함수의 극한과 연속 전체 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.2절 · 28번우리말 풀이

다음 문제에서는 여기에 나온 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용해 값을 구하세요. 구할 수 있다면 구하고, 필요하면 어림해 보세요.

$\lim_{x\to 0}f(x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the graph of the function $y=f(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

$\lim_{x\to 0}f(x)$

풀이 보기

극한이 있으려면 왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때의 값이 같아야 해요.

1
왼쪽에서 다가가요. $x<0$ 일 때의 그래프는 직선이에요. $x$ 가 $0$ 에 왼쪽에서 가까워지면 점이 빈 원이 있는 $(0,1)$ 쪽으로 다가가므로 $\lim_{x\to0^{-}}f(x)=1$ 이에요. (빈 원이라 $f(0)=1$ 은 아니지만 극한값에는 상관없어요.)
2
오른쪽에서 다가가요. $x\ge 0$ 에서는 포물선의 오른쪽 절반이고 꼭짓점 $(0,-4)$ 에서 시작해요. 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지면 $y$ 값이 $-4$ 에 다가가므로 $\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-4$ 예요.
3
두 값을 비교해요. 왼쪽 극한 $1$ 과 오른쪽 극한 $-4$ 가 서로 달라요. 따라서 $x\to0$ 일 때의 극한은 존재하지 않아요.

답

극한이 존재하지 않는다 (DNE)

자주 하는 실수

점 $(0,-4)$ 처럼 색칠된 원의 값, 즉 $f(0)=-4$ 를 그대로 극한값이라고 써요.

원본 교재 풀이(영어)

DNE

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 40번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

2.OpenStax 1권 · 2.2절 · 34번우리말 풀이

다음 문제에서 그림에 나온 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용하여 가능하면 값을 구하세요. 필요하면 어림해도 돼요.

세 개의 직선 조각으로 이루어진 함수의 그래프예요. 첫째는 x<-2 에서 기울기 1이며 (-2,0) 에서 속이 빈 점으로 끝나요. 둘째는 -2<x<2 에서 기울기 -1 이고 원점을 지나며, 양 끝 (-2,2), (2,-2) 는 속이 찬 점이에요. 셋째는 x>2 에서 기울기 1이고 (2,2) 의 속이 빈 점에서 시작해요.

$\lim_{x\to 2^{+}}f(x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the graph of the function $y=f(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

$\lim_{x\to {2}^{+}}f(x)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to2^+$ 는 오른쪽에서 다가가는 것이니, $x>2$ 인 부분의 그래프가 향하는 높이를 읽어요.

1
$x\to2^+$ 는 $x$ 가 $2$ 보다 큰 쪽에서 $2$ 로 다가간다는 뜻이에요. 그러니 $x=2$ 의 오른쪽 그래프만 봐요.
2
$x>2$ 에서 그래프는 기울기 $1$ 인 직선이고, $(2,2)$ 의 속이 빈 점에서 시작해요. 속이 빈 점은 그 점에서 함숫값이 $2$ 가 아니라는 뜻이지만, 그래프가 향하는 높이는 $2$ 예요.
3
$x$ 가 오른쪽에서 $2$ 로 다가갈수록 $f(x)$ 는 $2$ 에 가까워지므로 $\lim_{x\to2^+}f(x)=2$ 예요. (참고로 $x\to2^-$ 일 때는 $-2$ 로 가서 좌극한과 우극한이 달라요.)

답

$2$

자주 하는 실수

$x=2$ 에서 점이 찍힌 곳( $-2$ )의 높이를 읽어 우극한도 $-2$ 라고 답하기 쉬워요. 우극한은 오른쪽 가지만 봐요.

원본 교재 풀이(영어)

2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 35번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

3.OpenStax 1권 · 2.2절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서는 여기에 나온 함수 $y=h(x)$ 의 그래프를 이용해 값을 구하세요. 구할 수 있다면 구하고, 필요하면 어림해 보세요.

$\lim_{x\to 0^{+}}h(x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the graph of the function $y=h(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

$\lim_{x\to {0}^{+}}h(x)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to0^{+}$ 는 $0$ 보다 큰 쪽(오른쪽)에서만 다가간다는 뜻이니 그래프의 오른쪽 조각만 보면 돼요.

1
어느 쪽을 볼지 정해요. $0^{+}$ 는 $x>0$ 인 쪽에서 $0$ 에 다가간다는 뜻이에요. 그래서 $y$ 축 오른쪽, 즉 1사분면의 곡선만 보면 돼요.
2
곡선이 다가가는 값을 읽어요. 1사분면의 곡선은 원점에서 시작해 오른쪽으로 뻗어요. $x$ 가 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지면 곡선의 $y$ 값도 $0$ 에 가까워져요.

답

$0$

자주 하는 실수

왼쪽 곡선(3사분면)까지 함께 보고 극한이 없다고 판단해요. 이 문제는 오른쪽에서만 다가가요.

