나머지정리와 인수정리 연습문제 (공통수학1)

121.OpenStax Intermediate Algebra · 5.4절 · 7번우리말 번역

조립제법을 이용하여 $2{x}^{3}+3{x}^{2}+x+8$ 을 $x+2$ 로 나눌 때의 몫과 나머지를 구하세요.

영어 원문 보기

Use synthetic division to find the quotient and remainder when $2{x}^{3}+3{x}^{2}+x+8$ is divided by $x+2.$

정답·풀이 보기


나누어지는 식을 $x$ 의 차수가 감소하는 순서로 쓴다.
각 항의 계수를 조립제법의 첫째 행에 쓴다.
나누는 식을 $x-c$ 꼴로 쓰고, c 를 조립제법의 나누는 식 칸에 쓴다.
첫째 계수를 셋째 행으로 그대로 내려 쓴다.
그 계수에 c 를 곱하여, 그 결과를 둘째 행의 둘째 계수 아래에 쓴다.
둘째 열을 더하여, 그 결과를 셋째 행에 쓴다.
그 결과에 c 를 곱하여, 그 결과를 둘째 행의 셋째 계수 아래에 쓴다.
셋째 열을 더하여, 그 결과를 셋째 행에 쓴다.
그 결과에 c 를 곱하여, 그 결과를 셋째 행의 셋째 계수 아래에 쓴다.
마지막 열을 더하여, 그 결과를 셋째 행에 쓴다.
몫은 $2{x}^{2}-1x+3$ 이고 나머지는 2 이다.

나눗셈이 끝났다. 셋째 행의 수가 결과를 나타낸다. $2\quad -1\quad 3$ 은 몫의 계수이다. 몫은 $2{x}^{2}-1x+3$ 이다. 셋째 행의 상자 안에 있는 2 는 나머지이다.

검산:

$\quad \begin{array}{ccc} \\ \\ \text{(몫)(나누는 식)}+\text{나머지} & = & \text{나누어지는 식} \\ (2{x}^{2}-1x+3)(x+2)+2 & \overset{?}{=} & 2{x}^{3}+3{x}^{2}+x+8 \\ 2{x}^{3}-{x}^{2}+3x+4{x}^{2}-2x+6+2 & \overset{?}{=} & 2{x}^{3}+3{x}^{2}+x+8 \\ 2{x}^{3}+3{x}^{2}+x+8 & = & 2{x}^{3}+3{x}^{2}+x+8\checkmark \end{array}$

원본 교재 풀이(영어)


Write the dividend with decreasing powers of $x.$
Write the coefficients of the terms as the first row of the synthetic division.
Write the divisor as $x-c$ and place c in the synthetic division in the divisor box.
Bring down the first coefficient to the third row.
Multiply that coefficient by the divisor and place the result in the second row under the second coefficient.
Add the second column, putting the result in the third row.
Multiply that result by the divisor and place the result in the second row under the third coefficient.
Add the third column, putting the result in the third row.
Multiply that result by the divisor and place the result in the third row under the third coefficient.
Add the final column, putting the result in the third row.
The quotient is $2{x}^{2}-1x+3$ and the remainder is 2.

The division is complete. The numbers in the third row give us the result. The $2\quad -1\quad 3$ are the coefficients of the quotient. The quotient is $2{x}^{2}-1x+3.$ The 2 in the box in the third row is the remainder.

Check:

$\quad \begin{array}{ccc} \\ \\ \text{(quotient)(divisor)}+\text{remainder} & = & \text{dividend} \\ (2{x}^{2}-1x+3)(x+2)+2 & \overset{?}{=} & 2{x}^{3}+3{x}^{2}+x+8 \\ 2{x}^{3}-{x}^{2}+3x+4{x}^{2}-2x+6+2 & \overset{?}{=} & 2{x}^{3}+3{x}^{2}+x+8 \\ 2{x}^{3}+3{x}^{2}+x+8 & = & 2{x}^{3}+3{x}^{2}+x+8\checkmark \end{array}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 5.4절 · 10번


$f(x)$ 와 $g(x)$ 에 각각의 식을 대입한다.	$\quad \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{{x}^{2}-5x-14}{x+2}$
다항식을 나눈다.	$\quad \left(\frac{f}{g}\right)(x)=x-7$


	$\quad \left(\frac{f}{g}\right)(x)=x-7$
$\left(\frac{f}{g}\right)(-4)$ 를 구하기 위해 $x=-4$ 를 대입한다.	$\left(\frac{f}{g}\right)(-4)=-4-7$
	$\left(\frac{f}{g}\right)(-4)=-11$


Substitute for $f(x)$ and $g(x).$	$\quad \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{{x}^{2}-5x-14}{x+2}$
Divide the polynomials.	$\quad \left(\frac{f}{g}\right)(x)=x-7$


	$\quad \left(\frac{f}{g}\right)(x)=x-7$
To find $\left(\frac{f}{g}\right)(-4),$ substitute $x=-4.$	$\left(\frac{f}{g}\right)(-4)=-4-7$
	$\left(\frac{f}{g}\right)(-4)=-11$



$f(-2)$ 의 값을 구하기 위해 $x=-2$ 를 대입한다.
간단히 한다.

	$f(x)={x}^{3}+3x+19$ 를 $x+2$ 로 나눌 때의 나머지는 5이다.
확인: 조립제법을 이용하여 확인한다.

나머지는 5이다.



To evaluate $f(-2),$ substitute $x=-2.$
Simplify.

	The remainder is 5 when $f(x)={x}^{3}+3x+19$ is divided by $x+2.$
Check: Use synthetic division to check.

The remainder is 5.


	$f(x)={x}^{3}-64$
$f(4)$ 의 값을 구하기 위해 $x=4$ 를 대입한다.	$f(4)={4}^{3}-64$
간단히 한다.	$f(4)=64-64$
뺀다.	$f(4)=0$


	$f(x)={x}^{3}-64$
To evaluate $f(4)$ substitute $x=4.$	$f(4)={4}^{3}-64$
Simplify.	$f(4)=64-64$
Subtract.	$f(4)=0$