적분 기법 전체 연습문제

481.CLP-2 · 1.9절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 식을 간단히 하세요.

(a) $\sin\left(\arccos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$ (b) $\sin\left(\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)$ (c) $\sec\left(\arcsin \left(\sqrt{x}\right)\right)$

영어 원문 보기

Simplify the following expressions.

(a) $\sin\left(\arccos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$ (b) $\sin\left(\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)$ (c) $\sec\left(\arcsin \left(\sqrt{x}\right)\right)$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) $\theta = \arccos \left(\frac{x}{2}\right)$ 라 하자. 즉 $\cos(\theta) = \frac{x}{2}$ 이고 $0 \leq \theta \leq \pi$ 이다. 그러면 각 $\theta$ 를 가지고, 이웃변의 부호 있는 길이가 $x$ 이고( $\theta > \frac{\pi}{2}$ 이면 $x$ 는 음수임에 주의한다) 빗변의 길이가 $2$ 인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리에 의해 이 삼각형의 반대변의 길이는 $\sqrt{4-x^2}$ 이다.

따라서

$\sin\left(\arccos \left(\frac{x}{2}\right)\right)=\sin \theta = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}} = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$ (b) $\theta = \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 라 하자. 즉 $\tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 이고 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 이다.

풀이 1: 그러면 $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ 이므로 $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ 이다.
풀이 2: 그러면 각 $\theta$ 를 가지고, 반대변의 길이가 $1$ 이고 이웃변의 길이가 $\sqrt{3}$ 인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리에 의해 이 삼각형의 빗변의 길이는 $\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=2$ 이다.

따라서

$\sin\left(\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)=\sin \theta = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}} = \frac{1}{2}$ (c) $\theta = \arcsin \left(\sqrt{x}\right)$ 라 하자. 즉 $\sin(\theta) = \sqrt{x}$ 이고 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 이다. 그러면 각 $\theta$ 를 가지고, 반대변의 길이가 $\sqrt{x}$ 이고 빗변의 길이가 $1$ 인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리에 의해 이 삼각형의 이웃변의 길이는 $\sqrt{1-x}$ 이다.

따라서

$\sec\left(\arcsin \left(\sqrt{x}\right)\right)=\sec \theta = \frac{\mathrm{hyp}}{\mathrm{adj}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Let $\theta = \arccos \left(\frac{x}{2}\right)$ . That is, $\cos(\theta) = \frac{x}{2}$ , and $0 \leq \theta \leq \pi$ . Then we can draw the corresponding right triangle with angle $\theta$ with adjacent side of signed length $x$ (we note that if $\theta > \frac{\pi}{2}$ , then $x$ is negative) and hypotenuse of length $2$ . By the Pythagorean Theorem, the opposite side of the triangle has length $\sqrt{4-x^2}$ .

So,

$\sin\left(\arccos \left(\frac{x}{2}\right)\right)=\sin \theta = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}} = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$ (b) Let $\theta = \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ . That is, $\tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ , and $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ .

Solution 1: Then $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ , so $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ .
Solution 2: Then we can draw the corresponding right triangle with angle $\theta$ with opposite side of length $1$ and adjacent side of length $\sqrt{3}$ . By the Pythagorean Theorem, the hypotenuse of the triangle has length $\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=2$ .

So,

$\sin\left(\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)=\sin \theta = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}} = \frac{1}{2}$ (c) Let $\theta = \arcsin \left(\sqrt{x}\right)$ . That is, $\sin(\theta) = \sqrt{x}$ , and $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ . Then we can draw the corresponding right triangle with angle $\theta$ with opposite side of length $\sqrt{x}$ and hypotenuse of length $1$ . By the Pythagorean Theorem, the adjacent side of the triangle has length $\sqrt{1-x}$ .

So,

$\sec\left(\arcsin \left(\sqrt{x}\right)\right)=\sec \theta = \frac{\mathrm{hyp}}{\mathrm{adj}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 26번

# 삼각치환계산기본자동 분류

482.CLP-2 · 1.9절 · 9번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+4x}} \, \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+4x}} \, \mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

제곱근 안의 근의 공식을 보면 삼각치환이 떠오르지만, 좋은 습관을 기르기 위해 먼저 더 쉬운 방법이 있는지 확인해 보자. $u=2x^2+4x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = (4x+4)~\mathrm{d}x$ 이므로 $\frac{1}{4}\,\mathrm{d}u=(x+1)\,\mathrm{d}x$ 이다. 이 치환은 (완전제곱식을 만드는 것에서 시작하게 되는) 삼각치환보다 더 쉬워 보인다.

$\begin{aligned} \int\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+4x}} \, \mathrm{d}x&=\frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\sqrt{u}+C = \frac{1}{2}\sqrt{2x^2+4x}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The quadratic formula underneath the square root makes us think of a trig substitution, but in the interest of developing good habits, let's check for an easier way first. If we let $u=2x^2+4x$ , then $\mathrm{d}u = (4x+4)~\mathrm{d}x$ , so $\frac{1}{4}\,\mathrm{d}u=(x+1)\,\mathrm{d}x$ . This substitution looks easier than a trig substitution (which would start with completing the square).

$\begin{aligned} \int\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+4x}} \, \mathrm{d}x&=\frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\sqrt{u}+C = \frac{1}{2}\sqrt{2x^2+4x}+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 10번

# 삼각치환계산보통자동 분류

483.CLP-2 · 1.9절 · 10번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2+16}}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2+16}}$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$x=4\tan u$ , $\mathrm{d}x=4 \sec^2u\,\mathrm{d}u$ 로 치환한다.

$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{1}{16\tan^2 u \sqrt{16\tan^2 u+16}}\,4\sec^2 u\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &=\int \frac{\sec^2u}{16\tan^2u\sec u}\,\mathrm{d}u =\frac{1}{16}\int \frac{\sec u}{\tan^2u}\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &= \frac{1}{16}\int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u \end{aligned}$

적분을 마무리하기 위해 $v=\sin u$ , $\mathrm{d}v=\cos u\,\mathrm{d}u$ 로 치환한다.

$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{16} \int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{16}\int\frac{\mathrm{d}v}{v^2} =-\frac{1}{16v} +C \\ &=-\frac{1}{16\sin u} +C =-\frac{1}{16}\dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C \smash{ ![그림](clp/tikz/6f5ffe535f.png) } \end{aligned}$

$\sin u$ 를 구하기 위해 각 $u$ 를 갖고 $\tan u = \frac{x}{4}$ 인 직각삼각형을 그린다. 각 $u$ 의 반대쪽 변의 길이를 $x$ , 인접한 변의 길이를 $4$ 로 놓으면, 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 $\sqrt{x^2+16}$ 이다. 따라서 $\sin u = \dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}$ 이다.

확인을 위해 답의 도함수를 살펴보면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C\right) &=\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x^2} -\frac{1}{16}\frac{x}{x\sqrt{x^2+16}} =\frac{1}{16}\frac{(x^2+16)-x^2}{x^2\sqrt{x^2+16}} \\ &=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}} \end{aligned}$

이고, 이는 정확히 피적분함수와 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Substitute $x=4\tan u$ , $\mathrm{d}x=4 \sec^2u\,\mathrm{d}u$ .

