빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

삼각함수의 미분

sin x, cos x, tan x 등의 도함수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

49문제 · 1 / 3쪽

1.OpenStax 1권 · 3.5절 · 1번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=x2−sec⁡x+1y={x}^{2}-\sec x+1

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=x2−sec⁡x+1y={x}^{2}-\sec x+1

풀이 보기

항별로 미분하고, (sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)'=\sec x\tan x 를 써요.

  1. 1

    합·차로 이어진 식은 항마다 따로 미분해도 돼요.

  2. 2

    (x2)′=2x(x^2)'=2x, (sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)'=\sec x\tan x, 상수 11 의 미분은 00 이에요.

    dydx=2x−sec⁡xtan⁡x+0=2x−sec⁡xtan⁡x\frac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x+0=2x-\sec x\tan x

답

dydx=2x−sec⁡xtan⁡x\dfrac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x

자주 하는 실수

(sec⁡x)′(\sec x)' 를 sec⁡2x\sec^2x 로 착각해요. sec⁡2x\sec^2x 는 tan⁡x\tan x 의 도함수예요.

원본 교재 풀이(영어)

dydx=2x−sec⁡xtan⁡x\frac{dy}{dx}=2x-\sec x\tan x

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 25번
# 삼각함수의 미분계산기본
2.OpenStax 1권 · 3.5절 · 9번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=1−cot⁡x1+cot⁡xy=\frac{1-\cot x}{1+\cot x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=1−cot⁡x1+cot⁡xy=\frac{1-\cot x}{1+\cot x}

풀이 보기

분수식이므로 몫의 미분법 (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} 을 쓰고, (cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)'=-\csc^2x 를 이용해요.

  1. 1

    분자 u=1−cot⁡xu=1-\cot x, 분모 v=1+cot⁡xv=1+\cot x 로 놓아요. (cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)'=-\csc^2x 이므로

    u′=csc⁡2x,v′=−csc⁡2xu'=\csc^2x,\qquad v'=-\csc^2x

  2. 2

    몫의 미분법에 넣어요.

    dydx=csc⁡2x(1+cot⁡x)−(1−cot⁡x)(−csc⁡2x)(1+cot⁡x)2\frac{dy}{dx}=\frac{\csc^2x(1+\cot x)-(1-\cot x)(-\csc^2x)}{(1+\cot x)^2}

  3. 3

    분자에서 csc⁡2x\csc^2x 로 묶고 정리해요.

    csc⁡2x[(1+cot⁡x)+(1−cot⁡x)]=2csc⁡2x\csc^2x\big[(1+\cot x)+(1-\cot x)\big]=2\csc^2x

    따라서

    dydx=2csc⁡2x(1+cot⁡x)2\frac{dy}{dx}=\frac{2\csc^2x}{(1+\cot x)^2}

답

dydx=2csc⁡2x(1+cot⁡x)2\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\csc^{2}x}{(1+\cot x)^{2}}

자주 하는 실수

(cot⁡x)′(\cot x)' 의 부호 −- 를 빠뜨리거나, 몫의 미분법에서 분자의 빼는 순서를 바꿔요.

원본 교재 풀이(영어)

dydx=2csc⁡2x(1+cot⁡x)2\frac{dy}{dx}=\frac{2{\csc }^{2}x}{{(1+\cot x)}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 1번
# 삼각함수의 미분계산보통
3.OpenStax 1권 · 3.5절 · 17번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 d2ydx2\frac{d^{2}y}{dx^{2}} 를 구하세요.

y=xsin⁡x−cos⁡xy=x\sin x-\cos x

영어 원문 보기

For the following exercises, find d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} for the given functions.

y=xsin⁡x−cos⁡xy=x\sin x-\cos x

답 쓰고 채점
풀이 보기

이계도함수는 미분을 두 번 하면 돼요. 한 번 미분한 결과를 다시 미분해요.

  1. 1

    먼저 한 번 미분해요. xsin⁡xx\sin x 는 곱의 미분법, (−cos⁡x)′=sin⁡x(-\cos x)'=\sin x 예요.

    dydx=sin⁡x+xcos⁡x+sin⁡x=2sin⁡x+xcos⁡x\frac{dy}{dx}=\sin x+x\cos x+\sin x=2\sin x+x\cos x

  2. 2

    한 번 더 미분해요. (2sin⁡x)′=2cos⁡x(2\sin x)'=2\cos x 이고 xcos⁡xx\cos x 는 곱의 미분법으로 cos⁡x−xsin⁡x\cos x-x\sin x 예요.

    d2ydx2=2cos⁡x+cos⁡x−xsin⁡x=3cos⁡x−xsin⁡x\frac{d^2y}{dx^2}=2\cos x+\cos x-x\sin x=3\cos x-x\sin x

