다변수 연쇄법칙 연습문제

1.OpenStax 3권 · 4.5절 · 37번대학 수준우리말 번역

원기둥의 부피는 $V(x,y)=\pi {x}^{2}y$ 로 주어집니다. 여기서 $x$ 는 원기둥의 반지름이고 y 는 원기둥의 높이입니다. $x$ 와 $y$ 가 $t$ 의 함수로서 $x=\frac{1}{2}t$ , $y=\frac{1}{3}t$ 이고, 따라서 $x\,\text{와}\,y$ 가 모두 시간에 따라 증가한다고 합니다. $x=2$ 이고 $y=\frac{4}{3}$ 일 때, 부피는 얼마나 빠르게 증가하는지 구하세요.

영어 원문 보기

The volume of a right circular cylinder is given by $V(x,y)=\pi {x}^{2}y,$ where $x$ is the radius of the cylinder and y is the cylinder height. Suppose $x$ and $y$ are functions of $t$ given by $x=\frac{1}{2}t$ and $y=\frac{1}{3}t$ so that $x\,\text{and}\,y$ are both increasing with time. How fast is the volume increasing when $x=2$ and $y=\frac{4}{3}?$

정답·풀이 보기

$V'=4\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$V'=4\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 35번

# 다변수 연쇄법칙활용자동 분류

2.OpenStax 3권 · 4.5절 · 38번대학 수준우리말 번역

기체의 압력 $P$ 는 부피와 온도에 대해 공식 $PV=kT$ 로 관계가 있습니다. 여기서 온도는 켈빈으로 나타냅니다. 기체의 압력을 $V$ 와 $T$ 두 변수의 함수로 나타내세요. $k=1,$ $\frac{dV}{dt}=2$ cm³/min, $\frac{dT}{dt}=\frac{1}{2}$ K/min, $V=20$ cm³, $T=20^\circ \text{F}$ 일 때 $\frac{dP}{dt}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The pressure $P$ of a gas is related to the volume and temperature by the formula $PV=kT,$ where temperature is expressed in kelvins. Express the pressure of the gas as a function of both $V$ and $T.$ Find $\frac{dP}{dt}$ when $k=1,$ $\frac{dV}{dt}=2$ cm³/min, $\frac{dT}{dt}=\frac{1}{2}$ K/min, $V=20$ cm³, and $T=20^\circ \text{F}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 23번

# 다변수 연쇄법칙활용자동 분류

3.OpenStax 3권 · 4.5절 · 39번대학 수준우리말 번역

직원뿔의 반지름은 $3$ cm/min 의 비율로 증가하고, 원뿔의 높이는 $2$ cm/min 의 비율로 감소하고 있습니다. 반지름이 $13$ cm 이고 높이가 $18$ cm 일 때, 원뿔의 부피의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a right circular cone is increasing at $3$ cm/min whereas the height of the cone is decreasing at $2$ cm/min. Find the rate of change of the volume of the cone when the radius is $13$ cm and the height is $18$ cm.

정답·풀이 보기

$\frac{dV}{dt}=\frac{1066\pi }{3}{\text{cm}}^{3}/\min$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dV}{dt}=\frac{1066\pi }{3}{\text{cm}}^{3}/\min$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 9번

# 다변수 연쇄법칙활용자동 분류

4.OpenStax 3권 · 4.5절 · 41번대학 수준우리말 번역

닫힌 상자가 치수 $x,y,\,\text{및}\,z$ 인 직육면체 모양이다. (치수의 단위는 인치이다.) 각 치수가 0.5 인치/분의 비율로 변하고 있다고 하자. $x=2\,\text{in}.,\,y=3\,\text{in.,}\,\text{및}\,z=1\,\text{in}$ 일 때, 이 상자의 전체 겉넓이의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

A closed box is in the shape of a rectangular solid with dimensions $x,y,\,\text{and}\,z.$ (Dimensions are in inches.) Suppose each dimension is changing at the rate of $0.5$ in./min. Find the rate of change of the total surface area of the box when $x=2\,\text{in}.,\,y=3\,\text{in.,}\,\text{and}\,z=1\,\text{in}.$