$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{1}{16\tan^2 u \sqrt{16\tan^2 u+16}}\,4\sec^2 u\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &=\int \frac{\sec^2u}{16\tan^2u\sec u}\,\mathrm{d}u =\frac{1}{16}\int \frac{\sec u}{\tan^2u}\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &= \frac{1}{16}\int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u \end{aligned}$

To finish off the integral, we'll substitute $v=\sin u$ , $\mathrm{d}v=\cos u\,\mathrm{d}u$ .

$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{16} \int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{16}\int\frac{\mathrm{d}v}{v^2} =-\frac{1}{16v} +C \\ &=-\frac{1}{16\sin u} +C =-\frac{1}{16}\dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C \smash{ ![figure](clp/tikz/6f5ffe535f.png) } \end{aligned}$

To find $\sin u$ , we draw a right triangle with angle $u$ and $\tan u = \frac{x}{4}$ . We label the opposite side $x$ and the adjacent side $4$ , and then from Pythagoras we find that the hypotenuse has length $\sqrt{x^2+16}$ . So, $\sin u = \dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}$ .

As a check, we observe that the derivative of the answer

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C\right) &=\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x^2} -\frac{1}{16}\frac{x}{x\sqrt{x^2+16}} =\frac{1}{16}\frac{(x^2+16)-x^2}{x^2\sqrt{x^2+16}} \\ &=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}} \end{aligned}$

is exactly the integrand.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 11번

# 삼각치환계산보통자동 분류

484.CLP-2 · 1.9절 · 11번대학 수준우리말 번역

$x\ge 3$ 일 때 $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}}$ 의 값을 구하세요. 답에 역삼각함수를 포함하지 마세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}}$ for $x\ge 3$ . Do not include any inverse trigonometric functions in your answer.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$0\le u<\frac{\pi}{2}$ 에서 $x=3\sec u$ 로 치환한다. 그러면 $\mathrm{d}x= 3\sec u\tan u\,\mathrm{d}u$ 이고 $\sqrt{x^2-9}=\sqrt{9\sec^2 u-9} =\sqrt{ 9\tan^2 u}=3\tan u$ 이므로

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}} &=\int \frac{3\sec u\tan u\ \mathrm{d}u} {9\sec^2u\sqrt{9\tan^2u}} \\ &=\frac{1}{9}\int\frac{\mathrm{d}u}{\sec u} \\ &=\frac{1}{9}\int \cos u\ \mathrm{d}u =\frac{1}{9}\sin u +C.\qquad \smash{ ![그림](clp/tikz/c7acbbd75e.png) } \\ \text{ $\sin u$ 의 값을 구하기 위해 각 $u$ 를 갖는 직각삼각형을 그린다. $\sec u = \dfrac{x}{3} = \dfrac{\text{빗변}}{\text{밑변}}$ 이므로 빗변을 $x$, 밑변을 $3$ 이라 표시한다. 피타고라스 정리를 이용하면 높이의 길이는 $\sqrt{x^2-9}$ 이다. 따라서 $\sin u = \dfrac{\sqrt{x^2-9}}x$ 이고} \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}} &= \frac{\sqrt{x^2-9}}{9x} +C. \end{aligned}$

검산으로, 답을 미분하면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C\right) &=-\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x^2} + \frac{x}{9x\sqrt{x^2-9}} =\frac{1}{9}\ \frac{-(x^2-9)+x^2}{x^2\sqrt{x^2-9}} \\ &=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-9}} \end{aligned}$

이 되어 피적분함수와 정확히 같다. ( $x\le -3$ 인 경우에도 이것이 성립함을 덧붙인다.)

원본 교재 풀이(영어)

Substitute $x=3\sec u$ with $0\le u<\frac{\pi}{2}$ . Then $\mathrm{d}x= 3\sec u\tan u\,\mathrm{d}u$ and $\sqrt{x^2-9}=\sqrt{9\sec^2 u-9} =\sqrt{ 9\tan^2 u}=3\tan u$ , so that

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}} &=\int \frac{3\sec u\tan u\ \mathrm{d}u} {9\sec^2u\sqrt{9\tan^2u}} \\ &=\frac{1}{9}\int\frac{\mathrm{d}u}{\sec u} \\ &=\frac{1}{9}\int \cos u\ \mathrm{d}u =\frac{1}{9}\sin u +C.\qquad \smash{ ![figure](clp/tikz/c7acbbd75e.png) } \\ \text{ To evaluate $\sin u$, we make a right triangle with angle $u$. Since $\sec u = \dfrac{x}{3} = \dfrac{\text{hyp}}{\text{adj}}$, we label the hypotenuse $x$ and the adjacent side $3$. Using the Pythagorean Theorem, the opposite side has length $\sqrt{x^2-9}$. So, $\sin u = \dfrac{\sqrt{x^2-9}}x$ and} \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}} &= \frac{\sqrt{x^2-9}}{9x} +C. \end{aligned}$

As a check, we observe that the derivative of the answer

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C\right) &=-\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x^2} + \frac{x}{9x\sqrt{x^2-9}} =\frac{1}{9}\ \frac{-(x^2-9)+x^2}{x^2\sqrt{x^2-9}} \\ &=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-9}} \end{aligned}$

is exactly the integrand. (We remark that this is the case even for $x\le -3$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 12번

# 삼각치환계산보통자동 분류

485.CLP-2 · 1.9절 · 13번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_{-\pi/12}^{\pi/12} \dfrac{15x^3}{(x^2+1)(9-x^2)^{5/2}}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_{-\pi/12}^{\pi/12} \dfrac{15x^3}{(x^2+1)(9-x^2)^{5/2}}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

피적분함수는 기함수이고 적분 구간이 원점에 대해 대칭이므로 $\displaystyle\int_{-\pi/12}^{\pi/12} \dfrac{15x^3}{(x^2+1)\sqrt{9-x^2}^5}~\mathrm{d}x=0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is an odd function, and the limits of integration are symmetric, so $\displaystyle\int_{-\pi/12}^{\pi/12} \dfrac{15x^3}{(x^2+1)\sqrt{9-x^2}^5}~\mathrm{d}x=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 3번

# 삼각치환계산보통자동 분류

486.CLP-2 · 1.9절 · 15번대학 수준우리말 번역

$x>\frac{2}{5}$ 일 때, $\displaystyle\int \frac{\sqrt{25x^2-4}}{x}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{\sqrt{25x^2-4}}{x}\,\mathrm{d}x$ for $x>\frac{2}{5}$ .

