문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분의 활용

원통 껍질법

회전체를 얇은 원통 껍질로 나누어 부피를 구한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

64문제 · 3 / 4쪽

41.OpenStax 1권 · 6.3절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서는 기술을 사용하여 영역의 그래프를 그리세요. 지정된 축을 중심으로 함수를 회전시킬 때 생기는 부피를 계산하는 데 어떤 방법이 가장 쉬울지 판단하세요. 그런 다음, 선택한 방법을 사용하여 부피를 구하세요.

[계산기 사용] $y=3{x}^{3}-2,y=x,\,\text{및}\,x=2$ 를 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use technology to graph the region. Determine which method you think would be easiest to use to calculate the volume generated when the function is rotated around the specified axis. Then, use your chosen method to find the volume.

[T] $y=3{x}^{3}-2,y=x,\,\text{and}\,x=2$ rotated around the $x\text{-axis}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 30번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

42.OpenStax 1권 · 6.3절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서는 기술을 사용하여 영역의 그래프를 그리세요. 지정된 축을 중심으로 함수를 회전시킬 때 생기는 부피를 계산하는 데 어떤 방법이 가장 쉬울지 판단하세요. 그런 다음, 선택한 방법을 사용하여 부피를 구하세요.

[계산기 사용] $y=3{x}^{3}-2,y=x,\,\text{및}\,x=2$ 를 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use technology to graph the region. Determine which method you think would be easiest to use to calculate the volume generated when the function is rotated around the specified axis. Then, use your chosen method to find the volume.

[T] $y=3{x}^{3}-2,y=x,\,\text{and}\,x=2$ rotated around the $y\text{-axis}.$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 있는 그래프이다. 그래프에는 두 곡선이 있다. 첫 번째 곡선은 y=3x^2-2 이고 두 번째 곡선은 y=x 이다. 두 곡선 사이에 색칠된 영역이 있다. 이 영역은 x=1 에서 시작하여 오른쪽은 x=2 로 유계이다.

$\frac{398\pi }{15}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. There are two curves on the graph. The first curve is y=3x^2-2 and the second curve is y=x. Between the curves there is a shaded region. The region begins at x=1 and is bounded to the right at x=2.

$\frac{398\pi }{15}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 2번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

43.OpenStax 1권 · 6.3절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서는 기술을 사용하여 영역의 그래프를 그리세요. 지정된 축을 중심으로 함수를 회전시킬 때 생기는 부피를 계산하는 데 어떤 방법이 가장 쉬울지 판단하세요. 그런 다음, 선택한 방법을 사용하여 부피를 구하세요.

[계산기 사용] $x=\sin (\pi {y}^{2})$ 과 $x=\sqrt{2}y$ 를 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시킨다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use technology to graph the region. Determine which method you think would be easiest to use to calculate the volume generated when the function is rotated around the specified axis. Then, use your chosen method to find the volume.

[T] $x=\sin (\pi {y}^{2})$ and $x=\sqrt{2}y$ rotated around the $x\text{-axis}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 4번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

44.OpenStax 1권 · 6.3절 · 44번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 공학 도구를 사용하여 영역의 그래프를 그리세요. 함수를 주어진 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 부피를 계산하는 데 어떤 방법이 가장 쉬울지 판단하세요. 그런 다음, 선택한 방법을 사용하여 부피를 구하세요.

[계산기 사용] $x={y}^{2},x={y}^{2}-2y+1,\,\text{그리고}\,x=2$ 를 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킵니다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use technology to graph the region. Determine which method you think would be easiest to use to calculate the volume generated when the function is rotated around the specified axis. Then, use your chosen method to find the volume.

[T] $x={y}^{2},x={y}^{2}-2y+1,\,\text{and}\,x=2$ rotated around the $y\text{-axis}.$

정답·풀이 보기

이 그림은 그래프이다. 그래프에는 두 곡선이 있다. 첫 번째 곡선은 x=y^2-2y+1 이며 오른쪽으로 열린 포물선이다. 두 번째 곡선은 x=y^2 이며 오른쪽으로 열린 포물선이다. 두 곡선 사이에 색칠된 영역이 있다. 색칠된 영역은 오른쪽이 x=2 로 유계이다.

$15.9074$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph. There are two curves on the graph. The first curve is x=y^2-2y+1 and is a parabola opening to the right. The second curve is x=y^2 and is a parabola opening to the right. Between the curves there is a shaded region. The shaded region is bounded to the right at x=2.

$15.9074$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 34번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

45.OpenStax 1권 · 6.3절 · 45번대학 수준우리말 번역

원통껍질법을 사용하여 반지름이 $r$ 인 구의 부피를 구하세요.

