이상적분 연습문제 | 빌드라인 스쿨

61.APEX · 6.8절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–16에서 삼각 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\displaystyle \int \sqrt{4x^2+1}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–16, apply Trigonometric Substitution to evaluate the indefinite integrals.

$\displaystyle \int \sqrt{4x^2+1}\ dx$

정답·풀이 보기

$x\sqrt{x^2+1/4}+\frac14\ln|2\sqrt{x^2+1/4}+2x| + C = \frac12x\sqrt{4x^2+1}+\frac14\ln|\sqrt{4x^2+1}+2x|+C$

원본 교재 풀이(영어)

$x\sqrt{x^2+1/4}+\frac14\ln|2\sqrt{x^2+1/4}+2x| + C = \frac12x\sqrt{4x^2+1}+\frac14\ln|\sqrt{4x^2+1}+2x|+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 3번

# 이상적분계산자동 분류

62.APEX · 6.8절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–16에서 삼각 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\displaystyle \int \sqrt{1-9x^2}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–16, apply Trigonometric Substitution to evaluate the indefinite integrals.

$\displaystyle \int \sqrt{1-9x^2}\ dx$

정답·풀이 보기

$\frac16\sin^{-1}(3x)+\frac32\sqrt{1/9-x^2}+C=\frac16\sin^{-1}(3x)+\frac12\sqrt{1-9x^2}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac16\sin^{-1}(3x)+\frac32\sqrt{1/9-x^2}+C=\frac16\sin^{-1}(3x)+\frac12\sqrt{1-9x^2}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.12절 · 7번

# 이상적분계산자동 분류

63.APEX · 6.8절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–16에서 삼각 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\displaystyle \int \sqrt{16x^2-1}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–16, apply Trigonometric Substitution to evaluate the indefinite integrals.

$\displaystyle \int \sqrt{16x^2-1}\ dx$

정답·풀이 보기

$4\left(\frac12x\sqrt{x^2-1/16}-\frac1{32}\ln|4x+4\sqrt{x^2-1/16}|\right)+C = \frac12x\sqrt{16x^2-1}-\frac18\ln|4x+\sqrt{16x^2-1}|+C$

원본 교재 풀이(영어)

$4\left(\frac12x\sqrt{x^2-1/16}-\frac1{32}\ln|4x+4\sqrt{x^2-1/16}|\right)+C = \frac12x\sqrt{16x^2-1}-\frac18\ln|4x+\sqrt{16x^2-1}|+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 51번

# 이상적분계산자동 분류

64.APEX · 6.8절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–16에서 삼각 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac3{\sqrt{7-x^2}}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–16, apply Trigonometric Substitution to evaluate the indefinite integrals.

$\displaystyle \int \frac3{\sqrt{7-x^2}}\ dx$

정답·풀이 보기

$3\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{7}}\right)+C$ (삼각 치환은 필요하지 않다)

원본 교재 풀이(영어)

$3\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{7}}\right)+C$ (Trig. Subst. is not needed)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 37번

# 이상적분계산자동 분류

65.APEX · 6.8절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–16에서 삼각 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac5{\sqrt{x^2-8}}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–16, apply Trigonometric Substitution to evaluate the indefinite integrals.

$\displaystyle \int \frac5{\sqrt{x^2-8}}\ dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$5\ln\left|\frac{x}{\sqrt{8}}+\frac{\sqrt{x^2-8}}{\sqrt{8}}\right|+C$

원본 교재 풀이(영어)

$5\ln\left|\frac{x}{\sqrt{8}}+\frac{\sqrt{x^2-8}}{\sqrt{8}}\right|+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 43번

# 이상적분계산자동 분류

66.APEX · 6.8절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각치환 없이 구할 수도 있습니다.

$\displaystyle \int \frac {\sqrt{x^2-11}}x\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

$\displaystyle \int \frac {\sqrt{x^2-11}}x\ dx$

정답·풀이 보기

$\sqrt{x^2-11}-\sqrt{11}\sec^{-1}(x/\sqrt{11})+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{x^2-11}-\sqrt{11}\sec^{-1}(x/\sqrt{11})+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 25번

# 이상적분계산자동 분류

67.APEX · 6.8절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각치환 없이 구할 수도 있습니다.