원본 교재 풀이(영어)

0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.4절 · 3번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

4.OpenStax 1권 · 2.3절 · 35번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 문제에서는 계산기로 각 조각 함수의 그래프를 그리고, 그래프를 살펴서 주어진 극한을 구하세요.

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-2x+1, & x<2 \\ 3-x, & x\ge 2\end{array}\right.$

a. $\lim_{x\to 2^{-}}h(x)$ b. $\lim_{x\to 2^{+}}h(x)$

영어 원문 보기

[T] In the following exercises, use a calculator to draw the graph of each piecewise-defined function and study the graph to evaluate the given limits.

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^{2}-2x+1, & x<2 \\ 3-x, & x\ge 2\end{array}\right.$

a. $\lim_{x\to {2}^{-}}h(x)$ b. $\lim_{x\to {2}^{+}}h(x)$

풀이 보기

$x=2$ 의 왼쪽에서는 첫 번째 식을, 오른쪽에서는 두 번째 식을 써요.

1
어느 식을 쓸지 정해요. $x\to2^{-}$ 는 $x<2$ 이므로 $x^2-2x+1$ 을 써요. $x\to2^{+}$ 는 $x>2$ 이므로 $3-x$ 를 써요.
2
(a) 왼쪽 극한을 구해요. $x^2-2x+1$ 은 다항함수라 그냥 대입하면 돼요. $2^2-2\cdot2+1=1$ 이에요.
3
(b) 오른쪽 극한을 구해요. $3-x$ 에 $x=2$ 를 대입하면 $3-2=1$ 이에요.
4
그래프와 비교해요. 그래프에서 왼쪽 포물선과 오른쪽 직선이 모두 점 $(2,1)$ 에서 만나요. 두 극한이 같으니 $\lim_{x\to2}h(x)=1$ 로 극한이 존재해요.

답

(a) $1$ (b) $1$

자주 하는 실수

조각 함수에서 두 식을 구분하지 않고 한 식에만 대입해요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph of a piecewise function with two segments. The first segment is the parabola x^2 – 2x + 1, for x < 2. It opens upward and has a vertex at (1,0). The second segment is the line 3-x for x>= 2. It has a slope of -1 and an x intercept at (3,0).

a. 1; b. 1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 47번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

5.CLP-1 · 1.2절 · 6번우리말 번역

아래는 시각 $t$ 에서 물체의 위치를 나타낸 그래프이다. 물체의 속도가 양수인 시간은 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

Below is the graph of the position of an object at time $t$ . For what periods of time is the object's velocity positive?

정답·풀이 보기

속도는 물체가 증가하는 방향으로 움직일 때 양수이다. 그래프에서 $t$ 가 0과 2 사이일 때와 $t$ 가 $6$ 과 $7$ 사이일 때 물체는 "위로" 올라가고 있다. 따라서 속도가 양수인 것은 $t$ 가 $(0,2) \cup (6,7)$ 에 있을 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

The velocity is positive when the object is going in the increasing direction; it is going “up" on the graph when $t$ is between 0 and 2, and when $t$ is between $6$ and $7$ . So, the velocity is positive when $t$ is in $(0,2) \cup (6,7)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 5번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석기본자동 분류

6.CLP-1 · 1.3절 · 1번우리말 번역

아래에 나타낸 함수에 대하여 다음 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}f(x)$

영어 원문 보기

Given the function shown below, evaluate the following:

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}f(x)$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} f(x)=1$ 이다. $x$ 가 $-2$ 에 아주 가까워지면 $y$ 는 $1$ 에 아주 가까워진다. (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0$ 이다. $x$ 가 $0$ 에 아주 가까워지면 $y$ 도 $0$ 에 아주 가까워진다. (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}f(x)=2$ 이다. $x$ 가 $2$ 에 아주 가까워지면 $y$ 는 $2$ 에 아주 가까워진다. $x$ 가 정확히 $2$ 일 때의 함수의 값은 무시한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} f(x)=1$ : as $x$ gets very close to $-2$ , $y$ gets very close to $1$ . (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0$ : as $x$ gets very close to $0$ , $y$ also gets very close to $0$ . (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}f(x)=2$ : as $x$ gets very close to $2$ , $y$ gets very close to $2$ . We ignore the value of the function where $x$ is exactly $2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 17번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석기본자동 분류

7.CLP-1 · 1.3절 · 2번우리말 번역

아래에 주어진 함수에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Given the function shown below, evaluate $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ .

