함수의 극한의 뜻 연습문제

61.OpenStax 1권 · 2.2절 · 49번우리말 번역

다음 문제에서, 주어진 성질을 갖는 함수의 그래프를 그리세요.

$As x\to -\infty , f(x)\to 2,\lim_{x\to {3}^{-}}f(x)=-\infty ,$ $\lim_{x\to {3}^{+}}f(x)=\infty , As x\to \infty , f(x)\to 2,f(0)=\frac{-1}{3}$

영어 원문 보기

In the following exercises, sketch the graph of a function with the given properties.

$As x\to -\infty , f(x)\to 2,\lim_{x\to {3}^{-}}f(x)=-\infty ,$ $\lim_{x\to {3}^{+}}f(x)=\infty , As x\to \infty , f(x)\to 2,f(0)=\frac{-1}{3}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 2번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

62.OpenStax 1권 · 2.2절 · 50번우리말 번역

다음 문제에서, 주어진 성질을 갖는 함수의 그래프를 그리세요.

$As x\to -\infty , f(x)\to 2,\lim_{x\to -2}f(x)=-\infty ,$ $As x\to \infty , f(x)\to 2,f(0)=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, sketch the graph of a function with the given properties.

$As x\to -\infty , f(x)\to 2,\lim_{x\to -2}f(x)=-\infty ,$ $As x\to \infty , f(x)\to 2,f(0)=0$

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

두 곡선이 있는 그래프이다. 첫 번째 곡선은 y=2를 따라 2로 점근하고, x = -2를 따라 음의 무한대로 향한다. 두 번째 곡선은 x=-2를 따라 음의 무한대로 향하고, y=2를 따라 2로 점근한다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

A graph containing two curves. The first goes to 2 asymptotically along y=2 and to negative infinity along x = -2. The second goes to negative infinity along x=-2 and to 2 along y=2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 46번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

63.OpenStax 1권 · 2.2절 · 51번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 성질을 갖는 함수의 그래프를 그리세요.

$As x\to -\infty , f(x)\to 0,\lim_{x\to {-1}^{-}}f(x)=\infty ,\lim_{x\to {-1}^{+}}f(x)=-\infty ,$ $f(0)=-1,\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)=-\infty ,\lim_{x\to {1}^{+}}f(x)=\infty , As x\to \infty , f(x)\to 0$

영어 원문 보기

In the following exercises, sketch the graph of a function with the given properties.

$As x\to -\infty , f(x)\to 0,\lim_{x\to {-1}^{-}}f(x)=\infty ,\lim_{x\to {-1}^{+}}f(x)=-\infty ,$ $f(0)=-1,\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)=-\infty ,\lim_{x\to {1}^{+}}f(x)=\infty , As x\to \infty , f(x)\to 0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 18번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

64.OpenStax 1권 · 2.2절 · 52번우리말 번역

충격파는 초신성에서 폭발파에 이르기까지 많은 물리적 응용에서 나타난다. 거리 x 에 대한 충격파의 밀도 그래프가 여기에 나와 있다. 우리는 주로 그림에서 ${x}_{\text{SF}}$ 로 표시된 충격파 앞면의 위치에 관심이 있다.

제1사분면에 그려진 충격파의 밀도 그래프로, 점 세 개에 이름이 붙어 있다. y축 위의 p1과 p2(p1 > p2), 그리고 x축 위의 xsf이다. 그래프는 0부터 xsf까지의 y = p1, y = p1에서 y = p2까지의 x = xsf, 그리고 xsf보다 크거나 같은 값에서의 y = p2로 이루어져 있다.

a. $\lim_{x\to {x}_{SF}{}^{+}}\rho (x)$ 의 값을 구하세요. b. $\lim_{x\to {x}_{SF}{}^{-}}\rho (x)$ 의 값을 구하세요. c. $\lim_{x\to {x}_{SF}}\rho (x)$ 의 값을 구하세요. 답이 갖는 물리적 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

Shock waves arise in many physical applications, ranging from supernovas to detonation waves. A graph of the density of a shock wave with respect to distance, x, is shown here. We are mainly interested in the location of the front of the shock, labeled ${x}_{\text{SF}}$ in the diagram.