이 그림에는 두 개의 이미지가 있다. 첫 번째는 반지름이 r인 원이고, 두 번째는 농구공이다.

영어 원문 보기

Use the method of shells to find the volume of a sphere of radius $r.$

This figure has two images. The first is a circle with radius r. The second is a basketball.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 42번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

46.OpenStax 1권 · 6.3절 · 46번대학 수준우리말 번역

원통 껍질 방법을 이용하여 반지름이 $r$ 이고 높이가 $h$ 인 원뿔의 부피를 구하세요.

이 그림에는 두 개의 이미지가 있다. 첫 번째는 반지름이 r이고 높이가 h인, 거꾸로 세워진 원뿔이다. 두 번째는 아이스크림 콘이다.

영어 원문 보기

Use the method of shells to find the volume of a cone with radius $r$ and height $h.$

This figure has two images. The first is an upside-down cone with radius r and height h. The second is an ice cream cone.

정답·풀이 보기

$\frac{1}{3}\pi {r}^{2}h$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{3}\pi {r}^{2}h$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 36번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

47.OpenStax 1권 · 6.3절 · 47번대학 수준우리말 번역

원통껍질법을 이용하여 타원체 $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ 을 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

이 그림에는 두 개의 이미지가 있다. 첫 번째는 타원으로, a는 중심에서 타원의 가장자리까지의 수평 거리이고 b는 중심에서 위쪽 가장자리까지의 수직 거리이다. 두 번째는 수박이다.

영어 원문 보기

Use the method of shells to find the volume of an ellipsoid $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ rotated around the $x\text{-axis}.$

This figure has two images. The first is an ellipse with a the horizontal distance from the center to the edge and b the vertical distance from the center to the top edge. The second is a watermelon.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 10번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

48.OpenStax 1권 · 6.3절 · 48번대학 수준우리말 번역

원기둥껍질 방법을 이용하여 반지름이 $r$ 이고 높이가 $h$ 인 원기둥의 부피를 구하세요.

이 그림에는 두 개의 이미지가 있다. 첫 번째는 반지름이 r이고 높이가 h인 원기둥이다. 두 번째는 원기둥 모양의 양초이다.

영어 원문 보기

Use the method of shells to find the volume of a cylinder with radius $r$ and height $h.$

This figure has two images. The first is a cylinder with radius r and height h. The second is a cylindrical candle.

정답·풀이 보기

$\pi {r}^{2}h$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\pi {r}^{2}h$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 30번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

49.OpenStax 1권 · 6.3절 · 49번대학 수준우리말 번역

원통껍질 방법을 사용하여 원 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ 를 직선 $x=4$ 를 축으로 회전시켜 만든 도넛의 부피를 구하세요.

이 그림에는 두 개의 이미지가 있다. 첫 번째 이미지에는 타원 두 개가 있는데, 하나가 다른 하나의 안쪽에 있다. 두 타원 사이 경로의 반지름은 2 단위이다. 두 번째 이미지는 도넛이다.

영어 원문 보기

Use the method of shells to find the volume of the donut created when the circle ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ is rotated around the line $x=4.$

This figure has two images. The first has two ellipses, one inside of the other. The radius of the path between them is 2 units. The second is a doughnut.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.3절 · 2번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

50.OpenStax 1권 · 6.3절 · 50번대학 수준우리말 번역

$y=f(x),y=1+f(x),x=0,y=0$ , 그리고 $x=a>0$ 의 그래프로 둘러싸인 영역을 생각하세요. 이 영역을 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 구하세요. 함수는 구간 $[0,a]$ 에서 정의되어 있다고 가정하세요.

영어 원문 보기

Consider the region enclosed by the graphs of $y=f(x),y=1+f(x),x=0,y=0,$ and $x=a>0.$ What is the volume of the solid generated when this region is rotated around the $y\text{-axis}?$ Assume that the function is defined over the interval $[0,a].$

정답·풀이 보기

$\pi {a}^{2}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\pi {a}^{2}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 6번

# 원통 껍질법활용자동 분류

51.OpenStax 1권 · 6.3절 · 51번대학 수준우리말 번역

함수 $y=f(x)$ 를 생각하세요. 이 함수는 $f(0)=b$ 에서 $f(1)=0$ 까지 감소합니다. 이 영역을 $x=0$ 과 $y=0$ 과 함께 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 생기는 입체의 부피를 구하기 위한 적분을 원통껍질법과 원판법을 모두 사용하여 세우세요. 두 방법이 같은 부피에 근사함을 증명하세요. 어느 방법이 적용하기 더 쉬운가요? (힌트: $f(x)$ 는 일대일 함수이므로 역함수 ${f}^{-1}(y)$ 가 존재합니다.)

