삼각함수의 미분 연습문제

1.OpenStax 1권 · 3.5절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 각 함수에 대해, 지시된 $x$ 의 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선을 함께 그래프로 그려서 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] $f(x)=-\sin x,x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of $x.$ Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

[T] $f(x)=-\sin x,x=0$

정답·풀이 보기

$y=-x$

그래프에는 −sin(x)의 그래프와, 기울기가 −1이고 y절편이 0인 직선 T(x)가 나타나 있다.

원본 교재 풀이(영어)

$y=-x$

The graph shows negative sin(x) and the straight line T(x) with slope −1 and y intercept 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 26번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 1권 · 3.5절 · 12번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 각 함수에 대해, 지시된 $x$ 의 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선을 함께 그래프로 그려서 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] $f(x)=\csc x,x=\frac{\pi }{2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of $x.$ Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

[T] $f(x)=\csc x,x=\frac{\pi }{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 13번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 1권 · 3.5절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 각 함수에 대해, 지시된 $x$ 의 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선을 함께 그래프로 그려서 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] $f(x)=1+\cos x,x=\frac{3\pi }{2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of $x.$ Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

[T] $f(x)=1+\cos x,x=\frac{3\pi }{2}$

정답·풀이 보기

$y=x+\frac{2-3\pi }{2}$

그래프에는 코사인 함수를 위로 1만큼 평행이동한 그래프와, 기울기가 1이고 y절편이 (2 – 3π)/2인 직선 T(x)가 나타나 있다.

원본 교재 풀이(영어)

$y=x+\frac{2-3\pi }{2}$

The graph shows the cosine function shifted up one and has the straight line T(x) with slope 1 and y intercept (2 – 3π)/2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 24번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 1권 · 3.5절 · 14번우리말 번역

다음 문제에 대해 주어진 각 함수에 대해, 지시된 $x$ 의 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선을 함께 그래프로 그려서 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] $f(x)=\sec x,x=\frac{\pi }{4}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of $x.$ Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

[T] $f(x)=\sec x,x=\frac{\pi }{4}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 19번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 3.5절 · 15번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 각 함수의 지정된 $x$ 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 모두 그려 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] $f(x)={x}^{2}-\tan x,\,x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of $x.$ Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

[T] $f(x)={x}^{2}-\tan x,\,x=0$

정답·풀이 보기

$y=-x$

그래프는 이 함수가 (−1, 3)에서 시작하여 원점까지 감소하고, 계속해서 완만하게 감소하여 약 (1, −0.5)에 이르며, 그 지점에서 매우 빠르게 감소하는 모습을 보여 준다.

원본 교재 풀이(영어)

$y=-x$

The graph shows the function as starting at (−1, 3), decreasing to the origin, continuing to slowly decrease to about (1, −0.5), at which point it decreases very quickly.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 2번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 1권 · 3.5절 · 16번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 각 함수의 지정된 $x$ 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 모두 그려 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] $f(x)=5\cot x,\,x=\frac{\pi }{4}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to each of the given functions at the indicated values of $x.$ Then use a calculator to graph both the function and the tangent line to ensure the equation for the tangent line is correct.

[T] $f(x)=5\cot x,\,x=\frac{\pi }{4}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 29번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 1권 · 3.5절 · 23번우리말 번역

접선이 수평인 함수 $f(x)=-3\sin x\cos x$ 의 그래프 위의 모든 $x$ 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find all $x$ values on the graph of $f(x)=-3\sin x\cos x$ where the tangent line is horizontal.

정답·풀이 보기

$\frac{(2n+1)\pi }{4},\text{where}\,n\text{is an integer}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(2n+1)\pi }{4},\text{where}\,n\text{is an integer}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 21번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 3.5절 · 24번우리말 번역

$0<x<2\pi$ 에서 함수 $f(x)=x-2\cos x$ 의 그래프 위의 점 중 접선의 기울기가 2인 모든 $x$ 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find all $x$ values on the graph of $f(x)=x-2\cos x$ for $0<x<2\pi$ where the tangent line has slope 2.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.4절 · 10번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 1권 · 3.5절 · 28번우리말 번역

다이버가 뛰어내린 뒤 다이빙 보드의 끝부분은 진동하며, 뛰어내린 지 $t$ 초 후의 위치는 $s(t)=-5\cos t$ cm 로 주어진다.

