양하기 위해 각 가구에 $1,000의 세금 환급금을 주기로 결정했습니다. 정부 통계에 따르면 각 가구는 환급금의 80%를 재화와 서비스에 쓸 것입니다. 그 80%로 이익을 얻은 기업과 개인은 다시 받은 돈의 80%를 쓰고, 이런 과정이 계속됩니다. 그 결과를 승수 효과라고 합니다. 환급금이 경제에 미치는 총효과는 얼마입니까?

영어 원문 보기

The government has decided to give a $1,000 tax rebate to each household in order to stimulate the economy. The government statistics say that each household will spend 80% of the rebate in goods and services. The businesses and individuals who benefitted from that 80% will then spend 80% of what they received and so on. The result is called the multiplier effect. What is the total effect of the rebate on the economy?

정답·풀이 보기

돈이 경제로 들어갈 때마다 그 돈의 80%가 쓰이고, 그 돈은 다시 경제 안에서 쓰일 수 있게 된다. 이 돈의 80%가 또다시 경제에서 쓰인다. 이런 상황이 계속되므로 무한등비급수가 된다.

$1000+1000(0.8)+1000{(0.8)}^{2}+\ldots$

여기서 첫째항은 1,000이므로 ${a}_{1}=1000$ . 공비는 $0.8$ 이므로 $r=0.8.$ $0.8<1$ 이므로 이 합을 구할 수 있다. 무한등비급수의 합 공식을 사용한다.


	$\begin{array}{ccc}\quad {S}_{} & = & \frac{{a}_{1}}{1-r}\end{array}$
값 ${a}_{1}=1,000$ 과 $r=0.8$ 을 대입한다.	$\begin{array}{ccc}\quad {S}_{} & = & \frac{1,000}{1-0.8}\end{array}$
값을 구한다.	$\begin{array}{ccc}\quad {S}_{} & = & 5,000\end{array}$

각 가구가 받은 $1,000의 총효과는 경제에서 $5,000의 성장이 될 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Every time money goes into the economy, 80% of it is spent and is then in the economy to be spent. Again, 80% of this money is spent in the economy again. This situation continues and so leads us to an infinite geometric series.

$1000+1000(0.8)+1000{(0.8)}^{2}+\ldots$

Here the first term is 1,000, ${a}_{1}=1000.$ The common ratio is $0.8,$ $r=0.8.$ We can evaluate this sum since $0.8<1.$ We use the formula for the sum on an infinite geometric series.


	$\begin{array}{ccc}\quad {S}_{} & = & \frac{{a}_{1}}{1-r}\end{array}$
Substitute in the values, ${a}_{1}=1,000$ and $r=0.8.$	$\begin{array}{ccc}\quad {S}_{} & = & \frac{1,000}{1-0.8}\end{array}$
Evaluate.	$\begin{array}{ccc}\quad {S}_{} & = & 5,000\end{array}$

The total effect of the $1,000 received by each household will be a $5,000 growth in the economy.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 8번

# 등비수열계산자동 분류

215.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 17번우리말 번역

경기를 부양하기 위해 정부가 각 가구에 $1,000의 세금 환급금을 주고 각 가구가 환급금의 90%를 상품과 서비스를 사는 데 쓴다면, 이 환급금이 경제에 미치는 총효과는 얼마인가요?

영어 원문 보기

What is the total effect on the economy of a government tax rebate of $1,000 to each household in order to stimulate the economy if each household will spend 90% of the rebate in goods and services?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\char36 10,000$

원본 교재 풀이(영어)

$\char36 10,000$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 16번

# 등비수열계산자동 분류

216.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 18번우리말 번역

경기를 부양하기 위해 정부가 각 가구에 $500의 세금 환급금을 주고 각 가구가 환급금의 85%를 상품과 서비스를 사는 데 쓴다면, 이 환급금이 경제에 미치는 총효과는 얼마인가요?

영어 원문 보기

What is the total effect on the economy of a government tax rebate of $500 to each household in order to stimulate the economy if each household will spend 85% of the rebate in goods and services?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\char36 3,333.33$

원본 교재 풀이(영어)

$\char36 3,333.33$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 1번

# 등비수열계산자동 분류

217.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 10번우리말 번역

새내기 부모가 갓 태어난 딸을 위해 매달 $100씩 연금에 투자하기로 했습니다. 이 계좌는 연 5%의 이자를 주고, 이자는 매달 복리로 계산됩니다. 딸의 열여덟 번째 생일에 계좌에는 얼마가 있겠습니까?

영어 원문 보기

New parents decide to invest $100 per month in an annuity for their baby daughter. The account will pay 5% interest per year which is compounded monthly. How much will be in the child’s account at her eighteenth birthday?

