빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

일반 영역의 이중적분

곡선으로 둘러싸인 영역에서 적분 순서를 정하고 바꾸어 넓이·부피를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

8문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 5.2절 · 27번대학 수준우리말 번역

DD 를 제1사분면에서 y=1−x2,y=4−x2y=1-{x}^{2},y=4-{x}^{2}, 그리고 xx축과 yy축으로 둘러싸인 영역이라고 하자.

a. 영역 DD 를 두 개의 제1형 영역으로 나누어 ∬Dx dA=∫01 ∫1−x24−x2x dy dx+∫12 ∫04−x2x dy dx\iint_{D}x\,dA=\int_{0}^{1}\,\int_{1-{x}^{2}}^{4-{x}^{2}}x\,dy\,dx+\int_{1}^{2}\,\int_{0}^{4-{x}^{2}}x\,dy\,dx 임을 보이세요. b. 적분 ∬Dx dA\iint_{D}x\,dA 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let DD be the region in the first quadrant bounded by y=1−x2,y=4−x2,y=1-{x}^{2},y=4-{x}^{2}, and the xx- and yy-axes.

a. Show that ∬Dx dA=∫01 ∫1−x24−x2x dy dx+∫12 ∫04−x2x dy dx\iint_{D}x\,dA=\int_{0}^{1}\,\int_{1-{x}^{2}}^{4-{x}^{2}}x\,dy\,dx+\int_{1}^{2}\,\int_{0}^{4-{x}^{2}}x\,dy\,dx by dividing the region DD into two regions of Type I. b. Evaluate the integral ∬Dx dA.\iint_{D}x\,dA.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 18번
# 일반 영역의 이중적분증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 3권 · 5.2절 · 28번대학 수준우리말 번역

DD 를 y=1,y=1, y=x,y=x, y=ln⁡ xy=\ln \,x, 그리고 xx축으로 둘러싸인 영역이라 하자.

a. DD 를 두 개의 제1종 영역(x에 대한 단순 영역)으로 나누어 ∬Dy dA=∫01 ∫0xy dy dx+∫1e ∫ln⁡ x1y dy dx\iint_{D}y\,dA=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{x}y\,dy\,dx+\int_{1}^{e}\,\int_{\ln \,x}^{1}y\,dy\,dx 임을 보이세요. b. 적분 ∬Dy dA\iint_{D}y\,dA 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let DD be the region bounded by y=1,y=1, y=x,y=x, y=ln⁡ x,y=\ln \,x, and the xx-axis.

a. Show that ∬Dy dA=∫01 ∫0xy dy dx+∫1e ∫ln⁡ x1y dy dx\iint_{D}y\,dA=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{x}y\,dy\,dx+\int_{1}^{e}\,\int_{\ln \,x}^{1}y\,dy\,dx by dividing DD into two regions of Type I. b. Evaluate the integral ∬Dy dA.\iint_{D}y\,dA.

정답·풀이 보기

a. 답은 다양할 수 있다; b. 23\frac{2}{3}

원본 교재 풀이(영어)

a. Answers may vary; b. 23\frac{2}{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 60번
# 일반 영역의 이중적분증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 3권 · 5.2절 · 29번대학 수준우리말 번역

a. 영역 DD 를 두 개의 제1종 영역으로 나누어 ∬Dy2dA=∫−10 ∫−x2−x2y2dy dx+∫01 ∫x2−x2y2dy dx\iint_{D}{y}^{2}dA=\int_{-1}^{0}\,\int_{-x}^{2-{x}^{2}}{y}^{2}dy\,dx+\int_{0}^{1}\,\int_{x}^{2-{x}^{2}}{y}^{2}dy\,dx 임을 보이세요. 여기서 D={(x,y)∣y≥x,y≥−x,y≤2−x2}D=\{(x,y)|y\ge x,y\ge -x,y\le 2-{x}^{2}\} 입니다. b. 적분 ∬Dy2dA\iint_{D}{y}^{2}dA 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

a. Show that ∬Dy2dA=∫−10 ∫−x2−x2y2dy dx+∫01 ∫x2−x2y2dy dx\iint_{D}{y}^{2}dA=\int_{-1}^{0}\,\int_{-x}^{2-{x}^{2}}{y}^{2}dy\,dx+\int_{0}^{1}\,\int_{x}^{2-{x}^{2}}{y}^{2}dy\,dx by dividing the region DD into two regions of Type I, where D={(x,y)∣y≥x,y≥−x,y≤2−x2}.D=\{(x,y)|y\ge x,y\ge -x,y\le 2-{x}^{2}\}. b. Evaluate the integral ∬Dy2dA.\iint_{D}{y}^{2}dA.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 38번
# 일반 영역의 이중적분증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 3권 · 5.2절 · 30번대학 수준우리말 번역

DD 를 y=x2,y=x+2y={x}^{2},y=x+2 와 y=−xy=-x 로 …로 둘러싸인 영역이라고 하자.

a. 영역 DD 를 두 개의 y형 영역으로 나누어 ∬Dx dA=∫01 ∫−yyx dx dy+∫14 ∫y−2yx dx dy\iint_{D}x\,dA=\int_{0}^{1}\,\int_{-y}^{\sqrt{y}}x\,dx\,dy+\int_{1}^{4}\,\int_{y-2}^{\sqrt{y}}x\,dx\,dy 임을 보이세요. 단, D={(x,y)∣y≥x2,y≥−x,y≤x+2}D=\{(x,y)|y\ge {x}^{2},y\ge -x,y\le x+2\} 이다. b. 적분 ∬Dx dA\iint_{D}x\,dA 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let DD be the region bounded by y=x2,y=x+2,y={x}^{2},y=x+2, and y=−x.y=-x.

a. Show that ∬Dx dA=∫01 ∫−yyx dx dy+∫14 ∫y−2yx dx dy\iint_{D}x\,dA=\int_{0}^{1}\,\int_{-y}^{\sqrt{y}}x\,dx\,dy+\int_{1}^{4}\,\int_{y-2}^{\sqrt{y}}x\,dx\,dy by dividing the region DD into two regions of Type II, where D={(x,y)∣y≥x2,y≥−x,y≤x+2}.D=\{(x,y)|y\ge {x}^{2},y\ge -x,y\le x+2\}. b. Evaluate the integral ∬Dx dA.\iint_{D}x\,dA.