A graph in quadrant one of the density of a shockwave with three labeled points: p1 and p2 on the y axis, with p1 > p2, and xsf on the x axis. It consists of y= p1 from 0 to xsf, x = xsf from y= p1 to y=p2, and y=p2 for values greater than or equal to xsf.

a. Evaluate $\lim_{x\to {x}_{SF}{}^{+}}\rho (x).$ b. Evaluate $\lim_{x\to {x}_{SF}{}^{-}}\rho (x).$ c. Evaluate $\lim_{x\to {x}_{SF}}\rho (x).$ Explain the physical meanings behind your answers.

정답·풀이 보기

a. ${\rho }_{2}$ b. ${\rho }_{1}$ c. ${\rho }_{1}={\rho }_{2}$ 인 경우를 제외하고는 존재하지 않는다. 왼쪽에서 ${x}_{\text{SF}}$ 에 가까워지면 충격파의 고밀도 영역에 있게 된다. 오른쪽에서 가까워지면 아직 “충격”을 겪지 않은 상태이므로 밀도가 더 낮다.

원본 교재 풀이(영어)

a. ${\rho }_{2}$ b. ${\rho }_{1}$ c. DNE unless ${\rho }_{1}={\rho }_{2}.$ As you approach ${x}_{\text{SF}}$ from the left, you are in the high-density area of the shock. When you approach from the right, you have not experienced the “shock” yet and are at a lower density.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 44번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

65.OpenStax 1권 · 2.2절 · 53번우리말 번역

육상 코치가 셔터 속도가 빠른 카메라를 사용하여 시간에 따른 선수의 위치를 어림한다. 시간에 따른 선수의 위치 값을 나타낸 표가 여기에 주어져 있다. 여기서 x 는 선수의 위치(단위: m)이고 t 는 시간(단위: 초)이다. $\lim_{t\to 2}x(t)?$ 의 값은 얼마인가? 이것은 물리적으로 무엇을 뜻하는가?

t (초)	x (m)
1.75	4.5
1.95	6.1
1.99	6.42
2.01	6.58
2.05	6.9
2.25	8.5

영어 원문 보기

A track coach uses a camera with a fast shutter to estimate the position of a runner with respect to time. A table of the values of position of the athlete versus time is given here, where x is the position in meters of the runner and t is time in seconds. What is $\lim_{t\to 2}x(t)?$ What does it mean physically?

t (sec)	x (m)
1.75	4.5
1.95	6.1
1.99	6.42
2.01	6.58
2.05	6.9
2.25	8.5

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 6번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

66.CLP-1 · 1.2절 · 6번우리말 번역

아래는 시각 $t$ 에서 물체의 위치를 나타낸 그래프이다. 물체의 속도가 양수인 시간은 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

Below is the graph of the position of an object at time $t$ . For what periods of time is the object's velocity positive?

정답·풀이 보기

속도는 물체가 증가하는 방향으로 움직일 때 양수이다. 그래프에서 $t$ 가 0과 2 사이일 때와 $t$ 가 $6$ 과 $7$ 사이일 때 물체는 "위로" 올라가고 있다. 따라서 속도가 양수인 것은 $t$ 가 $(0,2) \cup (6,7)$ 에 있을 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

The velocity is positive when the object is going in the increasing direction; it is going “up" on the graph when $t$ is between 0 and 2, and when $t$ is between $6$ and $7$ . So, the velocity is positive when $t$ is in $(0,2) \cup (6,7)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 5번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석기본자동 분류

67.CLP-1 · 1.3절 · 1번우리말 번역

아래에 나타낸 함수에 대하여 다음 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}f(x)$

영어 원문 보기

Given the function shown below, evaluate the following:

