일반 영역의 이중적분 연습문제

1.OpenStax 3권 · 5.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 그림과 같이 $y={x}^{3},$ $y={x}^{3}+1,$ $x=0,$ $x=1$ 로 둘러싸인 영역 $D$ .

y = 1 + x의 세제곱, y = x의 세제곱, x = 0, x = 1로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

The region $D$ bounded by $y={x}^{3},$ $y={x}^{3}+1,$ $x=0,$ and $x=1$ as given in the following figure.

A region is bounded by y = 1 + x cubed, y = x cubed, x = 0, and x = 1.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 36번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 3권 · 5.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 그림과 같이 $y=\sin \,x,y=1+\sin \,x,x=0,\,\text{및}\,x=\frac{\pi }{2}$ 로 둘러싸인 영역 $D$ 가 주어져 있다.

y = 1 + sin x, y = sin x, x = 0, x = pi/2 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

The region $D$ bounded by $y=\sin \,x,y=1+\sin \,x,x=0,\,\text{and}\,x=\frac{\pi }{2}$ as given in the following figure.

A region is bounded by y = 1 + sin x, y = sin x, x = 0, and x = pi/2.

정답·풀이 보기

유형 I이지만 유형 II는 아니다

원본 교재 풀이(영어)

Type I but not Type II

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5장 복습 · 2번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 3권 · 5.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 그림과 같이 $x={y}^{2}-1$ 과 $x=\sqrt{1-{y}^{2}}$ 로 둘러싸인 영역 $D$ 가 주어져 있다.

x = -1 + y의 제곱, x = (1 − y의 제곱)의 제곱근으로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

The region $D$ bounded by $x={y}^{2}-1$ and $x=\sqrt{1-{y}^{2}}$ as given in the following figure.

A region is bounded by x = negative 1 + y squared and x = the square root of the quantity (1 minus y squared).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 54번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 3권 · 5.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

이전 연습문제의 그림에 있는 영역의 위쪽에 있고 함수 $f(x,y)=xy+1$ 의 그래프 아래쪽에 있는 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the solid under the graph of the function $f(x,y)=xy+1$ and above the region in the figure in the previous exercise.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1}{6}(8+3\pi )$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{6}(8+3\pi )$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 4번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 3권 · 5.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

영역 $D$ 는 다음 그림과 같이 $y=0,x=-10+y,\,\text{그리고}\,x=10-y$ 에 의해 유계이다.

한 영역이 x = -10 + y, x = 10 - y, y = 0 에 의해 유계이다.

영어 원문 보기

The region $D$ bounded by $y=0,x=-10+y,\,\text{and}\,x=10-y$ as given in the following figure.

A region is bounded by x = negative 10 + y, x = 10 minus y, and y = 0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 60번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 3권 · 5.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

이전 연습문제의 그림에 있는 영역의 위쪽에 있고 함수 $f(x,y)=x+y$ 의 그래프 아래쪽에 있는 입체의 부호가 있는 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the signed volume of the solid under the graph of the function $f(x,y)=x+y$ and above the region in the figure from the previous exercise.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1000}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1000}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 18번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 3권 · 5.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 그림과 같이 $y=0,x=y-1,$ $x=\frac{\pi }{2}$ 로 둘러싸인 영역 $D$ 이다.

어떤 영역이 x = pi/2, y = 0, x = -1 + y 로 둘러싸여 있다.

영어 원문 보기

The region $D$ bounded by $y=0,x=y-1,$ $x=\frac{\pi }{2}$ as given in the following figure.

A region is bounded by x = pi/2, y = 0, and x = negative 1 + y.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 2번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 3권 · 5.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 그림과 같이 $y=0$ 과 $y={x}^{2}-1$ 로 둘러싸인 영역 $D$ 가 있습니다.

영역이 y=0 과 y=-1+x^2 으로 둘러싸여 있다.

영어 원문 보기

The region $D$ bounded by $y=0$ and $y={x}^{2}-1$ as given in the following figure.

A region is bounded by y = 0 and y = negative 1 + x squared.