정답·풀이 보기

$x=\frac{2}{5}\sec u$ ( $0< u<\frac{\pi}{2}$ )로 치환하면 $\mathrm{d}x=\frac{2}{5} \sec u\,\tan u\,\mathrm{d}u$ 이고 $\sqrt{25 x^2-4} = \sqrt{4(\sec^2u-1)} = \sqrt{4\tan^2u}=2\tan u$ 이다. 그러므로

$\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{25x^2-4}}{x}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{2\tan u}{\frac{2}{5}\sec u}\cdot\frac{2}{5}\sec u\tan u\,\mathrm{d}u \\ &=2\int \tan^2 u\,\mathrm{d}u =2\int \big(\sec^2 u -1\big)\,\mathrm{d}u \\ &= 2\tan u -2u + C \\ &=\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\tfrac{5x}{2} + C \smash{ ![그림](clp/tikz/1d70479a66.png) } \end{aligned}$

$\tan u$ 를 구하기 위해 각 $u$ 를 갖는 직각삼각형을 그린다. $\sec u =\dfrac{5x}{2}$ 이므로 빗변을 $5x$ , 밑변을 2로 놓는다. 그러면 피타고라스 정리에 의해 높이는 $\sqrt{25x^2-4}$ 이다. 따라서 $\tan u = \dfrac{\text{높이}}{\text{밑변}} = \dfrac{\sqrt{25x^2-4}}{2}$ 이다.

다른 방법으로, 위 풀이에서 이미 $2\tan u = \sqrt{25x^2-4}$ 임을 보였으므로 $\tan u = \frac{1}{2}\sqrt{25x^2-4}$ 임을 알 수 있다.

검산으로, 답의 도함수를 구하면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\frac{5x}{2} + C\right) &=\frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - 2 \frac{\frac{5}{2}}{\left|\frac{5x}{2}\right|\sqrt{\frac{25x^2}{4}-1}} \\ &= \frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - \frac{4}{x\sqrt{25x^2-4}}\qquad\text{$x>0$ 이므로} \\ &= \frac{25 x^2-4}{x\sqrt{25x^2-4}} \\ &= \frac{\sqrt{25 x^2-4}}{x} \end{aligned}$

이고, 이는 피적분함수와 정확히 같다 ( $x>\frac{2}{5}$ 일 때).

원본 교재 풀이(영어)

Substitute $x=\frac{2}{5}\sec u$ with $0< u<\frac{\pi}{2}$ , so that $\mathrm{d}x=\frac{2}{5} \sec u\,\tan u\,\mathrm{d}u$ and $\sqrt{25 x^2-4} = \sqrt{4(\sec^2u-1)} = \sqrt{4\tan^2u}=2\tan u$ . Then

$\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{25x^2-4}}{x}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{2\tan u}{\frac{2}{5}\sec u}\cdot\frac{2}{5}\sec u\tan u\,\mathrm{d}u \\ &=2\int \tan^2 u\,\mathrm{d}u =2\int \big(\sec^2 u -1\big)\,\mathrm{d}u \\ &= 2\tan u -2u + C \\ &=\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\tfrac{5x}{2} + C \smash{ ![figure](clp/tikz/1d70479a66.png) } \end{aligned}$

To find $\tan u$ , we draw a right triangle with angle $u$ . Since $\sec u =\dfrac{5x}{2}$ , we label the hypotenuse $5x$ and the adjacent side 2. Then the Pythagorean Theorem gives us the opposite side as length $\sqrt{25x^2-4}$ . Then $\tan u = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} = \dfrac{\sqrt{25x^2-4}}{2}$ .

Alternately, we can notice that in our work, we already showed $2\tan u = \sqrt{25x^2-4}$ , so $\tan u = \frac{1}{2}\sqrt{25x^2-4} .$

As a check, we observe that the derivative of the answer

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\frac{5x}{2} + C\right) &=\frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - 2 \frac{\frac{5}{2}}{\left|\frac{5x}{2}\right|\sqrt{\frac{25x^2}{4}-1}} \\ &= \frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - \frac{4}{x\sqrt{25x^2-4}}\qquad\text{since $x>0$} \\ &= \frac{25 x^2-4}{x\sqrt{25x^2-4}} \\ &= \frac{\sqrt{25 x^2-4}}{x} \end{aligned}$

is exactly the integrand (provided $x>\frac{2}{5}$ ).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 1번

# 삼각치환계산보통자동 분류

487.CLP-2 · 1.9절 · 16번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\, \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\, \mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

피적분함수에 제곱근 안의 이차 다항식이 있어서 삼각함수 치환이 떠오른다. 그러나 더 복잡한 방법으로 넘어가기 전에 더 간단한 방법을 찾아보는 것이 좋은 습관이며, 이 경우에는 삼각함수 치환보다 더 간단한 방법이 있다. 바로 $u=x^2-1$ , $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ 로 하는 치환이다. 그러면 $x\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ 이고, $x^2 ={u+1}$ 이다. $x=\sqrt{10}$ 일 때 $u=9$ 이고, $x=\sqrt{17}$ 일 때 $u=16$ 이다.

$\begin{aligned} \int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\, \mathrm{d}x&= \int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\, \cdot x\mathrm{d}x \\&=\frac{1}{2} \int_{9}^{16} \frac{u+1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2} \int_{9}^{16}\left(u^{1/2}+u^{-1/2}\right)\,\mathrm{d}u \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2} + 2u^{1/2} \right]_{9}^{16} \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}\cdot 4^3 + 2\cdot 4 -\frac{2}{3}\cdot 3^3 -2\cdot 3 \right]\\ &=\frac{40}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand has a quadratic polynomial under a square root, which makes us think of trig substitutions. However, it's good practice to look for simpler methods before we jump into more complicated ones, and in this case we find something nicer than a trig substitution: the substitution $u=x^2-1$ , $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ . Then $x\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ , and $x^2 ={u+1}$ . When $x=\sqrt{10}$ , $u=9$ , and when $x=\sqrt{17}$ , $u=16$ .

$\begin{aligned} \int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\, \mathrm{d}x&= \int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\, \cdot x\mathrm{d}x \\&=\frac{1}{2} \int_{9}^{16} \frac{u+1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2} \int_{9}^{16}\left(u^{1/2}+u^{-1/2}\right)\,\mathrm{d}u \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2} + 2u^{1/2} \right]_{9}^{16} \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}\cdot 4^3 + 2\cdot 4 -\frac{2}{3}\cdot 3^3 -2\cdot 3 \right]\\ &=\frac{40}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 22번

# 삼각치환계산보통자동 분류

488.CLP-2 · 1.9절 · 17번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}}$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

이 피적분함수는 위의 것들과 매우 달라 보인다. 그러나 약간 변장했을 뿐이다. 완전제곱식으로 고치면

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} \end{aligned}$

이고, $y=x+1$ , $\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$ 로 치환하면

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} = \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} \end{aligned}$

전형적인 삼각함수 치환적분이 된다. 따라서 $y=2\sin\theta$ , $\mathrm{d}y=2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$ 로 치환하면

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} &= \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4\cos^2\theta}}\\ &=\int\mathrm{d}\theta =\theta +C =\arcsin\frac{y}{2} + C \\ &=\arcsin\frac{x+1}{2} + C \end{aligned}$

숙련된 적분 계산자라면 아마 $y$ 를 거치지 않고 곧바로 $x+1 = 2\sin\theta$ 로 치환할 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

This integrand looks very different from those above. But it is only slightly disguised. If we complete the square

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} \end{aligned}$

and make the substitution $y=x+1$ , $\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} = \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} \end{aligned}$

we get a typical trig substitution integral. So, we substitute $y=2\sin\theta$ , $\mathrm{d}y=2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$ to get

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} &= \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4\cos^2\theta}}\\ &=\int\mathrm{d}\theta =\theta +C =\arcsin\frac{y}{2} + C \\ &=\arcsin\frac{x+1}{2} + C \end{aligned}$

An experienced integrator would probably substitute $x+1 = 2\sin\theta$ directly, without going through $y$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 24번

# 삼각치환계산보통자동 분류

489.CLP-2 · 1.9절 · 18번대학 수준우리말 번역

$x>2$ 일 때, $\displaystyle\int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x$ for $x>2$ .