답

d2ydx2=3cos⁡x−xsin⁡x\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=3\cos x-x\sin x

자주 하는 실수

(cos⁡x)′(\cos x)' 의 부호를 틀리거나 첫 번째 미분에서 sin⁡x\sin x 가 두 번 나오는 것을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

3cos⁡x−xsin⁡x3\cos x-x\sin x

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.2절 · 6번
# 삼각함수의 미분계산보통
4.OpenStax 1권 · 3.5절 · 25번우리말 풀이

f(x)=cot⁡xf(x)=\cot x 라 하자. 0<x<2π0<x<2\pi 에서 접선이 직선 y=−2xy=-2x 와 평행한 점들을 그래프 위에서 구하세요.

영어 원문 보기

Let f(x)=cot⁡x.f(x)=\cot x. Determine the points on the graph of ff for 0<x<2π0<x<2\pi where the tangent line(s) is (are) parallel to the line y=−2x.y=-2x.

답 쓰고 채점
풀이 보기

평행한 직선은 기울기가 같으므로 f′(x)=−2f'(x)=-2 를 만족하는 xx 를 찾아요.

  1. 1

    직선 y=−2xy=-2x 의 기울기는 −2-2 예요. 평행한 접선도 기울기가 −2-2 이므로 f′(x)=−2f'(x)=-2 인 xx 를 구하면 돼요.

  2. 2

    f′(x)=−csc⁡2xf'(x)=-\csc^2x 이므로

    −csc⁡2x=−2 ⟹ csc⁡2x=2 ⟹ sin⁡2x=12-\csc^2x=-2\ \Longrightarrow\ \csc^2x=2\ \Longrightarrow\ \sin^2x=\frac12

  3. 3

    sin⁡x=±22\sin x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2} 이고 0<x<2π0<x<2\pi 이므로 x=π4, 3π4, 5π4, 7π4x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4} 네 개예요.

  4. 4

    각 xx 에 대한 f(x)=cot⁡xf(x)=\cot x 의 값을 구해 점을 완성해요.

    cot⁡π4=1, cot⁡3π4=−1, cot⁡5π4=1, cot⁡7π4=−1\cot\frac{\pi}{4}=1,\ \cot\frac{3\pi}{4}=-1,\ \cot\frac{5\pi}{4}=1,\ \cot\frac{7\pi}{4}=-1

답

(π4,1), (3π4,−1), (5π4,1), (7π4,−1)\left(\frac{\pi}{4},1\right),\ \left(\frac{3\pi}{4},-1\right),\ \left(\frac{5\pi}{4},1\right),\ \left(\frac{7\pi}{4},-1\right)

자주 하는 실수

sin⁡x=22\sin x=\frac{\sqrt2}{2} 인 경우만 구하고 sin⁡x=−22\sin x=-\frac{\sqrt2}{2} 인 경우를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

(π4,1),(3π4,−1),(5π4,1),(7π4,−1)\left(\frac{\pi }{4}, 1\right), \left(\frac{3\pi }{4}, -1\right), \left(\frac{5\pi }{4}, 1\right), \left(\frac{7\pi }{4}, -1\right)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 17번
# 삼각함수의 미분계산보통
5.OpenStax 1권 · 3.5절 · 2번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=3csc⁡x+5xy=3\csc x+\frac{5}{x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=3csc⁡x+5xy=3\csc x+\frac{5}{x}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.2절 · 6번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 1권 · 3.5절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=x2cot⁡xy={x}^{2}\cot x

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=x2cot⁡xy={x}^{2}\cot x

정답·풀이 보기

dydx=2xcot⁡x−x2csc⁡2x\frac{dy}{dx}=2x\cot x-{x}^{2}{\csc }^{2}x

원본 교재 풀이(영어)

dydx=2xcot⁡x−x2csc⁡2x\frac{dy}{dx}=2x\cot x-{x}^{2}{\csc }^{2}x

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.4절 · 10번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 1권 · 3.5절 · 4번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=x−x3sin⁡xy=x-{x}^{3}\sin x

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=x−x3sin⁡xy=x-{x}^{3}\sin x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.4절 · 8번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 1권 · 3.5절 · 5번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=sec⁡xxy=\frac{\sec x}{x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=sec⁡xxy=\frac{\sec x}{x}

정답·풀이 보기

dydx=xsec⁡xtan⁡x−sec⁡xx2\frac{dy}{dx}=\frac{x\sec x\tan x-\sec x}{{x}^{2}}

원본 교재 풀이(영어)

dydx=xsec⁡xtan⁡x−sec⁡xx2\frac{dy}{dx}=\frac{x\sec x\tan x-\sec x}{{x}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 3번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 1권 · 3.5절 · 6번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=sin⁡xtan⁡xy=\sin x\tan x