영어 원문 보기

Consider the function $y=f(x),$ which decreases from $f(0)=b$ to $f(1)=0.$ Set up the integrals for determining the volume, using both the shell method and the disk method, of the solid generated when this region, with $x=0$ and $y=0,$ is rotated around the $y\text{-axis}.$ Prove that both methods approximate the same volume. Which method is easier to apply? (Hint: Since $f(x)$ is one-to-one, there exists an inverse ${f}^{-1}(y).)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 22번

# 원통 껍질법증명·논술자동 분류

52.APEX · 7.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 셸 방법은 와셔 방법이 통하지 않을 때만 사용할 수 있다.

영어 원문 보기

T/F: The Shell Method can only be used when the Washer Method fails.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 12번

# 원통 껍질법개념 확인자동 분류

53.APEX · 7.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 셸 방법은 입체의 단면의 넓이를 적분하는 방식이다.

영어 원문 보기

T/F: The Shell Method works by integrating cross–sectional areas of a solid.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.3절 · 4번

# 원통 껍질법개념 확인자동 분류

54.APEX · 7.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 수직인 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 구할 때, 셸 방법에서는 $x$ 에 대해 적분한다.

영어 원문 보기

T/F: When finding the volume of a solid of revolution that was revolved around a vertical axis, the Shell Method integrates with respect to $x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.3절 · 2번

# 원통 껍질법개념 확인자동 분류

55.APEX · 7.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서는 직교좌표평면의 한 영역에 색이 칠해져 있다. 셸 방법을 이용하여, 이 영역을 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $y$ -axis.

정답·풀이 보기

$70\pi/3$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$70\pi/3$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 20번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

56.APEX · 7.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $y$ -axis.

정답·풀이 보기

$\pi^2-2\pi$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi^2-2\pi$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 2번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

57.APEX · 7.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서는 직교좌표평면의 한 영역에 색이 칠해져 있다. 셸 방법을 이용하여, 이 영역을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$350\pi/3$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$350\pi/3$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 30번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

58.APEX · 7.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

9–12번 문제에서, 데카르트 좌표평면의 한 영역이 색칠되어 있습니다. 원통껍질법을 이용하여 이 영역을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$\pi^2/4$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi^2/4$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 12번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

59.APEX · 7.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–18에서는 데카르트 좌표평면의 영역이 주어진다. 셸 방법을 사용하여, 주어진 각 축을 중심으로 그 영역을 회전시켜 만들어지는 회전체의 부피를 구하세요.

다음으로 둘러싸인 영역: $y=\sqrt{x}$ , $y=0$ , $x=1$ .

회전축:

(a) $y$ 축 (b) $x=1$

(a) $x$ 축 (b) $y=1$

영어 원문 보기

In Exercises 13–18, a region of the Cartesian plane is described. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by rotating the region about each of the given axes.

Region bounded by: $y=\sqrt{x}$ , $y=0$ and $x=1$ .

Rotate about:

(a) the $y$ -axis (b) $x=1$

(a) the $x$ -axis (b) $y=1$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

(a) $4\pi/5$ (b) $8\pi/15$ (c) $\pi/2$ (d) $5\pi/6$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $4\pi/5$ (b) $8\pi/15$ (c) $\pi/2$ (d) $5\pi/6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 4번

# 원통 껍질법활용자동 분류

60.APEX · 7.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–18에서는 직교좌표평면의 영역이 주어져 있습니다. 주어진 각 축을 중심으로 이 영역을 회전시켜 만들어지는 회전체의 부피를 셸 방법을 이용하여 구하세요.

다음으로 둘러싸인 영역: $y=4-x^2$ , $y=0$ .

다음을 축으로 회전하세요:

(a) $x=2$ (b) $x=-2$

(a) $x$ 축 (b) $y=4$

영어 원문 보기

In Exercises 13–18, a region of the Cartesian plane is described. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by rotating the region about each of the given axes.

Region bounded by: $y=4-x^2$ and $y=0$ .

Rotate about:

(a) $x=2$ (b) $x=-2$

(a) the $x$ -axis (b) $y=4$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

(a) $128\pi/3$ (b) $128\pi/3$ (c) $512\pi/15$ (d) $256\pi/5$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $128\pi/3$ (b) $128\pi/3$ (c) $512\pi/15$ (d) $256\pi/5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 26번

# 원통 껍질법활용자동 분류