빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

평균변화율과 미분계수

평균변화율과 순간변화율(미분계수)의 뜻, 접선의 기울기로서의 미분계수를 이해한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번우리말 풀이

다음 문제에서는 Q=f(x)−f(a)x−aQ=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 써서 각 함수 y=f(x)y=f(x) 의 x1x_1 과 x2x_2 사이 할선의 기울기를 구하세요.

f(x)=4x+7; x1=2, x2=5f(x)=4x+7;\ x_1=2,\ x_2=5

영어 원문 보기

For the following exercises, use Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} to find the slope of the secant line between the values x1{x}_{1} and x2{x}_{2} for each function y=f(x).y=f(x).

f(x)=4x+7;x1=2,x2=5f(x)=4x+7;{x}_{1}=2,{x}_{2}=5

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할선의 기울기는 두 점 사이의 평균변화율, 즉 y의 변화량x의 변화량\dfrac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}} 이에요.

  1. 1

    두 점의 yy 값을 구해요. f(2)=4⋅2+7=15f(2)=4\cdot2+7=15, f(5)=4⋅5+7=27f(5)=4\cdot5+7=27 이에요.

  2. 2

    기울기 공식에 넣어요.

    f(5)−f(2)5−2=27−153=123=4\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{27-15}{3}=\frac{12}{3}=4

  3. 3

    확인해요. 일차함수의 그래프는 직선이라 어느 두 점을 잡아도 기울기가 같아요. 계수 44 와 같은 값이 나온 것이 맞아요.

답

44

자주 하는 실수

분자와 분모를 빼는 순서를 서로 다르게 해서 부호가 틀려요.

원본 교재 풀이(영어)

44

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번
# 평균변화율과 미분계수계산기본
2.OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

다음 문제에서 Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용해, 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에서 x1x_1 과 x2x_2 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

f(x)=43x−1; x1=1, x2=3f(x)=\frac{4}{3x-1};\ x_1=1,\ x_2=3

영어 원문 보기

For the following exercises, use Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} to find the slope of the secant line between the values x1{x}_{1} and x2{x}_{2} for each function y=f(x).y=f(x).

f(x)=43x−1;x1=1,x2=3f(x)=\frac{4}{3x-1};{x}_{1}=1,{x}_{2}=3

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두 점을 지나는 할선의 기울기는 두 점의 yy 좌표 차를 xx 좌표 차로 나눈 평균변화율이에요.

  1. 1

    두 점의 함숫값을 구해요. f(1)=43−1=2f(1)=\dfrac{4}{3-1}=2, f(3)=49−1=12f(3)=\dfrac{4}{9-1}=\dfrac{1}{2} 예요. 따라서 두 점은 (1,2)(1,2), (3,12)\left(3,\tfrac12\right) 이에요.

  2. 2

    기울기 공식에 넣어요. Q=f(3)−f(1)3−1=12−22=−322=−34Q=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{\frac12-2}{2}=\frac{-\frac32}{2}=-\frac34

답

−34-\dfrac{3}{4}

자주 하는 실수

분모 3x−13x-1 에 xx 를 넣을 때 3⋅3−1=83\cdot 3-1=8 을 3⋅3−1=63\cdot 3-1=6 처럼 계산 실수하는 경우가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

−34-\frac{3}{4}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번
# 평균변화율과 미분계수계산기본
3.OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hm_{\tan}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 를 써서 접선의 기울기 mtan⁡=f′(a)m_{\tan}=f'(a) 를 구하세요. b. x=ax=a 에서 ff 의 접선의 방정식을 구하세요.

f(x)=x2+x, a=1f(x)=x^{2}+x,\ a=1

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h{m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} to find the slope of the tangent line mtan⁡=f′(a),{m}_{\tan }={f}^{'}(a), and b. find an equation of the tangent line to ff at x=a.x=a.

f(x)=x2+x,a=1f(x)={x}^{2}+x,a=1

답 쓰고 채점
(a)
(b)
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미분계수는 정의대로 극한을 구하고, 접선은 점 (a,f(a))(a,f(a)) 와 그 기울기로 직선을 세워요.

  1. 1

    (a) 필요한 값을 준비해요. f(1)=12+1=2f(1)=1^2+1=2 이고 f(1+h)=(1+h)2+(1+h)=2+3h+h2f(1+h)=(1+h)^2+(1+h)=2+3h+h^2 이에요.