$\displaystyle \int \frac {1}{(x^2+1)^2}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

$\displaystyle \int \frac {1}{(x^2+1)^2}\ dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac12\left(\tan^{-1}x+\frac x{x^2+1}\right)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac12\left(\tan^{-1}x+\frac x{x^2+1}\right)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.12절 · 1번

# 이상적분계산자동 분류

68.APEX · 6.8절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각치환 없이 구할 수도 있습니다.

$\displaystyle \int \frac x{\sqrt{x^2-3}}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

$\displaystyle \int \frac x{\sqrt{x^2-3}}\ dx$

정답·풀이 보기

$\sqrt{x^2-3}+C$ (삼각치환은 필요하지 않다)

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{x^2-3}+C$ (Trig. Subst. is not needed)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.5절 · 11번

# 이상적분계산자동 분류

69.APEX · 6.8절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각치환 없이 구할 수도 있습니다.

$\displaystyle \int x^2\sqrt{1-x^2}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

$\displaystyle \int x^2\sqrt{1-x^2}\ dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac18\sin^{-1}x-\frac18x\sqrt{1-x^2}(1-2x^2)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac18\sin^{-1}x-\frac18x\sqrt{1-x^2}(1-2x^2)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 11번

# 이상적분계산자동 분류

70.APEX · 6.8절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각치환 없이 구할 수도 있습니다.

$\displaystyle \int \frac {x}{(x^2+9)^{3/2}}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

$\displaystyle \int \frac {x}{(x^2+9)^{3/2}}\ dx$

정답·풀이 보기

$-\frac1{\sqrt{x^2+9}}+C$ (삼각치환은 필요하지 않다)

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac1{\sqrt{x^2+9}}+C$ (Trig. Subst. is not needed)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.8절 · 3번

# 이상적분계산자동 분류

71.APEX · 6.8절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각 치환 없이 구할 수도 있습니다.

$\displaystyle \int \frac {5x^2}{\sqrt{x^2-10}}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

$\displaystyle \int \frac {5x^2}{\sqrt{x^2-10}}\ dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac52x\sqrt{x^2-10}+25\ln\left|\frac{x}{\sqrt{10}}+\frac{\sqrt{x^2-10}}{\sqrt{10}}\right|+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac52x\sqrt{x^2-10}+25\ln\left|\frac{x}{\sqrt{10}}+\frac{\sqrt{x^2-10}}{\sqrt{10}}\right|+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 57번

# 이상적분계산자동 분류

72.APEX · 6.8절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각 치환 없이 구할 수도 있습니다.

$\displaystyle \int \frac {1}{(x^2+4x+13)^2}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

$\displaystyle \int \frac {1}{(x^2+4x+13)^2}\ dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac1{18}\frac{x+2}{x^2+4x+13}+\frac1{54}\tan^{-1}\left(\frac{x+2}3\right)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac1{18}\frac{x+2}{x^2+4x+13}+\frac1{54}\tan^{-1}\left(\frac{x+2}3\right)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 27번

# 이상적분계산자동 분류

73.APEX · 6.8절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각 치환 없이 구할 수도 있습니다.

$\displaystyle \int x^2(1-x^2)^{-3/2}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

$\displaystyle \int x^2(1-x^2)^{-3/2}\ dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac x{\sqrt{1-x^2}} - \sin^{-1}x+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac x{\sqrt{1-x^2}} - \sin^{-1}x+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.12절 · 17번

# 이상적분계산자동 분류

74.APEX · 6.8절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각 치환 없이 구할 수도 있습니다.

$\displaystyle \int \frac{\sqrt{5-x^2}}{7x^2}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

$\displaystyle \int \frac{\sqrt{5-x^2}}{7x^2}\ dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac17\left(-\frac{\sqrt{5-x^2}}x-\sin^{-1}(x/\sqrt{5})\right)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac17\left(-\frac{\sqrt{5-x^2}}x-\sin^{-1}(x/\sqrt{5})\right)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 55번

# 이상적분계산자동 분류

75.APEX · 6.8절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각 치환 없이 구할 수도 있습니다.

$\displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

$\displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\ dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac12x\sqrt{x^2+3}-\frac32\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{3}}+\frac x{\sqrt{3}}\right|+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac12x\sqrt{x^2+3}-\frac32\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{3}}+\frac x{\sqrt{3}}\right|+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 29번

# 이상적분계산자동 분류

76.APEX · 6.8절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–32에서, 적절한 삼각치환을 하고 또한 적분 구간을 바꾸어 정적분의 값을 구하세요. (참고: 각 정적분에 대응하는 부정적분은 이 연습문제 앞부분에 이미 나왔습니다.)

