문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

삼각함수의 미분

sin x, cos x, tan x 등의 도함수를 구한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.5절 · 26번우리말 번역

[계산기 사용] 용수철에 매달린 추가 단순조화운동으로 위아래로 진동하며, 이 운동은 함수 $s(t)=-6\cos t$ 로 나타내어진다. 여기서 $s$ 는 인치 단위이고 $t$ 는 초 단위이다. $t=5$ s 일 때 용수철이 진동하는 속도(변화율)을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A mass on a spring bounces up and down in simple harmonic motion, modeled by the function $s(t)=-6\cos t$ where $s$ is measured in inches and $t$ is measured in seconds. Find the rate at which the spring is oscillating at $t=5$ s.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 21번

# 삼각함수의 미분활용자동 분류

2.OpenStax 1권 · 3.5절 · 27번우리말 번역

단순조화운동을 하는 진자의 위치가 $s(t)=a\cos t+b\sin t$ 로 주어진다고 하자. 여기서 $a$ 와 $b$ 는 상수이고, $t$ 는 시간(초), $s$ 는 위치(cm)이다. $t=0$ 일 때 위치가 0 cm 이고 속도가 3 cm/s 이면, $a$ 와 $b$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let the position of a swinging pendulum in simple harmonic motion be given by $s(t)=a\cos t+b\sin t$ where $a$ and $b$ are constants, $t$ measures time in seconds, and $s$ measures position in centimeters. If the position is 0 cm and the velocity is 3 cm/s when $t=0$ , find the values of $a$ and $b$ .

정답·풀이 보기

$a=0,b=3$

원본 교재 풀이(영어)

$a=0,b=3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 23번

# 삼각함수의 미분활용자동 분류

3.OpenStax 1권 · 3.5절 · 29번우리말 번역

캘리포니아주 패서디나의 한 패스트푸드 식당에서 팔리는 햄버거의 수가 $y=10+5\sin x$ 로 주어진다. 여기서 $y$ 는 팔린 햄버거의 수이고, $x$ 는 오전 11시에 식당이 문을 연 뒤부터 오후 11시에 문을 닫을 때까지 지난 시간(시간 단위)을 나타낸다. $y'$ 을 구하고, 팔리는 햄버거의 수가 증가하는 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

The number of hamburgers sold at a fast-food restaurant in Pasadena, California, is given by $y=10+5\sin x$ where $y$ is the number of hamburgers sold and $x$ represents the number of hours after the restaurant opened at 11 a.m. until 11 p.m., when the store closes. Find $y'$ and determine the intervals where the number of burgers being sold is increasing.

정답·풀이 보기

${y}^{'}=5\cos (x)$ 이고, 증가하는 구간은 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right),\left(\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\right)$ , 그리고 $\left(\frac{7\pi }{2},12\right)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${y}^{'}=5\cos (x),$ increasing on $\left(0,\frac{\pi }{2}\right),\left(\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\right),$ and $\left(\frac{7\pi }{2},12\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 11번

# 삼각함수의 미분활용자동 분류

4.Active Calculus · 2.4절 · 8번우리말 번역

수직으로 움직이는 물체의 시각 $t$ 에서의 높이(단위: 피트, 시간 단위: 초)가 함수 $h(t) = 3 + \frac{2\cos(t)}{1.2^t}$ 로 주어져 있습니다.

(a) $t =2$ 일 때 물체의 순간 속도는 얼마인지 구하세요. (b) 순간 $t = 2$ 에서 물체의 가속도는 얼마인지 구하세요. (c) 순간 $t = 2$ 에서 물체의 움직임을 일상적인 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

An object moving vertically has its height at time $t$ (measured in feet, with time in seconds) given by the function $h(t) = 3 + \frac{2\cos(t)}{1.2^t}$ .

(a) What is the object's instantaneous velocity when $t =2$ ? (b) What is the object's acceleration at the instant $t = 2$ ? (c) Describe in everyday language the behavior of the object at the instant $t = 2$ .