a. $t\ge 0$ 에서 위치 함수의 한 주기만큼 그래프를 그리세요. b. 속도 함수를 구하세요. c. $t\ge 0$ 에서 속도 함수의 한 주기만큼 그래프를 그리세요. d. 한 주기 동안 속도가 0 이 되는 시각을 구하세요. e. 가속도 함수를 구하세요. f. $t\ge 0$ 에서 가속도 함수의 한 주기만큼 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

After a diver jumps off a diving board, the edge of the board oscillates with position given by $s(t)=-5\cos t$ cm at $t$ seconds after the jump.

a. Sketch one period of the position function for $t\ge 0.$ b. Find the velocity function. c. Sketch one period of the velocity function for $t\ge 0.$ d. Determine the times when the velocity is 0 over one period. e. Find the acceleration function. f. Sketch one period of the acceleration function for $t\ge 0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 27번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류

10.CLP-1 · 2.8절 · 1번우리말 번역

사인함수와 코사인함수의 그래프를 $x=-2\pi$ 부터 $x=2\pi$ 까지 같은 좌표축 위에 그리세요. $\sin x$ 가 수평인 접선을 갖는 점들을 표시하세요. 이 점들은 코사인함수의 그래프에서 무엇에 해당하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Graph sine and cosine on the same axes, from $x=-2\pi$ to $x=2\pi$ . Mark the points where $\sin x$ has a horizontal tangent. What do these points correspond to, on the graph of cosine?

정답·풀이 보기

함수 $f(x)=\sin x$ 의 그래프는 정확히 $\cos x=0$ 인 점들에서 수평인 접선을 갖는다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin x\}=\cos x$ 이므로 이는 반드시 성립한다. 사인함수의 도함수가 0인 곳에서 코사인함수 자체도 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

The graph $f(x)=\sin x$ has horizontal tangent lines precisely at those points where $\cos x=0$ . This must be true, since $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin x\}=\cos x$ : where the derivative of sine is zero, cosine itself is zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 11번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석기본자동 분류

11.CLP-1 · 2.8절 · 2번우리말 번역

같은 좌표축에 $x=-2\pi$ 부터 $x=2\pi$ 까지 사인 함수와 코사인 함수의 그래프를 그리세요. $\sin x$ 의 접선의 기울기가 최대(양수)인 점들을 표시하세요. 이 점들은 코사인 함수의 그래프에서 무엇에 해당하나요?

영어 원문 보기

Graph sine and cosine on the same axes, from $x=-2\pi$ to $x=2\pi$ . Mark the points where $\sin x$ has a tangent line of maximum (positive) slope. What do these points correspond to, on the graph of cosine?

정답·풀이 보기

함수 $f(x)=\sin x$ 의 그래프는 $\cos x$ 가 최댓값을 갖는 점에서 기울기가 최대이다. $f'(x)=\cos x$ 이므로 이는 타당하다. 사인 함수의 기울기의 최댓값은 코사인 함수의 최댓값에 대응한다.

원본 교재 풀이(영어)

The graph $f(x)=\sin x$ has maximum slope at those points where $\cos x$ has a maximum. This makes sense, because $f'(x)=\cos x$ : the maximum values of the slope of sine correspond to the maximum values of cosine.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 18번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석기본자동 분류

12.CLP-1 · 2.8절 · 15번우리말 번역

$x=\dfrac{\pi}{2}$ 에서 $y=\cos(x)+2x$ 의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equation of the line tangent to the graph of $y=\cos(x)+2x$ at $x=\dfrac{\pi}{2}$ .

정답·풀이 보기

$\cos(x)+2x$ 의 도함수를 구하면 $-\sin(x)+2$ 이고, $x=\frac{\pi}{2}$ 에서의 미분계수는 $-1+2=1$ 이다. 또 $\cos(\pi/2)+2(\pi/2)=0+\pi$ 이므로 접선의 방정식은

$\begin{aligned} y - \pi = 1\cdot (x-\pi/2). \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We compute the derivative of $\cos(x)+2x$ as being $-\sin(x)+2$ , which evaluated at $x=\frac{\pi}{2}$ yields $-1+2=1$ . Since we also compute $\cos(\pi/2)+2(\pi/2)=0+\pi$ , then the equation of the tangent line is

$\begin{aligned} y - \pi = 1\cdot (x-\pi/2). \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 14번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석보통자동 분류

13.CLP-1 · 2.8절 · 24번우리말 번역

$x=\dfrac{\pi}{4}$ 에서 $y=\tan(x)$ 의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equation of the line tangent to the graph of $y=\tan(x)$ at $x=\dfrac{\pi}{4}$ .

