미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

21.OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번우리말 풀이

다음 문제에서 $f(1)-f(-1)=f'(c)(2)$ 를 만족하는 $c$ 가 없음을 보이세요. 구간 $[-1,1]$ 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

$f(x)=\left|x-\dfrac12\right|$

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no $c$ such that $f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2).$ Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval $[-1,1].$

$f(x)=|x-\frac{1}{2}|$

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평균값 정리는 '닫힌 구간에서 연속, 열린 구간에서 미분가능'일 때만 쓸 수 있어요. 한 곳이라도 미분이 안 되면 결론이 보장되지 않아요.

1
평균변화율을 구해요. $f(1)=\tfrac12$ , $f(-1)=\tfrac32$ 이므로 $f(1)-f(-1)=-1\ \Rightarrow\ f'(c)\cdot 2=-1\ \Rightarrow\ f'(c)=-\tfrac12$ 이 되는 $c$ 가 있는지 보면 돼요.
2
도함수의 값을 살펴요. $x>\tfrac12$ 에서는 $f(x)=x-\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=1$ , $x<\tfrac12$ 에서는 $f(x)=-x+\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=-1$ 이에요. 도함수가 가질 수 있는 값은 $1$ 과 $-1$ 뿐이라서 $-\tfrac12$ 은 될 수 없어요. 그러므로 조건을 만족하는 $c$ 가 없어요.
3
왜 평균값 정리가 안 되는지 말해요. $x=\tfrac12$ 은 구간 $(-1,1)$ 안에 있는데, 이곳에서 좌미분계수는 $-1$ , 우미분계수는 $1$ 로 서로 달라 미분가능하지 않아요(그래프가 뾰족한 점). 따라서 열린 구간에서 미분가능하다는 조건이 깨져 평균값 정리를 쓸 수 없어요.

답

$f$ 는 $x=\tfrac12$ 에서 미분가능하지 않아서 평균값 정리의 조건을 만족하지 않으므로, 조건을 만족하는 $c$ 가 없다

자주 하는 실수

연속이기만 하면 평균값 정리를 쓸 수 있다고 생각하는 실수가 많아요. 열린 구간에서 미분가능해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Not differentiable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통

22.OpenStax 1권 · 4.4절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하고, 이유를 쓰세요.

$y=\dfrac{x^2+3x+2}{x}$ , 구간 $[-1,1]$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\frac{{x}^{2}+3x+2}{x}$ over $[-1,1]$

풀이 보기

평균값 정리를 쓰려면 먼저 닫힌 구간에서 연속인지 확인해요.

1
조건을 떠올려요. 평균값 정리는 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능한 함수에만 쓸 수 있어요. 그래서 연속인지 먼저 점검해요.
2
연속인지 살펴요. 분모가 $0$ 이 되는 $x=0$ 에서 함수가 정의되지 않아요. $x=0$ 은 구간 $[-1,1]$ 안에 있으므로 이 함수는 $x=0$ 에서 불연속이에요. (분자 $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ 는 $x=0$ 에서 $2$ 라서 약분되지도 않아요. $x\to 0$ 이면 값이 무한히 커져요.)
3
결론을 내려요. 구간 안에 불연속인 점이 있으므로 연속 조건이 깨져서 평균값 정리를 적용할 수 없어요.

답

적용할 수 없다 ( $x=0$ 에서 불연속)

자주 하는 실수

끝점 $\pm1$ 에서만 연속 여부를 확인하고 구간 안쪽의 불연속점을 놓치는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply; discontinuous at $x=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인보통

23.OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 구간 $[a,b]$ 에서의 함수의 그래프와 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선을 그리세요. 평균값 정리가 보장하는 모든 $c$ 의 값을 계산기로 어림하세요. 그런 다음 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 아니면 최종 방정식을 쓰고 계산기로 소수 넷째 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-4,0]$ 에서 $y=\left|x^2+2x-4\right|$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=|{x}^{2}+2x-4|$ over $[-4,0]$

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평균값 정리를 쓰기 전에 연속·미분가능 조건부터 확인해요. 절댓값이 있으면 안쪽 식이 0이 되는 곳에서 그래프가 꺾일 수 있어요.