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=sin⁡xtan⁡xy=\sin x\tan x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 23번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 1권 · 3.5절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=(x+cos⁡x)(1−sin⁡x)y=(x+\cos x)(1-\sin x)

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=(x+cos⁡x)(1−sin⁡x)y=(x+\cos x)(1-\sin x)

정답·풀이 보기

dydx=(1−sin⁡x)(1−sin⁡x)−cos⁡x(x+cos⁡x)\frac{dy}{dx}=(1-\sin x)(1-\sin x)-\cos x(x+\cos x)

원본 교재 풀이(영어)

dydx=(1−sin⁡x)(1−sin⁡x)−cos⁡x(x+cos⁡x)\frac{dy}{dx}=(1-\sin x)(1-\sin x)-\cos x(x+\cos x)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 5번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 1권 · 3.5절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=tan⁡x1−sec⁡xy=\frac{\tan x}{1-\sec x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=tan⁡x1−sec⁡xy=\frac{\tan x}{1-\sec x}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 6번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 1권 · 3.5절 · 10번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=cos⁡x(1+csc⁡x)y=\cos x(1+\csc x)

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given functions.

y=cos⁡x(1+csc⁡x)y=\cos x(1+\csc x)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 19번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 1권 · 3.5절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수에 대해 d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} 을 구하세요.

y=sin⁡xcos⁡xy=\sin x\cos x

영어 원문 보기

For the following exercises, find d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} for the given functions.

y=sin⁡xcos⁡xy=\sin x\cos x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 27번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 1권 · 3.5절 · 19번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수에 대해 d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} 을 구하세요.

y=x−12sin⁡xy=x-\frac{1}{2}\sin x

영어 원문 보기

For the following exercises, find d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} for the given functions.

y=x−12sin⁡xy=x-\frac{1}{2}\sin x

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

12sin⁡x\frac{1}{2}\sin x

원본 교재 풀이(영어)

12sin⁡x\frac{1}{2}\sin x

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 20번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 1권 · 3.5절 · 20번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} 을 구하세요.

y=1x+tan⁡xy=\frac{1}{x}+\tan x

영어 원문 보기

For the following exercises, find d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} for the given functions.

y=1x+tan⁡xy=\frac{1}{x}+\tan x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 14번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 1권 · 3.5절 · 21번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} 을 구하세요.

y=2csc⁡xy=2\csc x

영어 원문 보기

For the following exercises, find d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} for the given functions.

y=2csc⁡xy=2\csc x

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

2csc⁡x(csc⁡2x+cot⁡2x)2\csc x({\csc }^{2}x+{\cot }^{2}x)

원본 교재 풀이(영어)

2csc⁡x(csc⁡2x+cot⁡2x)2\csc x({\csc }^{2}x+{\cot }^{2}x)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 19번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.OpenStax 1권 · 3.5절 · 22번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} 을 구하세요.

y=sec⁡2xy={\sec }^{2}x

영어 원문 보기

For the following exercises, find d2ydx2\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} for the given functions.

y=sec⁡2xy={\sec }^{2}x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 25번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.OpenStax 1권 · 3.5절 · 30번우리말 번역

[계산기 사용] 애리조나주 피닉스의 월별 강수량은 y(t)=0.5+0.3cos⁡ty(t)=0.5+0.3\cos t 로 근사할 수 있다. 여기서 tt 는 1월부터 지난 달 수이다. y′{y}^{'} 을 구하고, 계산기를 이용하여 내리는 비의 양이 감소하는 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The amount of rainfall per month in Phoenix, Arizona, can be approximated by y(t)=0.5+0.3cos⁡t,y(t)=0.5+0.3\cos t, where tt is months since January. Find y′{y}^{'} and use a calculator to determine the intervals where the amount of rain falling is decreasing.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.4절 · 10번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
19.OpenStax 1권 · 3.5절 · 31번우리말 번역

다음 연습문제에서 몫의 미분법을 이용하여 주어진 등식을 유도하세요.

ddx(cot⁡x)=−csc⁡2x\frac{d}{dx}(\cot x)=-{\csc }^{2}x

영어 원문 보기

For the following exercises, use the quotient rule to derive the given equations.

ddx(cot⁡x)=−csc⁡2x\frac{d}{dx}(\cot x)=-{\csc }^{2}x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.2절 · 4번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.OpenStax 1권 · 3.5절 · 32번우리말 번역

다음 연습문제에서 몫의 미분법을 이용하여 주어진 등식을 유도하세요.

ddx(sec⁡x)=sec⁡xtan⁡x\frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x

영어 원문 보기

For the following exercises, use the quotient rule to derive the given equations.

ddx(sec⁡x)=sec⁡xtan⁡x\frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 25번
# 삼각함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)