정답·풀이 보기

$\tan(x)$ 의 도함수는 $\sec^2(x)$ 이고, 이를 $x=\frac{\pi}{4}$ 에서 계산하면 $2$ 이다. 또한 $\tan(\pi/4)=1$ 이므로 접선의 방정식은

$\begin{aligned} y - 1 = 2\cdot (x-\pi/4). \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

We compute the derivative of $\tan(x)$ as being $\sec^2(x)$ , which evaluated at $x=\frac{\pi}{4}$ yields $2$ . Since we also compute $\tan(\pi/4)=1$ , then the equation of the tangent line is

$\begin{aligned} y - 1 = 2\cdot (x-\pi/4). \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 25번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석도전자동 분류

14.CLP-1 · 2.8절 · 25번우리말 번역

$x=0$ 에서 $y=\sin(x)+\cos(x)+e^x$ 의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equation of the line tangent to the graph of $y=\sin(x)+\cos(x)+e^x$ at $x=0$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

도함수 $y' = \cos(x)-\sin(x)+e^x$ 을 구하고, 이를 $x=0$ 에서 계산하면 $1-0+1 = 2$ 이다. 또한 $y(0)=0+1+1=2$ 이므로 접선의 방정식은

$\begin{aligned} y - 2 = 2(x-0) \end{aligned}$

즉 $y=2x+2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We compute the derivative $y' = \cos(x)-\sin(x)+e^x$ , which evaluated at $x=0$ yields $1-0+1 = 2$ . Since we also compute $y(0)=0+1+1=2$ , the equation of the tangent line is

$\begin{aligned} y - 2 = 2(x-0) \end{aligned}$

ie $y=2x+2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 29번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석도전자동 분류

15.Active Calculus · 2.2절 · 4번우리말 번역

$V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ 가 $t$ 년도의 어떤 사람의 투자 포트폴리오 가치(단위: 천 달러)를 나타낸다고 하자. 여기서 $t = 0$ 은 2010년 1월 1일에 해당한다.

(a) 2012년 1월 1일에 포트폴리오의 가치는 순간적으로 어떤 비율로 변하고 있습니까? 답에 단위를 포함하세요. (b) $V''(2)$ 의 값을 구하세요. 이 양의 단위는 무엇이며, 이것은 포트폴리오의 가치가 어떻게 변하고 있는지에 대해 무엇을 알려 줍니까? (c) 구간 $0 \le t \le 20$ 에서 함수 $V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ 의 그래프를 그리고, 문제의 상황에 맞게 그 변화 양상을 설명하세요. 그런 다음 함수 $A(t) = 24 \cdot 1.07^t$ 와 $V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ 의 그래프, 그리고 그 도함수 $A'(t)$ 와 $V'(t)$ 의 그래프를 비교하세요. 항 $6 \sin(t)$ 는 함수 $V(t)$ 의 변화 양상에 어떤 영향을 줍니까?

영어 원문 보기

Suppose that $V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ represents the value of a person's investment portfolio in thousands of dollars in year $t$ , where $t = 0$ corresponds to January 1, 2010.

(a) At what instantaneous rate is the portfolio's value changing on January 1, 2012? Include units on your answer. (b) Determine the value of $V''(2)$ . What are the units on this quantity and what does it tell you about how the portfolio's value is changing? (c) On the interval $0 \le t \le 20$ , graph the function $V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ and describe its behavior in the context of the problem. Then, compare the graphs of the functions $A(t) = 24 \cdot 1.07^t$ and $V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ , as well as the graphs of their derivatives $A'(t)$ and $V'(t)$ . What is the impact of the term $6 \sin(t)$ on the behavior of the function $V(t)$ ?