  2. 2

    차를 구해서 hh 로 나눠요.

    f(1+h)−f(1)h=3h+h2h=3+h\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3h+h^2}{h}=3+h

  3. 3

    극한을 취해요. h→0h\to0 이면 3+h→33+h\to3 이므로 f′(1)=3f'(1)=3 이에요.

  4. 4

    (b) 접선을 세워요. 접점은 (1,2)(1,2), 기울기는 33 이므로 y−2=3(x−1)y-2=3(x-1) 이고 정리하면 y=3x−1y=3x-1 이에요.

답

(a) 33 (b) y=3x−1y=3x-1

자주 하는 실수

hh 로 나누기 전에 h→0h\to0 을 먼저 넣어 0/00/0 이 되어 막혀요. 먼저 식을 정리해 hh 를 약분해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 33 b. y=3x−1y=3x-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번
# 평균변화율과 미분계수계산보통
4.OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번우리말 풀이

다음 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 써서 f′(a)f'(a) 를 구하세요.

f(x)=x, a=4f(x)=\sqrt{x},\ a=4

영어 원문 보기

For the following functions y=f(x),y=f(x), find f′(a){f}^{'}(a) using f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a{f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

f(x)=x,a=4f(x)=\sqrt{x},a=4

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x−2\sqrt{x}-2 처럼 제곱근이 있는 분자는 켤레식 x+2\sqrt{x}+2 를 곱해서 x−4x-4 를 만들면 약분돼요.

  1. 1

    식을 세워요. f(4)=4=2f(4)=\sqrt4=2 이므로

    f′(4)=lim⁡x→4x−2x−4f'(4)=\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}

    대입하면 00\dfrac00 꼴이라 식을 바꿔야 해요.

  2. 2

    분자를 유리화해요. 분자와 분모에 x+2\sqrt{x}+2 를 곱하면 (x−2)(x+2)=x−4(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4 가 돼요.

    (x−2)(x+2)(x−4)(x+2)=x−4(x−4)(x+2)\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}

  3. 3

    약분하고 극한을 구해요. x≠4x\ne4 이므로 x−4x-4 를 약분하면 1x+2\dfrac{1}{\sqrt{x}+2} 이고, x→4x\to4 이면 12+2=14\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14 이에요.

답

14\dfrac14

자주 하는 실수

x−2\sqrt{x}-2 를 x−4\sqrt{x-4} 처럼 합쳐서 계산하거나, 켤레식을 분자에만 곱해요.

원본 교재 풀이(영어)

14\frac{1}{4}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번
# 평균변화율과 미분계수계산보통
5.OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번우리말 풀이

다음 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용해 f′(a)f'(a) 를 구하세요.

f(x)=1x3, a=1f(x)=\dfrac{1}{x^3},\ a=1

영어 원문 보기

For the following functions y=f(x),y=f(x), find f′(a){f}^{'}(a) using f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a{f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

f(x)=1x3,a=1f(x)=\frac{1}{{x}^{3}},a=1

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분수식은 먼저 통분하고, 0/00/0 꼴이 되면 인수분해해서 x−1x-1 을 약분해요.

  1. 1

    정의 식에 대입해요. f(1)=1f(1)=1 이므로 f′(1)=lim⁡x→11x3−1x−1f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^3}-1}{x-1}

  2. 2

    분자를 통분해요. 1x3−1=1−x3x3\dfrac{1}{x^3}-1=\dfrac{1-x^3}{x^3} 이므로 1−x3x3(x−1)\frac{1-x^3}{x^3(x-1)} 이 돼요. 그대로 x=1x=1 을 넣으면 00\frac00 꼴이라 더 정리해야 해요.

  3. 3

    인수분해로 약분해요. 1−x3=−(x−1)(x2+x+1)1-x^3=-(x-1)(x^2+x+1) 이므로 −(x−1)(x2+x+1)x3(x−1)=−x2+x+1x3(x≠1)\frac{-(x-1)(x^2+x+1)}{x^3(x-1)}=-\frac{x^2+x+1}{x^3}\quad(x\neq 1)

  4. 4

    극한값을 구해요. x→1x\to 1 이면 −1+1+11=−3-\dfrac{1+1+1}{1}=-3 이에요. 그러므로 f′(1)=−3f'(1)=-3 이에요.

답

−3-3

자주 하는 실수

1−x31-x^3 의 부호를 잘못 처리해 답의 부호가 바뀌는 실수가 많아요. x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) 에서 부호를 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

−3-3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 8번
# 평균변화율과 미분계수계산보통