정답·풀이 보기

완전제곱식으로 나타내면 $4x^2-12x+8 = (2x-3)^2-1$ 이다.

$\begin{aligned} \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x&= \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{(2x-3)^2-1}}~\mathrm{d}x \\ \text{As $x>2$, we have $2x-3>1$. We use the substitution $2x-3 = \sec \theta$ with $0\le\theta<\frac{\pi}{2}$. So $2\,\mathrm{d}x=\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta$ and $\sqrt{(2x-3)^2-1}=\sqrt{\sec^2\theta-1}=\sqrt{\tan^2\theta}=\tan\theta$.} \\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\sqrt{\sec^2\theta-1}}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\tan\theta}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int{\cos^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{4}\int{\left(1+\cos(2\theta)\right)}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac14\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C \\&=\frac14\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C \\ \smash{ ![그림](clp/tikz/44a395a6e0.png) }\,&=\frac{1}{4}\left(\arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right) + \frac{\sqrt{4x^2-12x+8}}{(2x-3)^2}\right)+C \end{aligned}$

$2x-3=\sec\theta$ 이므로 $\cos\theta = \frac{1}{2x-3}$ 이고 $\theta = \arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right)$ 이다. (이와 같게, $\theta = \mathop{\mathrm{arcsec}}(2x-3)$ 이다.) $\sin\theta$ 를 구하기 위해 밑변의 길이가 1이고 빗변의 길이가 $2x-3$ 인 직각삼각형을 그린다. 피타고라스 정리에 의해 θ의 대변(높이)의 길이는 $\sqrt{4x^2-12x+8}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Completing the square, we see $4x^2-12x+8 = (2x-3)^2-1$ .

$\begin{aligned} \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x&= \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{(2x-3)^2-1}}~\mathrm{d}x \\ \text{As $x>2$, we have $2x-3>1$. We use the substitution $2x-3 = \sec \theta$ with $0\le\theta<\frac{\pi}{2}$. So $2\,\mathrm{d}x=\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta$ and $\sqrt{(2x-3)^2-1}=\sqrt{\sec^2\theta-1}=\sqrt{\tan^2\theta}=\tan\theta$.} \\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\sqrt{\sec^2\theta-1}}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\tan\theta}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int{\cos^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{4}\int{\left(1+\cos(2\theta)\right)}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac14\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C \\&=\frac14\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C \\ \smash{ ![figure](clp/tikz/44a395a6e0.png) }\,&=\frac{1}{4}\left(\arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right) + \frac{\sqrt{4x^2-12x+8}}{(2x-3)^2}\right)+C \end{aligned}$

Since $2x-3=\sec\theta$ , we know $\cos\theta = \frac{1}{2x-3}$ and $\theta = \arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right)$ . (Equivalently, $\theta = \mathop{\mathrm{arcsec}}(2x-3)$ .) To find $\sin\theta$ , we draw a right triangle with adjacent side of length 1, and hypotenuse of length $2x-3$ . By the Pythagorean Theorem, the opposite side has length $\sqrt{4x^2-12x+8}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 19번

# 삼각치환계산보통자동 분류

490.CLP-2 · 1.9절 · 19번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

$\int \sec x\mathrm{d}x = \log|\sec x+\tan x| +C$ 임을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\mathrm{d}x$ .

You may use that $\int \sec x\mathrm{d}x = \log|\sec x+\tan x| +C$ .

정답·풀이 보기

치환 $x=\tan u$ , $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ 를 사용한다. $\tan 0=0$ 이고 $\tan \frac{\pi}{4} =1$ 임에 주의한다.

$\begin{aligned} \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}^3}\mathrm{d}x&= \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^2 u}{\sqrt{\tan^2 u +1}^3}\sec^2u~\mathrm{d}u\\ &= \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^2 u}{\sqrt{\sec^2u}^3}\sec^2u~\mathrm{d}u\\ &= \int_0^{\pi/4}\frac{\tan^2 u}{\sec u}~\mathrm{d}u\\&= \int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2 u-1}{\sec u}~\mathrm{d}u\\&= \int_0^{\pi/4}\big({\sec u}-\cos u\big)~\mathrm{d}u\\ &=\Big[\log\left|\sec u + \tan u \right| - \sin u\Big]_{0}^{\pi/4} \\ &=\left(\log\left|\sqrt{2} + 1 \right| -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\log|1+0|-0\right)\\ &=\log(1+\sqrt{2})-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the substitution $x=\tan u$ , $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ . Note $\tan 0=0$ and $\tan \frac{\pi}{4} =1$ .

$\begin{aligned} \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}^3}\mathrm{d}x&= \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^2 u}{\sqrt{\tan^2 u +1}^3}\sec^2u~\mathrm{d}u\\ &= \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^2 u}{\sqrt{\sec^2u}^3}\sec^2u~\mathrm{d}u\\ &= \int_0^{\pi/4}\frac{\tan^2 u}{\sec u}~\mathrm{d}u\\&= \int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2 u-1}{\sec u}~\mathrm{d}u\\&= \int_0^{\pi/4}\big({\sec u}-\cos u\big)~\mathrm{d}u\\ &=\Big[\log\left|\sec u + \tan u \right| - \sin u\Big]_{0}^{\pi/4} \\ &=\left(\log\left|\sqrt{2} + 1 \right| -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\log|1+0|-0\right)\\ &=\log(1+\sqrt{2})-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 8번

# 삼각치환계산보통자동 분류

491.CLP-2 · 1.9절 · 20번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

제곱근은 없지만, 치환 $x=\tan\theta$ , $\mathrm{d}x = \sec^2\theta~\mathrm{d}\theta$ 를 여전히 사용할 수 있다.

$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x&=\int\frac{1}{(\tan^2\theta+1)^2}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\int\frac{1}{\sec^4\theta}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta = \int\cos^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int \big(1 + \cos(2\theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C\\ \smash{ ![그림](clp/tikz/e8c02e1de1.png) }\,&=\frac{1}{2}\left(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\right)+C \end{aligned}$

$x = \tan\theta$ 이므로, 각 $\theta$ 에 대한 반대쪽 변의 길이가 $x$ 이고 이웃한 변의 길이가 $1$ 인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 그러면 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 $\sqrt{x^2+1}$ 이고, 이로부터 $\sin\theta$ 와 $\cos\theta$ 를 구할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

There's no square root, but we can still make use of the substitution $x=\tan\theta$ , $\mathrm{d}x = \sec^2\theta~\mathrm{d}\theta$ .