정답·풀이 보기

$\frac{dA}{dt}=12\,\text{in}{.}^{2}/\min$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dA}{dt}=12\,\text{in}{.}^{2}/\min$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 1번

# 다변수 연쇄법칙활용자동 분류

5.OpenStax 3권 · 4.5절 · 43번대학 수준우리말 번역

점 $(x,y)$ 에서의 온도 $T$ 는 $T(x,y)$ 이고 섭씨로 측정한다. 파리가 기어가는데, $t$ 초 후의 위치가 $x=\sqrt{1+t}$ 와 $y=2+\frac{1}{3}t$ 로 주어진다. 여기서 $x\,\text{와}\,y$ 는 센티미터 단위로 측정한다. 온도 함수는 ${T}_{x}(2,3)=4$ 와 ${T}_{y}(2,3)=3$ 을 만족시킨다. $3$ 초 후 파리가 지나가는 경로에서 온도는 얼마나 빠르게 증가하고 있는지 구하세요.

영어 원문 보기

The temperature $T$ at a point $(x,y)$ is $T(x,y)$ and is measured using the Celsius scale. A fly crawls so that its position after $t$ seconds is given by $x=\sqrt{1+t}$ and $y=2+\frac{1}{3}t,$ where $x\,\text{and}\,y$ are measured in centimeters. The temperature function satisfies ${T}_{x}(2,3)=4$ and ${T}_{y}(2,3)=3.$ How fast is the temperature increasing on the fly’s path after $3$ sec?

답 쓰고 채점

°

정답·풀이 보기

$2^\circ \text{C/sec}$

원본 교재 풀이(영어)

$2^\circ \text{C/sec}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 3번

# 다변수 연쇄법칙활용자동 분류

6.OpenStax 3권 · 4.5절 · 44번대학 수준우리말 번역

2차원에서 움직이는 유체의 $x\,\text{와}\,y$ 성분이 다음 함수로 주어진다: $u(x,y)=2y$ , $v(x,y)=-2x;$ $x\ge 0;y\ge 0$ . 점 $(x,y)$ 에서 유체의 속력은 $s(x,y)=\sqrt{u{(x,y)}^{2}+v{(x,y)}^{2}}$ 이다. 연쇄 법칙을 이용하여 $\frac{\partial s}{\partial x}$ 와 $\frac{\partial s}{\partial y}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The $x\,\text{and}\,y$ components of a fluid moving in two dimensions are given by the following functions: $u(x,y)=2y$ and $v(x,y)=-2x;$ $x\ge 0;y\ge 0.$ The speed of the fluid at the point $(x,y)$ is $s(x,y)=\sqrt{u{(x,y)}^{2}+v{(x,y)}^{2}}.$ Find $\frac{\partial s}{\partial x}$ and $\frac{\partial s}{\partial y}$ using the chain rule.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 31번

# 다변수 연쇄법칙활용자동 분류

7.CLP-3 · 2.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

$g(s,t)=f(2s+3t,3s-2t)$ 의 모든 이계도함수를 구하세요. $f(x,y)$ 는 매끄러운 함수이므로 연쇄 법칙과 혼합 편도함수의 같음에 관한 클레로의 정리가 적용된다고 가정해도 됩니다.

영어 원문 보기

Find all second order derivatives of $g(s,t)=f(2s+3t,3s-2t)$ . You may assume that $f(x,y)$ is a smooth function so that the Chain Rule and Clairaut's Theorem on the equality of the mixed partial derivatives apply.

정답·풀이 보기

주어진 함수는

$g(s,t)=f(2s+3t,3s-2t)$

이다.

일계도함수는

$\begin{aligned} g_s(s,t)&=2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\\ g_t(s,t)&=3f_1(2s+3t,3s-2t)-2f_2(2s+3t,3s-2t) \end{aligned}$

이다.

