문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

일반 영역의 이중적분

곡선으로 둘러싸인 영역에서 적분 순서를 정하고 바꾸어 넓이·부피를 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 5장 복습 · 1번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 정당화하세요.

$\int_{a}^{b}\,\int_{c}^{d}f(x,y)dy\,dx=\int_{c}^{d}\,\int_{a}^{b}f(x,y)dy\,dx$

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

$\int_{a}^{b}\,\int_{c}^{d}f(x,y)dy\,dx=\int_{c}^{d}\,\int_{a}^{b}f(x,y)dy\,dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5장 복습 · 26번

# 일반 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

2.APEX · 13.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

적분은 구간 위의 부호 있는 넓이를 준다고 해석할 수 있다. 이중적분은 영역 위의 부호 있는 _____ 를 준다고 해석할 수 있다.

영어 원문 보기

An integral can be interpreted as giving the signed area over an interval; a double integral can be interpreted as giving the signed _____ over a region.

정답·풀이 보기

부피

원본 교재 풀이(영어)

volume

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 4번

# 일반 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

3.APEX · 13.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 명제가 거짓인 이유를 설명하세요: “푸비니 정리는 $\displaystyle \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\ dy\ dx = \int_a^b\int_{g_1(y)}^{g_2(y)} f(x,y)\ dx\ dy$ 라고 말한다.”

영어 원문 보기

Explain why the following statement is false: “Fubini's Theorem states that $\displaystyle \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\ dy\ dx = \int_a^b\int_{g_1(y)}^{g_2(y)} f(x,y)\ dx\ dy$ .”

정답·풀이 보기

적분 순서를 바꿀 때에는 적분 영역의 경계를 반영하도록 적분의 한계가 바뀌어야 한다. $x$ 와 $y$ 라는 문자를 몇 군데에서 단순히 바꾸는 것만으로는 안 된다.

원본 교재 풀이(영어)

When switching the order of integration, the bounds integrals must change to reflect the bounds of the region of integration. You cannot merely change the letters $x$ and $y$ in a few places.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 3번

# 일반 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

4.APEX · 13.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

영역 $R$ 위에서 $f(x,y)>0$ 이면

$\iint_Rf(x,y)\ dA>0$

인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain why if $f(x,y)>0$ over a region $R$ , then

$\iint_Rf(x,y)\ dA>0$ .

정답·풀이 보기

이중적분은 곡면 아래의 부호 있는 부피를 준다. 곡면이 항상 양의 값을 가지므로 곡면은 언제나 $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있고, 따라서 “양”의 부피만 생긴다.

원본 교재 풀이(영어)

The double integral gives the signed volume under the surface. Since the surface is always positive, it is always above the $x$ - $y$ plane and hence produces only “positive” volume.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 1번

# 일반 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

5.APEX · 13.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\iint_R f(x,y)\ dA = \iint_R g(x,y)\ dA$ 이면 $f(x,y) = g(x,y)$ 라는 뜻인가요?

영어 원문 보기

If $\iint_R f(x,y)\ dA = \iint_R g(x,y)\ dA$ , does this imply $f(x,y) = g(x,y)$ ?

정답·풀이 보기

아니요. 이것은 $R$ 위에서 $f$ 아래와 $g$ 아래의 부호 있는 부피가 같다는 뜻일 뿐이며, 두 함수는 매우 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

No. It means that there is the same amount of signed volume under $f$ and $g$ over $R$ , but the functions could be very different.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 2번

# 일반 영역의 이중적분개념 확인자동 분류