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}f(x)$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} f(x)=1$ 이다. $x$ 가 $-2$ 에 아주 가까워지면 $y$ 는 $1$ 에 아주 가까워진다. (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0$ 이다. $x$ 가 $0$ 에 아주 가까워지면 $y$ 도 $0$ 에 아주 가까워진다. (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}f(x)=2$ 이다. $x$ 가 $2$ 에 아주 가까워지면 $y$ 는 $2$ 에 아주 가까워진다. $x$ 가 정확히 $2$ 일 때의 함수의 값은 무시한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} f(x)=1$ : as $x$ gets very close to $-2$ , $y$ gets very close to $1$ . (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0$ : as $x$ gets very close to $0$ , $y$ also gets very close to $0$ . (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}f(x)=2$ : as $x$ gets very close to $2$ , $y$ gets very close to $2$ . We ignore the value of the function where $x$ is exactly $2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 17번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석기본자동 분류

68.CLP-1 · 1.3절 · 2번우리말 번역

아래에 주어진 함수에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Given the function shown below, evaluate $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ .

정답·풀이 보기

극한은 존재하지 않는다. $x$ 가 0 에 왼쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 -1 에 가까워지고, $x$ 가 0 에 오른쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 1 에 가까워진다. 이는 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=-1$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=1$ 임을 뜻하지만, 이 둘은 모두 문제에서 물은 것이 아니다. 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 서로 같지 않으므로 극한은 존재하지 않는다. 달리 말하면, $x$ 가 0 에 가까워질 때 $y$ 가 가까워지는 하나의 수가 없으므로 극한 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ 는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

The limit does not exist. As $x$ approaches 0 from the left, $y$ approaches -1; as $x$ approaches 0 from the right, $y$ approaches 1. This tells us $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=-1$ and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=1$ , but neither of these are what the question asked. Since the limits from left and right do not agree, the limit does not exist. Put another way, there is no single number $y$ approaches as $x$ approaches 0, so the limit $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 3번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석기본자동 분류

69.CLP-1 · 1.3절 · 3번우리말 번역

아래에 주어진 함수에 대하여 다음 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ (d) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x)$ (e) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$

영어 원문 보기

Given the function shown below, evaluate:

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ (d) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x)$ (e) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)=2$ : $x$ 가 $-1$ 에 왼쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 2 에 가까워진다. 함수가 $x=-1$ 에서 정의되지 않는 것은 상관없고, $x=-1$ 의 오른쪽에서 어떤 일이 일어나는지도 상관없다. (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)=-2$ : $x$ 가 $-1$ 에 오른쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 -2 에 가까워진다. 함수가 $-1$ 에서 정의되지 않는 것은 상관없고, $-1$ 의 왼쪽에서 어떤 일이 일어나는지도 상관없다. (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x) =$ 존재하지 않는다: 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 서로 같지 않으므로 극한은 존재하지 않는다. (d) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x) =0$ : $x$ 가 $-2$ 에 오른쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 0 에 가까워진다. 함수가 2 에서 정의되지 않는 것이나 2 의 왼쪽에서 정의되지 않는 것은 상관없다. (e) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=0$ : $x$ 가 $2$ 에 왼쪽에서 가까워질 때 $y$ 는 0 에 가까워진다. 함수가 2 에서 정의되지 않는 것이나 2 의 오른쪽에서 정의되지 않는 것은 상관없다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)=2$ : as $x$ approaches $-1$ from the left, $y$ approaches 2. It doesn't matter that the function isn't defined at $x=-1$ , and it doesn't matter what happens to the right of $x=-1$ . (b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)=-2$ : as $x$ approaches $-1$ from the right, $y$ approaches -2. It doesn't matter that the function isn't defined at $-1$ , and it doesn't matter what happens to the left of $-1$ . (c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x) =$ DNE: since the limits from the left and right don't agree, the limit does not exist. (d) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x) =0$ : as $x$ approaches $-2$ from the right, $y$ approaches 0. It doesn't matter that the function isn't defined at 2, or to the left of 2. (e) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=0$ : as $x$ approaches $2$ from the left, $y$ approaches 0. It doesn't matter that the function isn't defined at 2, or to the right of 2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 1번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석기본자동 분류

70.Active Calculus · 1.2절 · 10번우리말 번역

다음 각 조건에 대해, 주어진 좌표축 위에 설명한 성질을 갖는 함수의 그래프를 그리세요.