정답·풀이 보기

제1형과 제2형

원본 교재 풀이(영어)

Type I and Type II

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 28번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 3권 · 5.2절 · 31번대학 수준우리말 번역

$x=0,y={x}^{5}+1$ , 그리고 $y=3-{x}^{2}$ 으로 둘러싸인 영역 $D$ 가 다음 그림에 나타나 있다. 영역 $D$ 의 넓이 $A(D)$ 를 구하세요.

y = 1 + x의 5제곱, y = 3 - x의 제곱, 그리고 x = 0으로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

The region $D$ bounded by $x=0,y={x}^{5}+1,$ and $y=3-{x}^{2}$ is shown in the following figure. Find the area $A(D)$ of the region $D.$

A region is bounded by y = 1 + x to the fifth power, y = 3 minus x squared, and x = 0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 46번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 3권 · 5.2절 · 32번대학 수준우리말 번역

$y=\cos \,x,y=4+\cos \,x$ , 그리고 $x=\pm \frac{\pi }{3}$ 으로 둘러싸인 영역 $D$ 가 다음 그림에 나타나 있다. 영역 $D$ 의 넓이 $A(D)$ 를 구하세요.

y = cos x, y = 4 + cos x, x = -1, 그리고 x = 1로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

The region $D$ bounded by $y=\cos \,x,y=4+\cos \,x,$ and $x=\pm \frac{\pi }{3}$ is shown in the following figure. Find the area $A(D)$ of the region $D.$

A region is bounded by y = cos x, y = 4 + cos x, x = negative 1, and x = 1.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{8\pi }{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{8\pi }{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 44번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 3권 · 5.2절 · 41번대학 수준우리말 번역

영역 $D$ 는 다음 그림과 같습니다. 더 쉬운 적분 순서를 이용하여 이중적분 $\iint_{D}({x}^{2}+y)dA$ 의 값을 구하세요.

영역이 y = -4 + x², y = 4 - x² 으로 둘러싸여 있다.

영어 원문 보기

The region $D$ is shown in the following figure. Evaluate the double integral $\iint_{D}({x}^{2}+y)dA$ by using the easier order of integration.

A region is bounded by y = negative 4 + x squared and y = 4 minus x squared.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 3번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

12.OpenStax 3권 · 5.2절 · 42번대학 수준우리말 번역

영역 $D$ 는 다음 그림과 같이 주어져 있다. 더 쉬운 적분 순서를 이용하여 이중적분 $\iint_{D}({x}^{2}-{y}^{2})dA$ 의 값을 구하세요.

영역이 y⁴ = 1 - x, y⁴ = 1 + x 로 둘러싸여 있다.

영어 원문 보기

The region $D$ is given in the following figure. Evaluate the double integral $\iint_{D}({x}^{2}-{y}^{2})dA$ by using the easier order of integration.

A region is bounded by y to the fourth power = 1 minus x and y to the fourth power = 1 + x.

정답·풀이 보기

$\iint_{D}({x}^{2}-{y}^{2})dA=\int_{-1}^{1}\,\int_{{y}^{4}-1}^{1-{y}^{4}}({x}^{2}-{y}^{2})dx\,dy=\frac{464}{4095}$

원본 교재 풀이(영어)

$\iint_{D}({x}^{2}-{y}^{2})dA=\int_{-1}^{1}\,\int_{{y}^{4}-1}^{1-{y}^{4}}({x}^{2}-{y}^{2})dx\,dy=\frac{464}{4095}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 54번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

13.OpenStax 3권 · 5.2절 · 57번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그림은 곡선 $y=\sin \,x,$ $x=0,$ $y={x}^{4}$ 으로 둘러싸인 영역 $D$ 를 나타낸 것이다. 그래프 계산기 또는 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 곡선들의 교점의 $x$ 좌표를 구하고 영역 $D$ 의 넓이를 구하세요. 답은 반올림하여 소수 여섯째 자리까지 나타내세요.

곡선 y = sin x, y = x⁴, 직선 x = 0으로 둘러싸인 영역이 있다.

영어 원문 보기

[T] The following figure shows the region $D$ bounded by the curves $y=\sin \,x,$ $x=0,$ and $y={x}^{4}.$ Use a graphing calculator or CAS to find the $x$ -coordinates of the intersection points of the curves and to determine the area of the region $D.$ Round your answers to six decimal places.