1
안쪽 식이 0이 되는 곳을 찾아요. $x^2+2x-4=0$ 을 풀면 $x=-1\pm\sqrt5$ , 즉 $x\approx-3.236$ 과 $x\approx1.236$ 이에요. 이 중 $x=-1-\sqrt5\approx-3.236$ 이 구간 $[-4,0]$ 안에 있어요.
2
그곳에서 미분가능한지 봐요. 이 점의 왼쪽에서는 안쪽 식이 양수이고 오른쪽에서는 음수예요. 그래서 $f(x)=|g(x)|$ 의 기울기가 왼쪽에서는 $g'(x)=2x+2\approx-4.47$ , 오른쪽에서는 $-g'(x)\approx+4.47$ 이 되어 서로 달라요. 그래프가 뾰족하게 꺾이는 점이라 이 점에서 미분가능하지 않아요.
3
결론을 내려요. 열린 구간 $(-4,0)$ 안에 미분불가능한 점이 있으므로 평균값 정리의 조건을 만족하지 않아요. 따라서 평균값 정리는 적용되지 않아요.
4
참고로 확인해 봐요. $f(-4)=4$ , $f(0)=4$ 이므로 평균변화율은 $0$ 이에요. 실제로 $-3.236<x<1.236$ 에서 $f(x)=-(x^2+2x-4)$ 이므로 $f'(-1)=0$ 인 $c=-1$ 이 있긴 해요. 하지만 이것은 정리가 보장해 준 것이 아니라 우연히 성립하는 것이에요.

답

평균값 정리를 적용할 수 없다 ( $x=-1-\sqrt5$ 에서 미분불가능)

자주 하는 실수

결론이 우연히 성립해도 평균값 정리가 적용된다고 말하면 안 돼요. 조건을 만족하는지가 핵심이에요.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인도전

24.OpenStax 1권 · 4.5절 · 2번우리말 풀이

함수 $y=x^3$ 에서 $x=0$ 은 변곡점이면서 동시에 극댓값 또는 극솟값을 주는 점인가요?

영어 원문 보기

For the function $y={x}^{3},$ is $x=0$ both an inflection point and a local maximum/minimum?

풀이 보기

극값은 $f'$ 의 부호가 바뀔 때, 변곡점은 $f''$ 의 부호가 바뀔 때 생겨요. 둘은 서로 다른 조건이에요.

1
도함수를 살펴요. $f'(x)=3x^2$ 이므로 $f'(0)=0$ 이에요. 하지만 $x<0$ 과 $x>0$ 모두에서 $f'(x)>0$ 이라 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않아요. 함수가 계속 증가하고 있으므로 $x=0$ 은 극값이 아니에요.
2
이계도함수를 살펴요. $f''(x)=6x$ 는 $x<0$ 에서 음수(위로 볼록), $x>0$ 에서 양수(아래로 볼록)로 부호가 바뀌어요. 그러므로 $x=0$ 은 변곡점이에요.
3
결론을 내려요. $x=0$ 은 변곡점이지만 극댓값·극솟값을 주는 점은 아니에요. 그래서 질문의 답은 '아니요'예요.

답

아니요. $x=0$ 은 변곡점이지만 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않으므로 극값은 아니다

자주 하는 실수

$f'(0)=0$ 이면 무조건 극값이라고 생각하는 실수가 많아요. 부호가 바뀌는지 꼭 확인해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

It is not a local maximum/minimum because ${f}^{'}$ does not change sign

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 56번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인보통

25.OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번우리말 풀이

위로 볼록한 함수는 어떤 $x$ 값에서 반드시 $y=0$ 을 지나야 하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain whether a concave-down function has to cross $y=0$ for some value of $x.$

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'반드시 ~이다'를 부정하려면 그렇지 않은 예(반례) 하나만 찾으면 돼요.

1
위로 볼록의 뜻을 떠올려요. 위로 볼록은 $f''<0$ 이라는 뜻이에요. 그래프가 모양만 위로 볼록할 뿐, 높이가 어디에 있는지는 정해 주지 않아요.
2
반례를 찾아요. $y=-x^2-1$ 을 보세요. $y''=-2<0$ 이라 어디서나 위로 볼록이지만, $-x^2-1\le -1<0$ 이라 $x$ 축 아래에만 있어서 $y=0$ 을 지나지 않아요. 또 $y=\sqrt{x}$ 도 $x>0$ 에서 $y''<0$ 으로 위로 볼록이지만 $x>0$ 인 부분에서는 $y>0$ 이라 $y=0$ 을 지나지 않아요.
3
결론을 내려요. 반례가 있으므로 위로 볼록한 함수가 반드시 $y=0$ 을 지나는 것은 아니에요.