똑같은 빈 좌표축 두 개. 각 좌표축에서 x는 가로로 -3.5부터 3.5까지, y는 세로로 -3.5부터 3.5까지이다. 모눈 한 칸은 각각 가로 0.5, 세로 0.5이다.

(a)의 $y = f(x)$ 와 (b)의 $y = g(x)$ 를 그리기 위한 좌표축.

(a) 다음을 만족시키는 $y = f(x)$

$f(-2) = 2$ 이고 $\lim_{x \to -2} f(x) = 1$
$f(-1) = 3$ 이고 $\lim_{x \to -1} f(x) = 3$
$f(1)$ 은 정의되지 않고 $\lim_{x \to 1} f(x) = 0$
$f(2) = 1$ 이고 $\lim_{x \to 2} f(x)$ 는 존재하지 않는다. (b) 다음을 만족시키는 $y = g(x)$
$g(-2) = 3$ , $g(-1) = -1$ , $g(1) = -2$ , $g(2) = 3$
$x = -2, -1, 1$ 과 $2$ 에서 $g$ 는 극한을 갖고, 그 극한은 그 점에서의 함숫값과 같다.
$g(0)$ 은 정의되지 않고 $\lim_{x \to 0} g(x)$ 는 존재하지 않는다.

영어 원문 보기

For each of the following prompts, sketch a graph on the provided axes of a function that has the stated properties.

Two identical sets of blank coordinate axes. On each, x ranges horizontally from -3.5 to 3.5, and y ranges vertically from -3.5 to 3.5. The grid boxes are each 0.5 times 0.5.

Axes for plotting $y = f(x)$ in (a) and $y = g(x)$ in (b).

(a) $y = f(x)$ such that

$f(-2) = 2$ and $\lim_{x \to -2} f(x) = 1$
$f(-1) = 3$ and $\lim_{x \to -1} f(x) = 3$
$f(1)$ is not defined and $\lim_{x \to 1} f(x) = 0$
$f(2) = 1$ and $\lim_{x \to 2} f(x)$ does not exist. (b) $y = g(x)$ such that
$g(-2) = 3$ , $g(-1) = -1$ , $g(1) = -2$ , and $g(2) = 3$
At $x = -2, -1, 1$ and $2$ , $g$ has a limit, and its limit equals the value of the function at that point.
$g(0)$ is not defined and $\lim_{x \to 0} g(x)$ does not exist.

정답·풀이 보기

(a) 가능한 그래프의 하나는 다음과 같다. 주어진 조건을 만족시키는 함수 f(x)의 가능한 그래프의 하나. x = -2에서 그래프의 점 (-2,1)에는 작은 빈 원이, (-2,2)에는 작은 색칠한 원이 있어 이를 나타낸다 (b) 가능한 그래프의 하나는 다음과 같다. 주어진 조건을 만족시키는 함수 g(x)의 가능한 그래프의 하나. 특히 그래프는 점 (-2,3), (-1,-1), (1,-2), (2,3)을 지난다. x = 0의 왼쪽에서 그래프는 하나의

원본 교재 풀이(영어)

(a) One possible graph follows. One possible graph of a function f(x) that satisfies the given conditions. At x = -2, the function has a small open circle on the graph at the point (-2,1) and a small filled circle at (-2,2) to indic (b) One possible graph follows.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.1절 · 1번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류