정답·풀이 보기

연금 공식 ${A}_{t}=\frac{P\left({\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}-1\right)}{\frac{r}{n}}$ 을 쓰려면 P, r, n, t 를 찾아야 한다.


매달 투자하는 금액 P 를 찾는다.	$\quad P=100$
연 이자율 r 을 소수로 나타내어 찾는다.	$\quad r=0.05$
1년 동안 납입하는 횟수이자 이자가 복리로 계산되는 횟수 n 을 찾는다.	$\quad n=12$
햇수 t 를 찾는다.	$\quad t=18$
$P=100,r=0.05,n=12\,\text{그리고}$ $t=18$ 임을 알았으므로 합의 공식을 사용한다.	$\quad {A}_{t}=\frac{P\left({\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}-1\right)}{\frac{r}{n}}$
값을 대입한다.	$\quad {A}_{t}=\frac{100\left({\left(1+\frac{0.05}{12}\right)}^{12\cdot 18}-1\right)}{\frac{0.05}{12}}$
계산기로 값을 구한다. 필요한 곳에 괄호를 꼭 사용한다.	$\quad {A}_{t}=34,920.20$
	$\quad$ 아이는 $\quad$ 18세가 될 때 $34,920.20을 갖게 된다.

원본 교재 풀이(영어)

To find the Annuity formula, ${A}_{t}=\frac{P\left({\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}-1\right)}{\frac{r}{n}},$ we need to identify P, r, n, and t.


Identify P, the amount invested each month.	$\quad P=100$
Identify r, the annual interest rate, in decimal form.	$\quad r=0.05$
Identify n, the number of times the deposit will be made and the interest compounded each year.	$\quad n=12$
Identify t, the number of years.	$\quad t=18$
Knowing $P=100,r=0.05,n=12\,\text{and}$ $t=18,$ use the sum formula.	$\quad {A}_{t}=\frac{P\left({\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}-1\right)}{\frac{r}{n}}$
Substitute in the values.	$\quad {A}_{t}=\frac{100\left({\left(1+\frac{0.05}{12}\right)}^{12\cdot 18}-1\right)}{\frac{0.05}{12}}$
Use the calculator to evaluate. Be sure to use parentheses as needed.	$\quad {A}_{t}=34,920.20$
	$\quad$ The child will have $34,920.20 when she turns $\quad$ 18.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 12번

# 등비수열계산자동 분류

218.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 19번우리말 번역

새내기 조부모가 손자를 위해 매달 $200씩 연금에 투자하기로 했습니다. 이 계좌는 연 5%의 이자를 주고, 이자는 매달 복리로 계산됩니다. 손자의 스물한 번째 생일에 계좌에는 얼마가 있겠습니까?

영어 원문 보기

New grandparents decide to invest $200 per month in an annuity for their grandson. The account will pay 5% interest per year which is compounded monthly. How much will be in the child’s account at his twenty-first birthday?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\char36 88,868.36$

원본 교재 풀이(영어)

$\char36 88,868.36$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 18번

# 등비수열계산자동 분류

219.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 20번우리말 번역

아르투로는 27세에 대학을 졸업하고 첫 정규직 일자리를 얻었습니다. 그는 매달 $200씩 IRA(연금의 한 종류)에 투자하기로 했습니다. 이 연금의 이자율은 8%이고, 이자는 매달 복리로 계산됩니다. 아르투로가 예순일곱 번째 생일에 은퇴할 때 그의 계좌에는 얼마가 있겠습니까?

영어 원문 보기

Arturo just got his first full-time job after graduating from college at age 27. He decided to invest $200 per month in an IRA (an annuity). The interest on the annuity is 8%, which is compounded monthly. How much will be in the Arturo’s account when he retires at his sixty-seventh birthday?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\char36 698,201.57$

원본 교재 풀이(영어)

$\char36 698,201.57$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 19번

# 등비수열계산자동 분류

220.OpenStax Intermediate Algebra · 12.3절 · 1번우리말 번역

수열이 등비수열인지 판단하기

다음 문제에서 수열이 등비수열인지 판단하고, 등비수열이면 공비를 쓰세요.

$3,12,48,192,768,3072,\,\ldots$

영어 원문 보기

Determine if a Sequence is Geometric

In the following exercises, determine if the sequence is geometric, and if so, indicate the common ratio.

$3,12,48,192,768,3072,\,\ldots$

정답·풀이 보기

이 수열은 공비가 $r=4$ 인 등비수열이다.

원본 교재 풀이(영어)

The sequence is geometric with common ratio $r=4.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 13장 복습 · 15번

# 등비수열계산자동 분류

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