$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x&=\int\frac{1}{(\tan^2\theta+1)^2}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\int\frac{1}{\sec^4\theta}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta = \int\cos^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int \big(1 + \cos(2\theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C\\ \smash{ ![figure](clp/tikz/e8c02e1de1.png) }\,&=\frac{1}{2}\left(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\right)+C \end{aligned}$

Since $x = \tan\theta$ , we can draw a right triangle with angle $\theta$ , opposite side $x$ , and adjacent side $1$ . Then by the Pythagorean Theorem, its hypotenuse has length $\sqrt{x^2+1}$ , which allows us to find $\sin\theta$ and $\cos\theta$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 23번

# 삼각치환계산보통자동 분류

492.CLP-2 · 1.9절 · 23번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int\dfrac{(1+x^2)^{3/2}}{x}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요. $\displaystyle\int \csc \theta~\mathrm{d}\theta=\log|\cot \theta - \csc \theta|+C$ 임을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int\dfrac{(1+x^2)^{3/2}}{x}\mathrm{d}x$ . You may use the fact that $\displaystyle\int \csc \theta~\mathrm{d}\theta=\log|\cot \theta - \csc \theta|+C$ .

정답·풀이 보기

치환 $x=\tan u$ , $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ 를 이용한다.

$\begin{aligned} \int\dfrac{\sqrt{1+x^2}^3}{x}\mathrm{d}x&=\int\frac{\sqrt{1+\tan^2 u}^3}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\sec^3u}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\sec^2u)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\tan^2u+1)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\tan^4u+2\tan^2 u + 1}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int \tan^3 u \sec u ~\mathrm{d}u + \int 2\sec u \tan u~\mathrm{d}u + \int \frac{\sec u}{\tan u}~\mathrm{d}u \\ \text{첫 번째 적분에서는 치환 $w=\sec u$ 를 이용한다. 두 번째는 $2\sec u$ 의 부정적분이다. 세 번째는 $\frac{\sec u}{\tan u} = \frac{1}{\cos u}\cdot \frac{\cos u}{\sin u} = \csc u$~로 간단히 한다.} \\ &=\int\bigg((\sec^2 u -1)\sec u \tan u\bigg)~\mathrm{d}u + 2\sec u + \log|\cot u - \csc u |+C\\ &=\int (w^2-1)~\mathrm{d}w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}w^3-w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}\sec^3u-\sec u+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \smash{ ![그림](clp/tikz/f1bcb1bbbc.png) } \qquad &=\frac{1}{3}\sec^3u+\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \text{처음에 치환 $x=\tan u$ 를 사용했다. 그러면 $\cot u = \frac{1}{x}$ 이다. $\csc u$ 와 $\sec u$ 를 구하기 위해, 각 $u$ 가 있고 높이가 $x$, 밑변이 $1$ 인 직각삼각형을 그린다. 피타고라스 정리로 빗변의 길이를 구할 수 있다.} \\ &=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}^3+\sqrt{1+x^2}+\log\left| \frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \\&=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}(4+x^2)+\log\left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the substitution $x=\tan u$ , $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ .

$\begin{aligned} \int\dfrac{\sqrt{1+x^2}^3}{x}\mathrm{d}x&=\int\frac{\sqrt{1+\tan^2 u}^3}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\sec^3u}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\sec^2u)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\tan^2u+1)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\tan^4u+2\tan^2 u + 1}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int \tan^3 u \sec u ~\mathrm{d}u + \int 2\sec u \tan u~\mathrm{d}u + \int \frac{\sec u}{\tan u}~\mathrm{d}u \\ \text{For the first integral, we use the substitution $w=\sec u$. The second is the antiderivative of $2\sec u$. The third we simplify as $\frac{\sec u}{\tan u} = \frac{1}{\cos u}\cdot \frac{\cos u}{\sin u} = \csc u$~.} \\ &=\int\bigg((\sec^2 u -1)\sec u \tan u\bigg)~\mathrm{d}u + 2\sec u + \log|\cot u - \csc u |+C\\ &=\int (w^2-1)~\mathrm{d}w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}w^3-w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}\sec^3u-\sec u+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \smash{ ![figure](clp/tikz/f1bcb1bbbc.png) } \qquad &=\frac{1}{3}\sec^3u+\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \text{We began with the substitution $x=\tan u$. Then $\cot u = \frac{1}{x}$. To find $\csc u$ and $\sec u$, we draw a right triangle with angle $u$, opposite side $x$, and adjacent side $1$. The Pythagorean Theorem gives us the hypotenuse.} \\ &=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}^3+\sqrt{1+x^2}+\log\left| \frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \\&=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}(4+x^2)+\log\left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 25번

# 삼각치환계산도전자동 분류

493.CLP-2 · 1.9절 · 28번대학 수준우리말 번역

(a) 상수 $a$ 가 양수이고, 적분할 식에 $\sqrt{a^2-x^2}$ 항이 들어 있어서 치환 $x=a\sin u$ (역함수는 $u = \arcsin(x/a)$ )를 쓴다고 하자. 그러면 $\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2\cos^2u}= |a\cos u|$ 이다. 어떤 경우에 $|a\cos u|\neq a\cos u$ 인지 구하세요. (b) 상수 $a$ 가 양수이고, 적분할 식에 $\sqrt{a^2+x^2}$ 항이 들어 있어서 치환 $x=a\tan u$ (역함수는 $u = \arctan(x/a)$ )를 쓴다고 하자. 그러면 $\sqrt{a^2+x^2} = \sqrt{a^2\sec^2u}= |a\sec u|$ 이다. 어떤 경우에 $|a\sec u|\neq a\sec u$ 인지 구하세요. (c) 상수 $a$ 가 양수이고, 적분할 식에 $\sqrt{x^2-a^2}$ 항이 들어 있어서 치환 $x=a\sec u$ (역함수는 $u = \mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a)=\arccos(a/x)$ )를 쓴다고 하자. 그러면 $\sqrt{x^2-a^2} = \sqrt{a^2\tan^2u}= |a\tan u|$ 이다. 어떤 경우에 $|a\tan u|\neq a\tan u$ 인지 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Suppose we are evaluating an integral that contains the term $\sqrt{a^2-x^2}$ , where $a$ is a positive constant, and we use the substitution $x=a\sin u$ (with inverse $u = \arcsin(x/a)$ ), so that $\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2\cos^2u}= |a\cos u|$ Under what circumstances is $|a\cos u|\neq a\cos u$ ? (b) Suppose we are evaluating an integral that contains the term $\sqrt{a^2+x^2}$ , where $a$ is a positive constant, and we use the substitution $x=a\tan u$ (with inverse $u = \arctan(x/a)$ ), so that $\sqrt{a^2+x^2} = \sqrt{a^2\sec^2u}= |a\sec u|$ Under what circumstances is $|a\sec u|\neq a\sec u$ ? (c) Suppose we are evaluating an integral that contains the term $\sqrt{x^2-a^2}$ , where $a$ is a positive constant, and we use the substitution $x=a\sec u$ (with inverse $u = \mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a)=\arccos(a/x)$ ), so that $\sqrt{x^2-a^2} = \sqrt{a^2\tan^2u}= |a\tan u|$ Under what circumstances is $|a\tan u|\neq a\tan u$ ?

