문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

곡선의 길이

곡선 y=f(x)나 매개변수 곡선의 길이를 정적분으로 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

6문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 6.4절 · 5번우리말 번역

곡선 $y=\sqrt{x}$ 를 $(1,1)$ 에서 $(4,2)$ 까지 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 겉넓이를 구하세요. 아래 그림과 같습니다.

이 그림은 곡면이다. 곡선 y = (x의 제곱근)을 x축을 중심으로 회전시켜 만든 것이다. 곡면은 3차원임을 나타내기 위해 정육면체 안에 그려져 있다.

영어 원문 보기

Find the surface area of the volume generated when the curve $y=\sqrt{x}$ revolves around the $x\text{-axis}$ from $(1,1)$ to $(4,2),$ as seen here.

This figure is a surface. It has been formed by rotating the curve y=squareroot(x) about the x-axis. The surface is inside of a cube to show 3-dimensions.

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$\frac{\pi }{6}\left(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\pi }{6}\left(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 39번

# 곡선의 길이그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 1권 · 6.4절 · 6번우리말 번역

곡선 $y={x}^{2}$ 이 $(1,\,1)$ 에서 $(3,9)$ 까지 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전할 때 생기는 입체의 겉넓이를 구하세요.

이 그림은 곡면이다. 위쪽이 타원 모양이어서 "그릇" 모양을 이룬다.

영어 원문 보기

Find the surface area of the volume generated when the curve $y={x}^{2}$ revolves around the $y\text{-axis}$ from $(1,\,1)$ to $(3,9).$

This figure is a surface. It has an elliptical shape to the top, forming a “bowl”.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 27번

# 곡선의 길이그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 1권 · 6.4절 · 43번우리말 번역

전등의 받침대는 그림과 같이 사분원 $y=\sqrt{2x-{x}^{2}}$ 을 $x=1$ 에서 $x=2$ 까지 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시켜 만든다. 이 곡선의 겉넓이를 나타내는 적분식을 세우고 그 값을 구하세요.

이 그림은 곡면이다. 곡선 y=제곱근(2x-x^2) 을 x축을 중심으로 회전시켜 만든 원환면(토러스)의 절반이다.

영어 원문 보기

The base of a lamp is constructed by revolving a quarter circle $y=\sqrt{2x-{x}^{2}}$ around the $y\text{-axis}$ from $x=1$ to $x=2,$ as seen here. Create an integral for the surface area of this curve and compute it.

This figure is a surface. It is half of a torus created by rotating the curve y=squareroot(2x-x^2) about the x-axis.

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$\pi (2+\pi )$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi (2+\pi )$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 45번

# 곡선의 길이그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 1권 · 6.4절 · 44번우리말 번역

전구는 반지름이 $1/2$ 인치인 구의 아랫부분을 잘라 내어, 반지름이 $1/4$ 인치이고 길이가 $1/3$ 인치인 원기둥에 꼭 맞게 끼우도록 만든 것이다(그림 참조). 구는 원기둥에 꼭 맞도록 아랫부분이 잘려 있으므로, 잘린 단면의 반지름은 $1/4$ 인치이다. 겉넓이를 구하세요(원기둥의 윗면과 밑면은 포함하지 않는다).

이 그림에는 두 개의 이미지가 있다. 첫 번째는 원기둥 위에 놓인 구이다. 두 번째는 전구이다.

영어 원문 보기

A light bulb is a sphere with radius $1/2$ in. with the bottom sliced off to fit exactly onto a cylinder of radius $1/4$ in. and length $1/3$ in., as seen here. The sphere is cut off at the bottom to fit exactly onto the cylinder, so the radius of the cut is $1/4$ in. Find the surface area (not including the top or bottom of the cylinder).

This figure has two images. The first is a sphere on top of a cylinder. The second is a lightbulb.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 51번

# 곡선의 길이그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 6.4절 · 45번우리말 번역

[계산기 사용] 전등갓은 여기 보이는 것처럼 $y=1/x$ 을 $y=1$ 부터 $y=2$ 까지 $x\text{축}$ 을 중심으로 회전시켜 만든다. 이 전등갓을 만드는 데 필요한 재료의 양, 즉 겉넓이를 소수 넷째 자리까지 정확하게 구하세요.

이 그림은 두 개의 이미지로 되어 있다. 첫 번째는 모서리가 안쪽으로 휜 원뿔대와 비슷하다. 두 번째는 전등갓이다.

영어 원문 보기

[T] A lampshade is constructed by rotating $y=1/x$ around the $x\text{-axis}$ from $y=1$ to $y=2,$ as seen here. Determine how much material you would need to construct this lampshade—that is, the surface area—accurate to four decimal places.

This figure has two images. The first is similar to a frustum of a cone with edges bending inwards. The second is a lamp shade.

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정답·풀이 보기

$10.5017$

원본 교재 풀이(영어)

$10.5017$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 35번

# 곡선의 길이그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 1권 · 6.4절 · 52번우리말 번역

[계산기 사용] $(1,\,1)$ 과 $(2,1/2)$ 사이에서 쌍곡선 $y=1/x$ 과 $x+2y=3$ 의 그래프 중 어느 것이 더 긴지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Which is longer between $(1,\,1)$ and $(2,1/2):$ the hyperbola $y=1/x$ or the graph of $x+2y=3?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 23번

# 곡선의 길이그래프·표 해석자동 분류