정답·풀이 보기

a. 답은 다양할 수 있다; b. 73\frac{7}{3}

원본 교재 풀이(영어)

a. Answers may vary; b. 73\frac{7}{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 32번
# 일반 영역의 이중적분증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 3권 · 5.2절 · 47번대학 수준우리말 번역

gg 가 구간 [a,b][a,b] 에서 양의 값을 갖는 증가하는 미분가능 함수라 하자. 곡면 z=g′(x)z=g'(x) 아래에 있고 y=0,y=0, y=g(x),y=g(x), x=ax=a 와 x=bx=b 로 둘러싸인 영역 위에 있는 입체의 부피가 12(g2(b)−g2(a))\frac{1}{2}({g}^{2}(b)-{g}^{2}(a)) 로 주어짐을 보이세요.

영어 원문 보기

Let gg be a positive, increasing, and differentiable function on the interval [a,b].[a,b]. Show that the volume of the solid under the surface z=g′(x)z=g'(x) and above the region bounded by y=0,y=0, y=g(x),y=g(x), x=a,x=a, and x=bx=b is given by 12(g2(b)−g2(a)).\frac{1}{2}({g}^{2}(b)-{g}^{2}(a)).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 32번
# 일반 영역의 이중적분증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 3권 · 5.2절 · 48번대학 수준우리말 번역

gg 를 구간 [a,b][a,b] 에서 양의 값을 갖고 증가하며 미분가능한 함수라 하고, kk 를 양의 실수라 하자. 곡면 z=g′(x)z=g'(x) 아래에 있고 y=g(x),y=g(x)+k,x=ay=g(x),y=g(x)+k,x=a, 및 x=bx=b 로 둘러싸인 영역 위에 있는 입체의 부피가 k(g(b)−g(a))k(g(b)-g(a)) 로 주어짐을 보이세요.

영어 원문 보기

Let gg be a positive, increasing, and differentiable function on the interval [a,b],[a,b], and let kk be a positive real number. Show that the volume of the solid under the surface z=g′(x)z=g'(x) and above the region bounded by y=g(x),y=g(x)+k,x=a,y=g(x),y=g(x)+k,x=a, and x=bx=b is given by k(g(b)−g(a)).k(g(b)-g(a)).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 24번
# 일반 영역의 이중적분증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 3권 · 5.2절 · 61번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 뢸로 삼각형은 정삼각형과 세 개의 영역으로 이루어진다. 각 영역은 삼각형의 한 변과, 그 변의 반대편 꼭짓점을 중심으로 하는 반지름이 s인 원의 호로 둘러싸여 있다. 다음 그림에서 한 변의 길이가 ss인 뢸로 삼각형의 넓이가 s22(π−3)\frac{{s}^{2}}{2}\left(\pi -\sqrt{3}\right)임을 보이세요.

정삼각형과 그 바깥에 붙은 추가 영역들로 이루어진 도형이다. 추가 영역은 반지름이 삼각형의 한 변의 길이와 같은 원의 호 세 개로 이루어진다. 각 호는 이웃한 두 꼭짓점을 이으며, 반지름은 반대편 꼭짓점에서 잰 것이다.

영어 원문 보기

[T] The Reuleaux triangle consists of an equilateral triangle and three regions, each of them bounded by a side of the triangle and an arc of a circle of radius s centered at the opposite vertex of the triangle. Show that the area of the Reuleaux triangle in the following figure of side length ss is s22(π−3).\frac{{s}^{2}}{2}\left(\pi -\sqrt{3}\right).

An equilateral triangle with additional regions consisting of three arcs of a circle with radius equal to the length of the side of the triangle. These arcs connect two adjacent vertices, and the radius is taken from the opposite vertex.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 24번
# 일반 영역의 이중적분증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 3권 · 5.2절 · 62번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그림에서 파란색으로 표시된 두 초승달인 알하젠의 초승달의 넓이가 직각삼각형 ABCABC 의 넓이와 같음을 보이세요. 초승달의 바깥쪽 경계는 각각 지름이 AB 와 BCAB\,\text{와}\,BC 인 반원이고, 안쪽 경계는 삼각형 ABCABC 의 외접원으로 이루어져 있습니다.

세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 직각삼각형이다. 점 B에서 직각을 이룬다. A에서 B까지, B에서 C까지 각각 초승달 모양이 그려져 있는데, 바깥쪽 경계의 지름은 각각 AB와 AC이고, 안쪽 경계는 이 삼각형의 외접원으로 이루어져 있다.

영어 원문 보기

[T] Show that the area of the lunes of Alhazen, the two blue lunes in the following figure, is the same as the area of the right triangle ABC. The outer boundaries of the lunes are semicircles of diameters AB and BC,AB\,\text{and}\,BC, respectively, and the inner boundaries are formed by the circumcircle of the triangle ABC.ABC.

A right triangle with points A, B, and C. Point B has the right angle. There are two lunes drawn from A to B and from B to C with outer diameters AB and AC, respectively, and with the inner boundaries formed by the circumcircle of the triangle ABC.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 40번
# 일반 영역의 이중적분증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)