정답·풀이 보기

(a) $t=2$ 에서 물체의 순간 속도는 $h'(2)$ 이다. $h(t) = 3 + \frac{2\cos(t)}{1.2^t}$ 이므로 몫의 미분법에 의해 다음을 얻는다. $\begin{aligned}h'(t) &= \frac{1.2^t \cdot (-2\sin(t)) - 2\cos(t) \cdot 1.2^t \ln(1.2)}{(1.2^t)^2} \\ &= \frac{1.2^t (-2\sin(t) - 2\cos(t) \ln(1.2))}{(1.2^t)^2} \\ &= \frac{-2\sin(t) - 2\cos(t) \ln(1.2)}{1.2^t}\end{aligned}\,.$ 따라서 $h'(2) = \frac{-2\sin(2) - 2\cos(2) \ln(1.2)}{1.2^2} \approx -1.1575$ 초당 피트가 $t=2$ 에서 물체의 순간(수직) 속도이다. (b) $t=2$ 에서 물체의 가속도를 구하려면 $h''(2)$ 를 계산한다. 먼저 몫의 미분법에 의해 $\begin{aligned}h''(t) &= \frac{1.2^t(-2\cos(t) + 2\sin(t) \ln(1.2)) - (-2\sin(t) - 2\cos(t) \ln(1.2))1.2^t \ln(1.2)}{(1.2^t)^2} \\ &= \frac{-2\cos(t) + 2\sin(t) \ln(1.2)) + 2\sin(t)\ln(1.2) + 2\cos(t) \ln^2(1.2)}{1.2^t} \\ &= \frac{\cos(t)(-2 + 2\ln^2(1.2)) + 4\ln(1.2)\sin(t))}{1.2^t}\end{aligned}\,.$ 그러므로 $t = 2$ 에서의 가속도는 $h''(2) = \frac{\cos(2)(-2 + 2\ln^2(1.2)) + 4\ln(1.2)\sin(2))}{1.2^2} \approx 1.0193$ 초당 피트 매 초이다. (c) $t=2$ 에서 물체는 떨어지고 있으며 속력이 줄어들고 있다. 속도가 음수이므로 물체가 떨어지고 있음을 알 수 있고, (음수인) 속도가 증가하고 있으므로( $h''(2)$ 가 양수이기 때문) 속도가 0에 가까워져 덜 음수가 되므로 속력이 줄어들고 있음을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The object's instantaneous velocity at $t=2$ is given by $h'(2)$ . Since $h(t) = 3 + \frac{2\cos(t)}{1.2^t}$ , by the quotient rule we can determine that $\begin{aligned}h'(t) &= \frac{1.2^t \cdot (-2\sin(t)) - 2\cos(t) \cdot 1.2^t \ln(1.2)}{(1.2^t)^2} \\ &= \frac{1.2^t (-2\sin(t) - 2\cos(t) \ln(1.2))}{(1.2^t)^2} \\ &= \frac{-2\sin(t) - 2\cos(t) \ln(1.2)}{1.2^t}\end{aligned}\,.$ Thus, $h'(2) = \frac{-2\sin(2) - 2\cos(2) \ln(1.2)}{1.2^2} \approx -1.1575$ feet per second is the instanateous (vertical) velocity of the object at $t=2$ . (b) To find the object's acceleration at $t=2$ , we compute $h''(2)$ . First, by the quotient rule, $\begin{aligned}h''(t) &= \frac{1.2^t(-2\cos(t) + 2\sin(t) \ln(1.2)) - (-2\sin(t) - 2\cos(t) \ln(1.2))1.2^t \ln(1.2)}{(1.2^t)^2} \\ &= \frac{-2\cos(t) + 2\sin(t) \ln(1.2)) + 2\sin(t)\ln(1.2) + 2\cos(t) \ln^2(1.2)}{1.2^t} \\ &= \frac{\cos(t)(-2 + 2\ln^2(1.2)) + 4\ln(1.2)\sin(t))}{1.2^t}\end{aligned}\,.$ Therefore, the acceleration at $t = 2$ is $h''(2) = \frac{\cos(2)(-2 + 2\ln^2(1.2)) + 4\ln(1.2)\sin(2))}{1.2^2} \approx 1.0193$ feet per second per second. (c) At $t=2$ , the object is falling and slowing down. We know the object is falling because its velocity is negative, and slowing down because its negative velocity is increasing (due to $h''(2)$ being positive) and thus getting less negative.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 27번

# 삼각함수의 미분활용자동 분류