정답·풀이 보기

(a) 2012년 1월 1일은 $t = 2$ 인 순간에 해당하므로 $V'(2)$ 를 계산한다. 먼저 합의 법칙과 상수배 법칙에 의해 $V'(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(t)$ 임을 알 수 있다. 따라서 $V'(2) = 24 \cdot 1.07^2 \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(2) \approx -0.63778$ 이다. $V$ 는 천 달러 단위로, $t$ 는 년 단위로 측정되므로, 2012년 1월 1일에 포트폴리오의 가치는 1년당 $637.78$ 달러의 비율로 감소하고 있음을 알 수 있다. (b) $V'(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(t)$ 이므로 $V''(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot (\ln(1.07))^2 - 6 \sin(t)$ 이고, 따라서 $V''(2) = 24 \cdot 1.07^2 \cdot \ln(1.07)^2 - 6 \sin(2) \approx -5.33$ 이며 단위는 “천 달러/년/년”이다. 이는 $t = 2$ 인 시점 부근에서 포트폴리오의 가치가 감소하고 있으며 동시에 가치 함수가 위로 볼록임을 뜻한다. 더 구체적으로, $t = 2$ 인 순간에 $V'$ 은 감소하고 있고, 도함수의 값은 다음 1년 동안 약 $5.33$ 천 달러/년만큼 감소할 것으로 예상된다. 다시 말해 포트폴리오의 가치는 감소하고 있을 뿐만 아니라, 해가 지날수록 더 빠르게 감소할 것으로 예상된다. (c) 아래 그림에는 $V$ 와 $A$ 의 그래프와 각각에 대응하는 도함수의 그래프가 나타나 있다. 함수 $A$ 는 순수한 지수함수로서 항상 증가하며 증가하는 비율도 계속 커진다. $A$ 에 항 $6\sin(t)$ 를 더하여 함수 $V$ 를 만들면 포트폴리오 가치에 변동성이 더해진다. 사인함수가 진동하는 성질 때문에 주식 가치뿐만 아니라 그 변화율에도 변동이 생긴다. 또한 시간이 지나 $24 \cdot (1.07)^t$ 의 값이 커질수록 $6 \sin(t)$ 의 영향은 줄어듦을 알 수 있다. A(t) = 24 곱하기 1.07의 t제곱 과 V(t) = 24 곱하기 1.07의 t제곱 + 6 sin(t) 의 그래프, 그리고 그 도함수 A'(t) = 24 ln(1.07) 곱하기 1.07의 t제곱 과 V'(t) = 24 ln(1.07) 곱하기 1.07의 t제곱 + 6 cos(t) 의 그래프.

원본 교재 풀이(영어)

(a) January 1, 2012 corresponds to the instant $t = 2$ , so we compute $V'(2)$ . First, we observe by the sum and constant multiple rules that $V'(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(t)$ . Thus, $V'(2) = 24 \cdot 1.07^2 \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(2) \approx -0.63778$ . Since $V$ is measured in thousands of dollars and $t$ in years, we know that the portfolio's value is decreasing at a rate of $637.78$ dollars per year on January 1, 2012. (b) Since $V'(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(t)$ , it follows that $V''(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot (\ln(1.07))^2 - 6 \sin(t)$ , and thus $V''(2) = 24 \cdot 1.07^2 \cdot \ln(1.07)^2 - 6 \sin(2) \approx -5.33$ , with units “thousands of dollars per year per year”. This means that around the time that $t = 2$ , the portfolio's value is decreasing at while the value function is concave down. More specifically, we know that $V'$ is decreasing at the moment $t = 2$ and expect the derivative's value to decrease by about $5.33$ thousand dollars per year over the course of the next year. In other words, the portfolio's value is not only decreasing, but we expect it to decrease more rapidly as the year goes on. (c) In the figure below, we see plots of both $V$ and $A$ along with their corresponding derivatives. We see that the function $A$ is a purely exponential function that always increases at an increasing rate. By adding the term $6\sin(t)$ to $A$ to create the function $V$ , we add volatility to the value of the portfolio: the oscillating nature of the sine function not only creates variance in the stock's value, but also in its rate of change. We also observe that as time progresses and the value of $24 \cdot (1.07)^t$ increases, the effect of $6 \sin(t)$ lessens. The graphs of A(t) = 24 cdot 1.07 t and V(t) = 24 cdot 1.07 t + 6 sin(t), as well as their derivatives A'(t) = 24 ln(1.07) 1.07 t and V'(t) = 24 ln(1.07) 1.07 t + 6 cos(t).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 7번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류