문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

최댓값·최솟값과 최적화

닫힌 구간의 최대·최소를 구하고, 넓이·비용 같은 문장제의 최적값을 찾는다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 3.5절 · 1번우리말 번역

다음을 만족하는 함수 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

$f(x)$ 는 모든 실수에서 정의된다.
$f(x)$ 는 최댓값을 갖지만 최솟값은 갖지 않는다.

영어 원문 보기

Sketch a function $f(x)$ such that:

$f(x)$ is defined over all real numbers
$f(x)$ has a global max but no global min.

정답·풀이 보기

아래에 두 가지 예가 있지만, 가능한 예는 많다.

$f(x)=-x^2$ 또는 $f(x)=-\sqrt{|x|}$ 이면 $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 최댓값을 갖는다. $x$ 가 0에서 멀어질수록 $f(x)$ 는 음의 방향으로 점점 더 커지므로 $f(x)$ 는 최솟값을 갖지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Two examples are given below, but many are possible.

If $f(x)=-x^2$ or $f(x)=-\sqrt{|x|}$ , then $f(x)$ has a global maximum at $x=0$ . Since $f(x)$ keeps getting more and more strongly negative as $x$ gets farther and farther from 0, $f(x)$ has no global minimum.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 32번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석기본자동 분류

2.CLP-1 · 3.5절 · 2번우리말 번역

다음을 만족하는 함수 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

$f(x)$ 는 모든 실수에서 정의된다
$f(x)$ 는 항상 양수이다
$f(x)$ 는 최댓값도 최솟값도 갖지 않는다.

영어 원문 보기

Sketch a function $f(x)$ such that:

$f(x)$ is defined over all real numbers
$f(x)$ is always positive
$f(x)$ has no global max and no global min.

정답·풀이 보기

아래에 두 가지 예가 있지만, 가능한 예는 많다.

$f(x)=e^x$ 이면 모든 $x$ 에 대해 $f(x) > 0$ 이다. $x$ 축을 따라 왼쪽으로 갈수록 $f(x)$ 는 점점 작아져 0 에 가까워지지만 0 에 이르지는 않는다. 왼쪽으로 갈수록 $f(x)$ 가 점점 작아지므로 최솟값은 없다. 마찬가지로 오른쪽으로 갈수록 $f(x)$ 는 점점 커지므로 최댓값도 없다.

$f(x)=\arctan(x)+2$ 이면 모든 $x$ 에 대해 $f(x) >\left(-\frac{\pi}{2}\right)+2>0$ 이다.

$x$ 축을 따라 왼쪽으로 갈수록 $f(x)$ 는 점점 작아져 $\left(-\frac{\pi}{2}+2\right)$ 에 가까워지지만 그 값에 이르지는 않는다. 왼쪽으로 갈수록 $f(x)$ 가 점점 작아지므로 최솟값은 없다.

마찬가지로 $x$ 축을 따라 오른쪽으로 갈수록 $f(x)$ 는 점점 커져 $\left(\frac{\pi}{2}+2\right)$ 에 가까워지지만 그 값에 이르지는 않는다. 오른쪽으로 갈수록 $f(x)$ 가 점점 커지므로 최댓값은 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Two examples are given below, but many are possible.

If $f(x)=e^x$ , then $f(x) > 0$ for all $x$ . As we move left along the $x$ -axis, $f(x)$ gets smaller and smaller, approaching 0 but never reaching it. Since $f(x)$ gets smaller and smaller as we move left, there is no global minimum. Likewise, $f(x)$ increases more and more as we move right, so there is no maximum.

If $f(x)=\arctan(x)+2$ , then $f(x) >\left(-\frac{\pi}{2}\right)+2>0$ for all $x$ .

As we move left along the $x$ -axis, $f(x)$ gets smaller and smaller, approaching $\left(-\frac{\pi}{2}+2\right)$ but never reaching it. Since $f(x)$ gets smaller and smaller as we move left, there is no global minimum.

Likewise, as we move right along the $x$ -axis, $f(x)$ gets bigger and bigger, approaching $\left(\frac{\pi}{2}+2\right)$ but never reaching it. Since $f(x)$ gets bigger and bigger as we move right, there is no global maximum.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 3번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석기본자동 분류

3.CLP-1 · 3.5절 · 3번우리말 번역

다음을 만족하는 함수 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

$f(x)$ 는 모든 실수에서 정의된다
$f(x)$ 는 $x=5$ 에서 최솟값을 갖는다
$f(x)$ 는 $x=-5$ 에서도 최솟값을 갖는다.

영어 원문 보기

Sketch a function $f(x)$ such that:

$f(x)$ is defined over all real numbers
$f(x)$ has a global minimum at $x=5$
$f(x)$ has a global minimum at $x=-5$ , too.

정답·풀이 보기

$f(5)$ 가 최솟값이므로 모든 $x$ 에 대해 $f(5) \leq f(x)$ 이고, 특히 $f(5) \leq f(-5)$ 이다.

마찬가지로 모든 $x$ 에 대해 $f(-5) \leq f(x)$ 이므로, 특히 $f(-5) \leq f(5)$ 이다.

$f(-5) \leq f(5)$ 이고 $f(5) \leq f(-5)$ 이므로 $f(-5)=f(5)$ 이어야 한다.

이러한 그래프의 하나를 그리면 아래와 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(5)$ is a global minimum, $f(5) \leq f(x)$ for all $x$ , and so in particular $f(5) \leq f(-5)$ .

Similarly, $f(-5) \leq f(x)$ for all $x$ , so in particular $f(-5) \leq f(5)$ .

Since $f(-5) \leq f(5)$ AND $f(5) \leq f(-5)$ , it must be true that $f(-5)=f(5)$ .

A sketch of one such graph is below.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 1번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석기본자동 분류