정답·풀이 보기

극한은 존재하지 않는다. $x$ 가 0 에 왼쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 -1 에 가까워지고, $x$ 가 0 에 오른쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 1 에 가까워진다. 이는 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=-1$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=1$ 임을 뜻하지만, 이 둘은 모두 문제에서 물은 것이 아니다. 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 서로 같지 않으므로 극한은 존재하지 않는다. 달리 말하면, $x$ 가 0 에 가까워질 때 $y$ 가 가까워지는 하나의 수가 없으므로 극한 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ 는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

The limit does not exist. As $x$ approaches 0 from the left, $y$ approaches -1; as $x$ approaches 0 from the right, $y$ approaches 1. This tells us $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=-1$ and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=1$ , but neither of these are what the question asked. Since the limits from left and right do not agree, the limit does not exist. Put another way, there is no single number $y$ approaches as $x$ approaches 0, so the limit $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 3번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석기본자동 분류

8.CLP-1 · 1.3절 · 3번우리말 번역

아래에 주어진 함수에 대하여 다음 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ (d) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x)$ (e) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$

영어 원문 보기

Given the function shown below, evaluate:

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ (d) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x)$ (e) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)=2$ : $x$ 가 $-1$ 에 왼쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 2 에 가까워진다. 함수가 $x=-1$ 에서 정의되지 않는 것은 상관없고, $x=-1$ 의 오른쪽에서 어떤 일이 일어나는지도 상관없다. (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)=-2$ : $x$ 가 $-1$ 에 오른쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 -2 에 가까워진다. 함수가 $-1$ 에서 정의되지 않는 것은 상관없고, $-1$ 의 왼쪽에서 어떤 일이 일어나는지도 상관없다. (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x) =$ 존재하지 않는다: 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 서로 같지 않으므로 극한은 존재하지 않는다. (d) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x) =0$ : $x$ 가 $-2$ 에 오른쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 0 에 가까워진다. 함수가 2 에서 정의되지 않는 것이나 2 의 왼쪽에서 정의되지 않는 것은 상관없다. (e) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=0$ : $x$ 가 $2$ 에 왼쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 0 에 가까워진다. 함수가 2 에서 정의되지 않는 것이나 2 의 오른쪽에서 정의되지 않는 것은 상관없다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)=2$ : as $x$ approaches $-1$ from the left, $y$ approaches 2. It doesn't matter that the function isn't defined at $x=-1$ , and it doesn't matter what happens to the right of $x=-1$ . (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)=-2$ : as $x$ approaches $-1$ from the right, $y$ approaches -2. It doesn't matter that the function isn't defined at $-1$ , and it doesn't matter what happens to the left of $-1$ . (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x) =$ DNE: since the limits from the left and right don't agree, the limit does not exist. (d) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x) =0$ : as $x$ approaches $-2$ from the right, $y$ approaches 0. It doesn't matter that the function isn't defined at 2, or to the left of 2. (e) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=0$ : as $x$ approaches $2$ from the left, $y$ approaches 0. It doesn't matter that the function isn't defined at 2, or to the right of 2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 1번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석기본자동 분류

9.CLP-1 · 1.6절 · 1번우리말 번역

무한 불연속점을 무수히 많이 갖는 함수의 예를 하나 드세요. (식을 쓰거나 그래프를 그려도 됩니다.)

영어 원문 보기

Give an example of a function (you can write a formula, or sketch a graph) that has infinitely many infinite discontinuities.

정답·풀이 보기

여러 가지 답이 가능하다. 탄젠트 함수가 이와 같은 성질을 가진다.

원본 교재 풀이(영어)

Many answers are possible; the tangent function behaves like this.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 7번

# 함수의 연속그래프·표 해석기본자동 분류

10.CLP-1 · 1.6절 · 3번우리말 번역

구간 $[0,2]$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 중에서 $f(0)=0$ , $f(2)=2$ 이고 $f(x)$ 가 1이 되는 경우가 없는 예를 (그래프나 식으로) 하나 드세요. 이것이 사잇값 정리(IVT)와 모순되지 않는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Give an example (by sketch or formula) of a function $f(x)$ , defined on the interval $[0,2]$ , with $f(0)=0$ , $f(2)=2$ , and $f(x)$ never equal to 1. Why does this not contradict the Intermediate Value Theorem?

정답·풀이 보기

한 가지 예는 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0&0 \leq x \leq 1 \text{ 일 때}\\ 2&1<x \leq 2 \text{ 일 때} \end{array}\right.$ 이다. 사잇값 정리(IVT)는 $f$ 가 $[0,2]$ 에서 연속일 때에만 $[0,2]$ 의 어떤 $c$ 에 대해 $f(c)=1$ 임을 보장한다. $f$ 가 연속이 아니면 사잇값 정리(IVT)는 아무것도 말해 주지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

One example is $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0&\text{when }0 \leq x \leq 1\\ 2&\text{when }1<x \leq 2 \end{array}\right.$ . The IVT only guarantees $f(c)=1$ for some $c$ in $[0,2]$ when $f$ is continuous over $[0,2]$ . If $f$ is not continuous, the IVT says nothing.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 2번

# 함수의 연속그래프·표 해석기본자동 분류

함수의 극한과 연속 전체 문제