A region is bounded by y = sin x, y = x to the fourth power, and x = 0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5장 복습 · 26번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

14.OpenStax 3권 · 5.2절 · 58번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 곡선 $y=\cos \,x,x=0,\,\text{및}\,y={x}^{3}$ 으로 유계인 영역 $D$ 가 다음 그림에 나타나 있습니다. 그래픽 계산기 또는 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 곡선들의 교점의 x좌표를 구하고, 영역 $D$ 의 넓이를 구하세요. 답을 반올림하여 소수 여섯째 자리까지 나타내세요.

영역이 y = cos x, y = x의 세제곱, x = 0으로 유계이다.

영어 원문 보기

[T] The region $D$ bounded by the curves $y=\cos \,x,x=0,\,\text{and}\,y={x}^{3}$ is shown in the following figure. Use a graphing calculator or CAS to find the x-coordinates of the intersection points of the curves and to determine the area of the region $D.$ Round your answers to six decimal places.

A region is bounded by y = cos x, y = x cubed, and x = 0.

정답·풀이 보기

$0\,\text{and}\,0.865474;$ $A(D)=0.621135$

원본 교재 풀이(영어)

$0\,\text{and}\,0.865474;$ $A(D)=0.621135$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.1절 · 2번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

15.OpenStax 3권 · 5장 복습 · 24번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 지구 각 층의 온도가 아래 표에 나타나 있다. 계산기를 사용하여 지구의 반지름을 따른 온도에 차수가 $3$ 인 다항식을 맞추세요. 그런 다음 지구의 평균 온도를 구하세요. (힌트: 내핵의 $0$ 에서 시작하여 지표면 쪽으로 바깥을 향해 증가시키세요.)

층	중심으로부터의 깊이 (km)	온도 $^\circ C$
암석 지각	0 ~ 40	0
상부 맨틀	40 ~ 150	870
맨틀	400 ~ 650	870
내부 맨틀	650 ~ 2700	870
용융 상태의 외핵	2890 ~ 5150	4300
내핵	5150 ~ 6378	7200

출처: http://www.enchantedlearning.com/subjects/astronomy/planets/earth/Inside.shtml

영어 원문 보기

[T] The temperature of Earth’s layers is exhibited in the table below. Use your calculator to fit a polynomial of degree $3$ to the temperature along the radius of the Earth. Then find the average temperature of Earth. (Hint: begin at $0$ in the inner core and increase outward toward the surface)

Layer	Depth from center (km)	Temperature $^\circ C$
Rocky Crust	0 to 40	0
Upper Mantle	40 to 150	870
Mantle	400 to 650	870
Inner Mantel	650 to 2700	870
Molten Outer Core	2890 to 5150	4300
Inner Core	5150 to 6378	7200

Source: http://www.enchantedlearning.com/subjects/astronomy/planets/earth/Inside.shtml

정답·풀이 보기

$y=-1.238\,\times \,{10}^{-7}{x}^{3}+0.001196{x}^{2}-3.666x+7208$ ; 평균 온도는 약 ${2800}^{^\circ }C$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$y=-1.238\,\times \,{10}^{-7}{x}^{3}+0.001196{x}^{2}-3.666x+7208;$ average temperature approximately ${2800}^{^\circ }C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5장 복습 · 14번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

16.OpenStax 3권 · 5장 복습 · 25번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 지구 각 층의 밀도가 아래 표에 나타나 있다. 계산기 또는 컴퓨터 프로그램을 사용하여 밀도에 가장 잘 맞는 이차방정식을 구하세요. 이 식을 이용하여 지구의 전체 질량을 구하세요.

층	중심으로부터의 깊이 (km)	밀도 (g/cm3)
내핵	$0$	$12.95$
외핵	$1228$	$11.05$
맨틀	$3488$	$5.00$
상부 맨틀	$6338$	$3.90$
지각	$6378$	$2.55$

출처: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/geophys/earthstruct.html

영어 원문 보기

[T] The density of Earth’s layers is displayed in the table below. Using your calculator or a computer program, find the best-fit quadratic equation to the density. Using this equation, find the total mass of Earth.