정답·풀이 보기

임의의 값 $X$ 에 대해 $|X| = \left\{\begin{array}{rl} X&\text{(}X \ge 0\text{ 일 때)}\\ -X&\text{(}X \le 0\text{ 일 때)}\end{array}\right.$ 임을 기억하자. 따라서 $|X| \neq X$ 인 것은 정확히 $X<0$ 일 때이다.

(a) 아크사인의 치역은 $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ 이다. 따라서 $u=\arcsin(x/a)$ 이므로 $u$ 는 $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ 범위에 있다. 그러므로 $\cos u \geq 0$ 이다. $a$ 가 양수이므로 $a\cos u \ge 0$ 이고, 따라서 $a\cos u = |a\cos u|$ 이다. 즉, $\sqrt{a^2-x^2}=|a\cos u|=a\cos u$ 가 항상 성립한다.

(b) 아크탄젠트의 치역은 $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ 이다. 따라서 $u=\arctan(x/a)$ 이므로 $u$ 는 $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ 범위에 있다. 그러므로 $\sec u = \frac{1}{\cos u} >0$ 이다. $a$ 가 양수이므로 $a\sec u > 0$ 이고, 따라서 $a\sec u = |a\sec u|$ 이다. 즉, $\sqrt{a^2+x^2}=|a\sec u|=a\sec u$ 가 항상 성립한다.

(c) 아크코사인의 치역은 $\big[0,\pi \big]$ 이다. 따라서 $u=\mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a) = \arccos(a/x)$ 이므로 $u$ 는 $\big[0,\pi\big]$ 범위에 있다. (사실 시컨트는 $\pi/2$ 에서 정의되지 않으므로 $u$ 는 $[0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$ 범위에 있다.) $|a\tan u| \neq a\tan u$ 이면 $\tan u <0$ 이고, 이는 $u$ 가 $\big (\frac{\pi}{2},\pi)$ 범위에 있을 때 일어난다. 이 범위는 $-1<\cos u <0$ 인 범위와 같으므로 $-1<\frac{a}{x}<0$ 이다. $\frac{a}{x}<0$ 이므로 $a$ 와 $x$ 의 부호가 다르고, 따라서 $x<0$ 이다. 그러면 $-1<\frac{a}{x}$ 이므로 $x<-a$ 이기도 하다.

그러므로 $\sqrt{x^2-a^2} = |a\tan u| = -a\tan u \neq a\tan u$ 가 성립하는 것은 정확히 $x< -a$ 일 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

Remember that for any value $X$ , $|X| = \left\{\begin{array}{rl} X&\text{if }X \ge 0\\ -X&\text{if }X \le 0 \end{array}\right.$ So, $|X| \neq X$ precisely when $X<0$ .

(a) The range of arcsine is $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ . So, since $u=\arcsin(x/a)$ , $u$ is in the range $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ . Therefore $\cos u \geq 0$ . Since $a$ is positive, $a\cos u \ge 0$ , so $a\cos u = |a\cos u|$ . That is, $\sqrt{a^2-x^2}=|a\cos u|=a\cos u$ all the time.

(b) The range of arctangent is $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ . So, since $u=\arctan(x/a)$ , $u$ is in the range $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ . Therefore $\sec u = \frac{1}{\cos u} >0$ . Since $a$ is positive, $a\sec u > 0$ , so $a\sec u = |a\sec u|$ .That is, $\sqrt{a^2+x^2}=|a\sec u|=a\sec u$ all the time.

(c) The range of arccosine is $\big[0,\pi \big]$ . So, since $u=\mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a) = \arccos(a/x)$ , $u$ is in the range $\big[0,\pi\big]$ . (Actually, it's in the range $[0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$ , since secant is undefined at $\pi/2$ .) If $|a\tan u| \neq a\tan u$ , then $\tan u <0$ , which happens when $u$ is in the range $\big (\frac{\pi}{2},\pi)$ . This is the same range over which $-1<\cos u <0$ , and so $-1<\frac{a}{x}<0$ . Since $\frac{a}{x}<0$ , $a$ and $x$ have different signs, so $x<0$ . Then since $-1<\frac{a}{x}$ , also $x<-a$ .

So, $\sqrt{x^2-a^2} = |a\tan u| = -a\tan u \neq a\tan u$ happens precisely when when $x< -a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 42번

# 삼각치환계산도전자동 분류

494.CLP-2 · 1.10절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 사실이 있습니다.

분모에 중복된 일차인수 $(ax+b)^n$ 이 있고 분자의 차수가 분모의 차수보다 (엄밀히) 작은 유리함수가 있다고 하자. 부분분수분해에서 다음 항들

$\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2}+\frac{A_3}{(ax+b)^3}+\cdots+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}\tag{1}$

을 하나의 항

$\frac{B_1+B_2x+B_3x^2+\cdots + B_{n}x^{n-1}}{(ax+b)^n}\tag{2}$

으로 바꾸어도 여전히 해를 구할 수 있음이 보장된다.

부분분수분해에서 (2)의 단일 항 대신 (1)의 합을 사용하는 이유는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Here is a fact:

Suppose we have a rational function with a repeated linear factor $(ax+b)^n$ in the denominator, and the degree of the numerator is strictly less than the degree of the denominator. In the partial fraction decomposition, we can replace the terms

$\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2}+\frac{A_3}{(ax+b)^3}+\cdots+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}\tag{1}$

with the single term

$\frac{B_1+B_2x+B_3x^2+\cdots + B_{n}x^{n-1}}{(ax+b)^n}\tag{2}$

and still be guaranteed to find a solution.

Why do we use the sum in (1), rather than the single term in (2), in partial fraction decomposition?

정답·풀이 보기

부분분수분해의 목표는 피적분함수를 적분하기 쉬운 꼴로 쓰는 것이다. (1)의 부정적분은 치환 $u=(ax+b)$ 로 쉽게 구할 수 있다. 반면 (2)의 부정적분은 어떻게 구해야 할지 분명하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

The goal of partial fraction decomposition is to write our integrand in a form that is easy to integrate. The antiderivative of (1) can be easily determined with the substitution $u=(ax+b)$ . It's less clear how to find the antiderivative of (2).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 15번

# 부분분수 적분계산기본자동 분류

495.CLP-2 · 1.10절 · 7번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2}$ .

정답·풀이 보기

피적분함수는 유리함수이므로 부분분수로 분해할 수 있는 후보이다. 뻔한 치환이나 부분적분은 바로 배제할 수 있으므로, 분해를 그대로 진행한다.