$\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, evaluate the definite integrals by making the proper trigonometric substitution and changing the bounds of integration. (Note: each of the corresponding indefinite integrals has appeared previously in this Exercise set.)

$\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 33번

# 이상적분계산자동 분류

77.APEX · 6.8절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–32에서, 적절한 삼각치환을 하고 또한 적분 구간을 바꾸어 정적분의 값을 구하세요. (참고: 각 정적분에 대응하는 부정적분은 이 연습문제 앞부분에 이미 나왔습니다.)

$\displaystyle \int_{4}^8 \sqrt{x^2-16}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, evaluate the definite integrals by making the proper trigonometric substitution and changing the bounds of integration. (Note: each of the corresponding indefinite integrals has appeared previously in this Exercise set.)

$\displaystyle \int_{4}^8 \sqrt{x^2-16}\ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$16\sqrt3-8\ln(2+\sqrt3)$

원본 교재 풀이(영어)

$16\sqrt3-8\ln(2+\sqrt3)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 9번

# 이상적분계산자동 분류

78.APEX · 6.8절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–32에서, 적절한 삼각치환을 하고 또한 적분 구간을 바꾸어 정적분의 값을 구하세요. (참고: 각 정적분에 대응하는 부정적분은 이 연습문제 앞부분에 이미 나왔습니다.)

$\displaystyle \int_{0}^2 \sqrt{x^2+4}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, evaluate the definite integrals by making the proper trigonometric substitution and changing the bounds of integration. (Note: each of the corresponding indefinite integrals has appeared previously in this Exercise set.)

$\displaystyle \int_{0}^2 \sqrt{x^2+4}\ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2\sqrt2+2\ln(1+\sqrt2)$

원본 교재 풀이(영어)

$2\sqrt2+2\ln(1+\sqrt2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 45번

# 이상적분계산자동 분류

79.APEX · 6.8절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–32에서, 적절한 삼각치환을 하고 또한 적분 구간을 바꾸어 정적분의 값을 구하세요. (참고: 각 정적분에 대응하는 부정적분은 이 연습문제 앞부분에 이미 나왔습니다.)

$\displaystyle \int_{-1}^1 \frac1{(x^2+1)^2}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, evaluate the definite integrals by making the proper trigonometric substitution and changing the bounds of integration. (Note: each of the corresponding indefinite integrals has appeared previously in this Exercise set.)

$\displaystyle \int_{-1}^1 \frac1{(x^2+1)^2}\ dx$

정답·풀이 보기

$\pi/4+1/2)$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi/4+1/2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 55번

# 이상적분계산자동 분류

80.APEX · 6.8절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–32에서, 적절한 삼각치환을 하고 또한 적분 구간을 바꾸어 정적분의 값을 구하세요. (참고: 각 정적분에 대응하는 부정적분은 이 연습문제 앞부분에 이미 나왔습니다.)

$\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{9-x^2}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, evaluate the definite integrals by making the proper trigonometric substitution and changing the bounds of integration. (Note: each of the corresponding indefinite integrals has appeared previously in this Exercise set.)

$\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{9-x^2}\ dx$

정답·풀이 보기

$9\sin^{-1}(1/3)+\sqrt{8}$ 참고: 새로운 아래끝은 $\theta=\sin^{-1}(-1/3)$ 이고 새로운 위끝은 $\theta=\sin^{-1}(1/3)$ 이다. 최종 답은 $\sin^{-1}(-1/3)=-\sin^{-1}(1/3)$ 이고 $\cos\big(\sin^{-1}(1/3)\big)=\cos\big(\sin^{-1}(-1/3)\big) = \sqrt{8}/3$ 임을 이용하여 얻는다.

원본 교재 풀이(영어)

$9\sin^{-1}(1/3)+\sqrt{8}$ Note: the new lower bound is $\theta=\sin^{-1}(-1/3)$ and the new upper bound is $\theta=\sin^{-1}(1/3)$ . The final answer comes with recognizing that $\sin^{-1}(-1/3)=-\sin^{-1}(1/3)$ and that $\cos\big(\sin^{-1}(1/3)\big)=\cos\big(\sin^{-1}(-1/3)\big) = \sqrt{8}/3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 11번

# 이상적분계산자동 분류