Layer	Depth from center (km)	Density (g/cm3)
Inner Core	$0$	$12.95$
Outer Core	$1228$	$11.05$
Mantle	$3488$	$5.00$
Upper Mantle	$6338$	$3.90$
Crust	$6378$	$2.55$

Source: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/geophys/earthstruct.html

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5장 복습 · 26번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

17.APEX · 13.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 을 그리세요. (b) 설명된 영역 $R$ 에 대해, 주어진 이중적분의 값을 구하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나의 값을 구하여, 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R x^2y\ dA$ , 여기서 $R$ 은 $y=\sqrt{x}$ 와 $y=x^2$ 으로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R x^2y\ dA$ , where $R$ is bounded by $y=\sqrt{x}$ and $y=x^2$ .

정답·풀이 보기

(a)

(b) $\displaystyle \int_0^1\int_{x^2}^{\sqrt{x}}x^2y\ dy\ dx = \int_0^1\int_{y^2}^{\sqrt{y}}x^2y\ dx\ dy$ . (c) $\frac3{56}$

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) $\displaystyle \int_0^1\int_{x^2}^{\sqrt{x}}x^2y\ dy\ dx = \int_0^1\int_{y^2}^{\sqrt{y}}x^2y\ dx\ dy$ . (c) $\frac3{56}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5장 복습 · 2번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

18.APEX · 13.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 을 그리세요. (b) 설명된 영역 $R$ 에 대해, 주어진 이중적분의 값을 구하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나의 값을 구하여, 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R x^2y\ dA$ , 여기서 $R$ 은 $y=\sqrt[3]{x}$ 와 $y=x^3$ 으로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R x^2y\ dA$ , where $R$ is bounded by $y=\sqrt[3]{x}$ and $y=x^3$ .

정답·풀이 보기

(a)

(b) $\displaystyle \int_0^1\int_{x^3}^{\sqrt[3]{x}}x^2y\ dy\ dx + \int_{-1}^0\int_{\sqrt[3]{x}}^{x^3}x^2y\ dy\ dx$ $\displaystyle = \int_0^1\int_{y^3}^{\sqrt[3]{y}}x^2y\ dx\ dy +\int_{-1}^0\int_{\sqrt[3]{y}}^{y^3}x^2y\ dx\ dy$ . (c) 0

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) $\displaystyle \int_0^1\int_{x^3}^{\sqrt[3]{x}}x^2y\ dy\ dx + \int_{-1}^0\int_{\sqrt[3]{x}}^{x^3}x^2y\ dy\ dx$ $\displaystyle = \int_0^1\int_{y^3}^{\sqrt[3]{y}}x^2y\ dx\ dy +\int_{-1}^0\int_{\sqrt[3]{y}}^{y^3}x^2y\ dx\ dy$ . (c) 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 32번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

19.APEX · 13.2절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 을 그리세요. (b) 설명된 영역 $R$ 에 대해, 주어진 이중적분의 값을 구하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나의 값을 구하여, 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R x^2-y^2\ dA$ , 여기서 $R$ 은 꼭짓점이 $(-1,-1)$ , $(1,-1)$ , $(1,1)$ , $(-1,1)$ 인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R x^2-y^2\ dA$ , where $R$ is the rectangle with corners $(-1,-1)$ , $(1,-1)$ , $(1,1)$ and $(-1,1)$ .

정답·풀이 보기

(a)

(b) $\displaystyle \int_{-1}^1\int_{-1}^{1}x^2-y^2\ dy\ dx = \int_{-1}^1\int_{-1}^{1}x^2-y^2\ dx\ dy$ . (c) 0

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) $\displaystyle \int_{-1}^1\int_{-1}^{1}x^2-y^2\ dy\ dx = \int_{-1}^1\int_{-1}^{1}x^2-y^2\ dx\ dy$ . (c) 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5장 복습 · 26번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

20.APEX · 13.2절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 을 그리세요. (b) 설명된 영역 $R$ 에 대해, 주어진 이중적분의 값을 구하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나의 값을 구하여, 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R ye^x\ dA$ , 여기서 $R$ 은 $x=0$ , $x=y^2$ , $y=1$ 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R ye^x\ dA$ , where $R$ is bounded by $x=0$ , $x=y^2$ and $y=1$ .

정답·풀이 보기

(a)

(b) $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{y^2}ye^x\ dx\ dy = \int_{0}^1\int_{\sqrt{x}}^{1}ye^x\ dy\ dx$ . (c) $e/2-1$

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{y^2}ye^x\ dx\ dy = \int_{0}^1\int_{\sqrt{x}}^{1}ye^x\ dy\ dx$ . (c) $e/2-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 3번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류