먼저 피적분함수, 즉 분수 $\frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)}$ 을 더 간단한 분수 $\frac{1}{x}$ 과 $\frac{1}{x+1}$ 의 일차결합으로 나타낸다(이 두 분수의 적분은 이미 알고 있다). 그러면

$\begin{aligned} \frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} =\frac{a(x+1) +bx}{x(1+x)} \end{aligned}$

이다.

좌변의 분수와 우변의 분수가 같을 필요충분조건은 좌변의 분자 $1 = 0x + 1$ 이 우변의 분자 $a(x+1)+bx = (a+b)x +a$ 와 같은 것이다. 이는 다시 $a=1$ (즉 두 분자의 상수항이 같다)이고 $a+b=0$ (즉 두 분자에서 $x$ 의 계수가 같다)일 필요충분조건이다. 따라서 $a=1$ , $b=-1$ 이다. 이제 적분을 쉽게 계산할 수 있다.

$\begin{aligned} \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2} &=\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x(x+1)} =\int_1^2 \Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\Big)\,\mathrm{d}x =\Big[\log x-\log(x+1)\Big]_1^2\\ &=\log 2-\log\frac{3}{2} =\log\frac{4}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is a rational function, so it's a candidate for partial fraction. We quickly rule out any obvious substitution or integration by parts, so we go ahead with the decomposition.

We start by expressing the integrand, i.e. the fraction $\frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)}$ , as a linear combination of the simpler fractions $\frac{1}{x}$ and $\frac{1}{x+1}$ (which we already know how to integrate). We will have

$\begin{aligned} \frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} =\frac{a(x+1) +bx}{x(1+x)} \end{aligned}$

The fraction on the left hand side is the same as the fraction on the right hand side if and only if the numerator on the left hand side, which is $1 = 0x + 1$ , is equal to the numerator on the right hand side, which is $a(x+1)+bx = (a+b)x +a$ . This in turn is the case if and only of $a=1$ (i.e. the constant terms are the same in the two numerators) and $a+b=0$ (i.e. the coefficients of $x$ are the same in the two numerators). So $a=1$ and $b=-1$ . Now we can easily evaluate the integral

$\begin{aligned} \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2} &=\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x(x+1)} =\int_1^2 \Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\Big)\,\mathrm{d}x =\Big[\log x-\log(x+1)\Big]_1^2\\ &=\log 2-\log\frac{3}{2} =\log\frac{4}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 6번

# 부분분수 적분계산보통자동 분류

496.CLP-2 · 1.10절 · 15번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

피적분함수는 뚜렷한 치환이 보이지 않는 유리함수이므로 부분분수분해를 이용한다.

분자의 차수가 분모의 차수보다 확실히 작으므로 긴 나눗셈으로 시작할 필요가 없다.
그러나 분모는 인수분해해야 한다. $x^2$ 은 바로 묶어 낼 수 있고, 나머지는 $x^2-2x+1 = (x-1)^2$ 이다.
이제 부분분수분해를 할 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}&= \frac{x^2+2x-1}{x^2(x-1)^2} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2} \\ \text{양변에 처음 분모를 곱한다.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2+B(x-1)^2+Cx^2(x-1)+Dx^2\tag{1} \\ \text{요령껏 $x=0$ 을 대입하면 다음을 얻는다:} \\ -1&=B \\ \text{또 $x=1$ 을 대입하면 다음을 얻는다:} \\ 2&=D \\ \text{$B$ 와 $D$ 를 이용하여 식 (1)을 간단히 한다.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2 -1(x-1)^2+Cx^2(x-1)+ 2x^2\\ 0&=Ax(x-1)^2+Cx^2(x-1)\\ &=x(x-1)[(A+C)x-A]\\ \text{따라서,}\qquad 0&=(A+C)x-A \end{aligned}$

즉, $A=C=0$ 이다.

이제 적분의 값을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} \int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1}{x^2}+\frac{2}{(x-1)^2}\right)~\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is a rational function with no obvious substitution, so we'll use a partial fraction decomposition.

Since the numerator has strictly smaller degree than the denominator, we don't need to start off with a long division.
We do, however, need to factor the denominator. We can immediately pull out $x^2$ ; the remaining part is $x^2-2x+1 = (x-1)^2$ .
Now we can perform our partial fraction decomposition.

$\begin{aligned} \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}&= \frac{x^2+2x-1}{x^2(x-1)^2} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2} \\ \text{Multiply both sides by the original denominator.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2+B(x-1)^2+Cx^2(x-1)+Dx^2\tag{1} \\ \text{To be sneaky, we set $x=0$, and find:} \\ -1&=B \\ \text{We also set $x=1$, and find:} \\ 2&=D \\ \text{We use $B$ and $D$ to simplify Equation (1).} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2 -1(x-1)^2+Cx^2(x-1)+ 2x^2\\ 0&=Ax(x-1)^2+Cx^2(x-1)\\ &=x(x-1)[(A+C)x-A]\\ \text{So,}\qquad 0&=(A+C)x-A \end{aligned}$

That is, $A=C=0$ .

Now we can evaluate our integral.

$\begin{aligned} \int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1}{x^2}+\frac{2}{(x-1)^2}\right)~\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 1번

# 부분분수 적분계산보통자동 분류

497.CLP-2 · 1.10절 · 16번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

피적분함수는 뚜렷한 치환이 보이지 않는 유리함수이므로 부분분수 방법을 사용한다.

분자의 차수가 분모의 차수보다 작다.
분모를 인수분해해야 한다. 처음 두 항의 비와 마지막 두 항의 비가 같다.

$\begin{aligned} 2x^3-x^2-8x+4&=x^2(2x-1)-4(2x-1) \\ &= (x^2-4)(2x-1)\\ &=(x-2)(x+2)(2x-1) \end{aligned}$

이제 부분분수 분해를 구한다.

$\begin{aligned} \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}&=\frac{ 3x^2-4x-10}{(x-2)(x+2)(2x-1)}= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{2x-1} \\ \text{양변에 처음의 분모를 곱한다.} \\ 3x^2-4x-10&=A(x+2)(2x-1)+B(x-2)(2x-1)+C(x-2)(x+2) \\ \text{서로 다른 일차식의 곱인 경우는 요령 있는 방법을 쓰기에 가장 좋은 경우이다. 먼저 $x=2$ 로 놓자.} \\ 3(4)-4(2)-10&=A(4)(3)+B(0)+C(0)\\ A&=-\frac{1}{2} \\ \text{이번에는 $x=-2$ 로 놓자.} \\ 3(4)-4(-2)-10&=A(0)+B(-4)(-5)+C(0)\\ B&=\frac{1}{2} \\ \text{마지막으로 $x=\frac{1}{2}$ 로 놓자.} \\ \frac{3}{4}-2-10&=A(0)+B(0)+C\left(-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\\ C&=3 \end{aligned}$

이제 새로운 꼴로 나타낸 적분의 값을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} \int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1/2}{x-2}+\frac{1/2}{x+2}+\frac{3}{2x-1}\right) ~\mathrm{d}x\\ &=-\frac{1}{2}\log|x-2| + \frac{1}{2}\log|x+2| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \\&=\frac{1}{2}\log\left| \frac{x+2}{x-2} \right| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Our integrand is a rational function with no obvious substitution, so we'll use the method of partial fractions.