답

거짓. 예를 들어 $y=-x^2-1$ (또는 $y=\sqrt{x}$ 의 $x>0$ 부분)은 위로 볼록하지만 $y=0$ 을 지나지 않는다

자주 하는 실수

볼록한 모양이면 언젠가 $x$ 축과 만난다고 생각하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

False; for example, $y=\sqrt{x}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 2번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인보통

26.OpenStax 1권 · 4.5절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 a. $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록한 구간, b. $f$ 의 변곡점을 구하세요.

$f(x)=x^3-4x^2+x+2$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine a. intervals where $f$ is concave up or concave down, and b. the inflection points of $f.$

$f(x)={x}^{3}-4{x}^{2}+x+2$

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이계도함수 $f''$ 의 부호가 양수이면 아래로 볼록, 음수이면 위로 볼록이고, 부호가 바뀌는 점이 변곡점이에요.

1
이계도함수를 구해요. $f'(x)=3x^2-8x+1$ 이고 다시 미분하면 $f''(x)=6x-8$
2
$f''=0$ 인 점을 찾아요. $6x-8=0$ 에서 $x=\dfrac43$ 이에요.
3
a: 부호를 구간별로 살펴요. $x>\tfrac43$ 이면 $f''(x)>0$ 이라 아래로 볼록이고, $x<\tfrac43$ 이면 $f''(x)<0$ 이라 위로 볼록이에요.
4
b: 변곡점이에요. $x=\tfrac43$ 의 앞뒤에서 $f''$ 의 부호가 바뀌므로 변곡점이에요. $y$ 좌표는 $f\!\left(\tfrac43\right)=\tfrac{64}{27}-\tfrac{64}{9}+\tfrac43+2=-\tfrac{38}{27}$ 이므로 변곡점은 $\left(\tfrac43,-\tfrac{38}{27}\right)$ 예요.

답

a. $x>\frac43$ 에서 아래로 볼록, $x<\frac43$ 에서 위로 볼록 b. 변곡점 $x=\frac43$ , 즉 $\left(\frac43,-\frac{38}{27}\right)$

자주 하는 실수

$f''(x)=0$ 인 점이라고 해서 모두 변곡점은 아니에요. 앞뒤 부호가 바뀌는지 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. Concave up for $x>\frac{4}{3},$ concave down for $x<\frac{4}{3}$ b. Inflection point at $x=\frac{4}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번

# 함수의 그래프 그리기계산보통

27.OpenStax 1권 · 4.5절 · 56번우리말 풀이

$f(x)$ 가 세 개의 근을 가지면 변곡점이 $1$ 개 있다.

영어 원문 보기

If $f(x)$ has three roots, then it has $1$ inflection point.

풀이 보기

근이 3개이면 롤의 정리를 두 번 써서 $f''$ 의 근이 있음을 알 수 있지만, 변곡점의 개수까지는 함수의 종류에 따라 달라요.

1
롤의 정리를 두 번 써 봐요. 근이 $a<b<c$ 이면 $f(a)=f(b)=0$ 이므로 $(a,b)$ 에서 $f'$ 의 근이 하나, $(b,c)$ 에서도 하나 있어요. 이 두 근 사이에 다시 롤의 정리를 쓰면 $f''$ 의 근이 적어도 하나 있어요.
2
삼차함수라면 맞아요. $f$ 가 삼차함수이면 $f''$ 는 일차식이라 근이 정확히 하나이고 그 앞뒤에서 부호가 바뀌어요. 그러므로 변곡점이 정확히 $1$ 개예요. 원본 답의 '참, 도함수를 살펴보세요'는 이 경우를 말해요.
3
일반 함수에서는 틀려요. $f(x)=x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1)$ 은 근이 $0,\pm1$ 의 3개지만 $f''(x)=12x^2-2$ 의 부호가 $x=\pm\frac{1}{\sqrt6}$ 에서 바뀌어 변곡점이 $2$ 개예요. 또 $\sin x$ 처럼 근이 많은 함수도 있어요. 그래서 함수에 대한 조건 없이는 '변곡점이 정확히 1개'라고 할 수 없어요.