The degree of the numerator is less than the degree of the denominator.
We need to factor the denominator. The first two terms have the same ratio as the last two terms.

$\begin{aligned} 2x^3-x^2-8x+4&=x^2(2x-1)-4(2x-1) \\ &= (x^2-4)(2x-1)\\ &=(x-2)(x+2)(2x-1) \end{aligned}$

Now we find our partial fraction decomposition.

$\begin{aligned} \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}&=\frac{ 3x^2-4x-10}{(x-2)(x+2)(2x-1)}= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{2x-1} \\ \text{Multiply both sides by the original denominator.} \\ 3x^2-4x-10&=A(x+2)(2x-1)+B(x-2)(2x-1)+C(x-2)(x+2) \\ \text{Distinct linear factors is the best possible scenario for the sneaky method. First, let's set $x=2$.} \\ 3(4)-4(2)-10&=A(4)(3)+B(0)+C(0)\\ A&=-\frac{1}{2} \\ \text{Now, let $x=-2$.} \\ 3(4)-4(-2)-10&=A(0)+B(-4)(-5)+C(0)\\ B&=\frac{1}{2} \\ \text{Finally, let $x=\frac{1}{2}$.} \\ \frac{3}{4}-2-10&=A(0)+B(0)+C\left(-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\\ C&=3 \end{aligned}$

Now we can evaluate our integral in its new form.

$\begin{aligned} \int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1/2}{x-2}+\frac{1/2}{x+2}+\frac{3}{2x-1}\right) ~\mathrm{d}x\\ &=-\frac{1}{2}\log|x-2| + \frac{1}{2}\log|x+2| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \\&=\frac{1}{2}\log\left| \frac{x+2}{x-2} \right| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 7번

# 부분분수 적분계산보통자동 분류

498.CLP-2 · 1.11절 · 1번대학 수준우리말 번역

어떤 물체의 부피를 $1.5 \mathrm{m}^3$ 로 어림했는데, 정확한 부피는 $1.387 \mathrm{m}^3$ 이다. 이 어림값의 상대오차, 절대오차, 백분율 오차를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose we approximate an object to have volume $1.5 \mathrm{m}^3$ , when its exact volume is $1.387 \mathrm{m}^3$ . Give the relative error, absolute error, and percent error of our approximation.

정답·풀이 보기

절대오차는 두 값의 차이다: $|1.387-1.5| = 0.113$ 상대오차는 절대오차를 정확한 값으로 나눈 것이다: $\frac{0.113}{1.387}\approx 0.08147$ 백분율 오차는 상대오차의 100배이다: $\approx 8.147\%$

원본 교재 풀이(영어)

The absolute error is the difference between the two values: $|1.387-1.5| = 0.113$ The relative error is the absolute error divided by the exact value: $\frac{0.113}{1.387}\approx 0.08147$ The percent error is 100 times the relative error: $\approx 8.147\%$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.11절 · 2번

# 수치적분계산기본자동 분류

499.CLP-2 · 1.11절 · 3번대학 수준우리말 번역

$f(x) = -\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{7}{6}x^3-3x^2$ 이라 하자.

(a) 모든 $1 \leq x \leq 6$ 에 대해 $|f''(x)| \leq M$ 을 만족시키는 적당한 값 $M$ 을 구하세요. (b) 모든 $1 \leq x \leq 6$ 에 대해 $|f^{(4)}(x)| \leq L$ 을 만족시키는 적당한 값 $L$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x) = -\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{7}{6}x^3-3x^2$ .

(a) Find a reasonable value $M$ such that $|f''(x)| \leq M$ for all $1 \leq x \leq 6$ . (b) Find a reasonable value $L$ such that $|f^{(4)}(x)| \leq L$ for all $1 \leq x \leq 6$ .

정답·풀이 보기

(a) 미분하면 $f''(x) = -x^2+7x-6$ 임을 알 수 있다. $f''(x)$ 는 이차식이므로 그 그래프의 대략적인 모양을 잘 알 수 있다.

이 식은 $f(x) = -(x-6)(x-1)$ 로 인수분해되므로, 두 근은 $x=6$ 과 $x=1$ 이다.
포물선의 “평평한 부분"은 $x=3.5$ 에 있다( $x=1$ 과 $x=6$ 의 정확히 가운데이기 때문이다. 또는 $f'''(3.5)=0$ 임을 확인해도 된다).
$x^2$ 의 계수가 음수이므로, $f(x)$ 는 $-\infty$ 에서 $3.5$ 까지 증가하고, $3.5$ 에서 $\infty$ 까지 감소한다.

따라서 구간 $[1,6]$ 에서 $f''(x)$ 의 가장 큰 양의 값은 $x=3.5$ 일 때 나타나며, 그 값은 $f''(3.5) = -(3.5-6)(3.5-1)=6.25$ 이다.

그러므로 $M=6.25$ 로 잡는다. (b) 더 미분하면 $f^{(4)}(x)=-2$ 이다. 이것은 어디서나 상수이므로 $L=|-2|=2$ 로 잡는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Differentiating, we find $f''(x) = -x^2+7x-6$ . Since $f''(x)$ is quadratic, we have a pretty good idea of what it looks like.

It factors as $f(x) = -(x-6)(x-1)$ , so its two roots are at $x=6$ and $x=1$ .
The “flat part" of the parabola is at $x=3.5$ (since this is exactly half way between $x=1$ and $x=6$ ; alternately, we can check that $f'''(3.5)=0$ ).
Since the coefficient of $x^2$ is negative, $f(x)$ is increasing from $-\infty$ to $3.5$ , then decreasing from $3.5$ to $\infty$ .

Therefore, over the interval $[1,6]$ , the largest positive value of $f''(x)$ occurs when $x=3.5$ , and this is $f''(3.5) = -(3.5-6)(3.5-1)=6.25$ .

So, we take $M=6.25$ . (b) We differentiate further to find $f^{(4)}(x)=-2$ . This is constant everywhere, so we take $L=|-2|=2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.11절 · 7번

# 수치적분계산기본자동 분류

500.CLP-2 · 1.11절 · 7번대학 수준우리말 번역

어머니의 나이는 100세 미만이고, 나의 나이는 200세 미만이라고 하자. (이 이야기는 어딘가로 이어진다.) 누가 더 나이가 많은지 말하세요.

영어 원문 보기

Suppose my mother is under 100 years old, and I am under 200 years old. (We're going somewhere with this.) Who is older?

정답·풀이 보기

어떤 합리적인 가정을 하더라도(내가 어머니보다 나이가 많은 상황을 만들어 내려다 들킨 사람은 최고 보안 등급의 대학원으로 보내질 것이다.) 어머니가 나보다 나이가 많다.

원본 교재 풀이(영어)

Under any reasonable assumptions (Anyone caught trying to come up with a scenario in which I am older than my mother will be sent to maximum security grad school.), my mother is older than I am.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.11절 · 9번

# 수치적분계산기본자동 분류

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