답

일반적으로는 거짓(반례 $y=x^4-x^2$ : 근 3개, 변곡점 2개). 삼차함수라면 참이다

자주 하는 실수

근의 개수와 변곡점의 개수가 늘 같다고 생각하는 실수가 있어요. 변곡점은 $f''$ 의 부호 변화로 정해져요.

참고: 원본 교재의 답과 다르게 풀었어요 — 원본은 '참'인데, 함수의 종류(삼차함수 등)가 문제에 적혀 있지 않아 일반 함수로는 반례가 있어요. 원문에 '삼차함수'라는 전제가 있었는지 확인이 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

True, examine derivative

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.4절 · 8번

# 함수의 그래프 그리기증명·논술도전

28.OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번우리말 풀이

$x$ 를 어떻게 정해야 두 도형의 넓이의 합이 최대가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

Choose $x$ to maximize the sum of their areas.

답 쓰고 채점

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넓이의 합이 아래로 볼록한 이차함수이면, 최댓값은 구간의 한쪽 끝에서 나와요.

1
원문에는 앞 문제의 조건이 빠져 있어요. 길이 $L$ 인 철사를 두 조각으로 잘라, 한 조각으로는 한 변의 길이가 $x$ 인 정사각형을, 나머지로는 원을 만드는 상황으로 풀어 볼게요. 이때 $x$ 의 범위는 $0\le x\le \frac{L}{4}$ 이에요.
2
먼저 넓이의 합을 $x$ 로 나타내요. 정사각형의 둘레는 $4x$ 이므로 원의 둘레는 $L-4x$ 이고, 반지름은 $r=\frac{L-4x}{2\pi}$ 예요. 그래서 $A(x)=x^2+\pi r^2=x^2+\frac{(L-4x)^2}{4\pi}$
3
최대인 곳을 찾으려면 도함수를 봐요. $A'(x)=2x-\frac{2(L-4x)}{\pi}$ 이고, 한 번 더 미분하면 $A''(x)=2+\frac{8}{\pi}>0$ 이에요. 이계도함수가 항상 양수이므로 그래프는 아래로 볼록해요.
4
아래로 볼록한 함수는 $A'(x)=0$ 인 점에서 최솟값을 가지고, 최댓값은 구간의 양 끝점 중 하나에서 생겨요. 그래서 두 끝점의 값을 비교해요.
5
$x=0$ 이면 철사 전체로 원을 만든 것이라 $A(0)=\frac{L^2}{4\pi}$ 이고, $x=\frac{L}{4}$ 이면 정사각형만 만든 것이라 $A\left(\frac{L}{4}\right)=\frac{L^2}{16}$ 이에요. $\frac{1}{4\pi}>\frac{1}{16}$ 이므로 $A(0)$ 이 더 커요. 따라서 $x=0$ 일 때 넓이의 합이 최대예요.

답

$x=0$

자주 하는 실수

도함수가 0인 점이 곧 최댓값이라고 생각하기 쉬워요. 아래로 볼록하면 그 점은 최솟값이고, 최댓값은 끝점에서 찾아야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

29.OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 직선 $y=5-2x$ 위에서 원점에 가장 가까운 점은 어디인가요?

영어 원문 보기

[T] Where is the line $y=5-2x$ closest to the origin?

답 쓰고 채점

풀이 보기

거리 대신 거리의 제곱을 최소로 만들면 근호 없이 편하게 풀려요.

1
왜 이렇게 할까요? 직선 위의 점은 $(x,\,5-2x)$ 로 쓸 수 있어서 변수가 $x$ 하나뿐이에요. 거리가 최소일 때 거리의 제곱도 최소이므로, 근호가 있는 거리 대신 제곱을 써요.
2
거리의 제곱을 식으로 써요. $D(x)=x^2+(5-2x)^2=5x^2-20x+25$
3
미분해서 0 이 되는 곳을 찾아요. $D'(x)=10x-20=0\;\Longrightarrow\;x=2$
4
최솟값인지 확인해요. $D''(x)=10>0$ 이므로 아래로 볼록한 이차함수라서 $x=2$ 에서 최소예요.
5
점의 좌표를 구해요. $y=5-2\cdot2=1$ 이므로 가장 가까운 점은 $(2,1)$ 이에요.

답

$(2,1)$

자주 하는 실수

거리 $\sqrt{x^2+y^2}$ 을 그대로 미분하느라 식이 복잡해지거나, $x$ 만 구하고 $y$ 좌표를 쓰지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

$(2,1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

미분 전체 문제