이계도함수는

$\begin{aligned} g_{ss}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}\Big(2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=2\Big(2f_{11}+3f_{12}\Big) +3\Big(2f_{21}+3f_{22}\Big)\\ &=4f_{11}+6f_{12}+6f_{21}+9f_{22}\\ &=4f_{11}(2s+3t,3s-2t)+12f_{12}(2s+3t,3s-2t)+9f_{22}(2s+3t,3s-2t)\\ g_{st}(s,t)&=\frac{\partial }{\partial t}\Big(2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=2\Big(3f_{11}-2f_{12}\Big) +3\Big(3f_{21}-2f_{22}\Big)\\ &=6f_{11}(2s+3t,3s-2t)+5f_{12}(2s+3t,3s-2t)-6f_{22}(2s+3t,3s-2t)\\ g_{tt}(s,t)&=\frac{\partial }{\partial t}\Big(3f_1(2s+3t,3s-2t)-2f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=3\Big(3f_{11}-2f_{12}\Big) -2\Big(3f_{21}-2f_{22}\Big)\\ &=9f_{11}(2s+3t,3s-2t)-12f_{12}(2s+3t,3s-2t)+4f_{22}(2s+3t,3s-2t) \end{aligned}$

이다.

여기서 $f_1$ 은 $f$ 를 첫 번째 변수에 대해 편미분한 편도함수를 뜻하고, $f_{12}$ 는 $f$ 를 먼저 첫 번째 변수에 대해 편미분한 다음 그 결과를 두 번째 변수에 대해 편미분한 것이며, 나머지도 같은 방식이다.

원본 교재 풀이(영어)

The given function is

$g(s,t)=f(2s+3t,3s-2t)$

The first order derivatives are

$\begin{aligned} g_s(s,t)&=2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\\ g_t(s,t)&=3f_1(2s+3t,3s-2t)-2f_2(2s+3t,3s-2t) \end{aligned}$

The second order derivatives are

$\begin{aligned} g_{ss}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}\Big(2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=2\Big(2f_{11}+3f_{12}\Big) +3\Big(2f_{21}+3f_{22}\Big)\\ &=4f_{11}+6f_{12}+6f_{21}+9f_{22}\\ &=4f_{11}(2s+3t,3s-2t)+12f_{12}(2s+3t,3s-2t)+9f_{22}(2s+3t,3s-2t)\\ g_{st}(s,t)&=\frac{\partial }{\partial t}\Big(2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=2\Big(3f_{11}-2f_{12}\Big) +3\Big(3f_{21}-2f_{22}\Big)\\ &=6f_{11}(2s+3t,3s-2t)+5f_{12}(2s+3t,3s-2t)-6f_{22}(2s+3t,3s-2t)\\ g_{tt}(s,t)&=\frac{\partial }{\partial t}\Big(3f_1(2s+3t,3s-2t)-2f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=3\Big(3f_{11}-2f_{12}\Big) -2\Big(3f_{21}-2f_{22}\Big)\\ &=9f_{11}(2s+3t,3s-2t)-12f_{12}(2s+3t,3s-2t)+4f_{22}(2s+3t,3s-2t) \end{aligned}$

Here $f_1$ denotes the partial derivative of $f$ with respect to its first argument, $f_{12}$ is the result of first taking one partial derivative of $f$ with respect to its first argument and then taking a partial derivative with respect to its second argument, and so on.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 39번

# 다변수 연쇄법칙활용보통자동 분류

8.CLP-3 · 2.4절 · 15번대학 수준우리말 번역

$z = f (x, y)$ 가 연속인 이계 편도함수를 갖고, $x = r \cos t$ , $y = r \sin t$ 라 하자. 다음 편도함수를 $r$ , $t$ , 그리고 $f$ 의 편도함수로 나타내세요.

(a) $\frac{\partial z}{\partial t}$ (b) $\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}$

영어 원문 보기

Suppose $z = f (x, y)$ has continuous second order partial derivatives, and $x = r \cos t$ , $y = r \sin t$ . Express the following partial derivatives in terms $r$ , $t$ , and partial derivatives of $f$ .

(a) $\frac{\partial z}{\partial t}$ (b) $\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}$

정답·풀이 보기

정의에 의해 $z(r,t) = f(r\cos t\,,\,r\sin t)$ 이다.

(a) 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial t}(r,t) &= \frac{\partial }{\partial t}\Big[f(r\cos t\,,\,r\sin t)\Big] \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t)\frac{\partial }{\partial t}(r\cos t) +\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t)\frac{\partial }{\partial t}(r\sin t) \\ &= -r\sin t\ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) +r\cos t\ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) \end{aligned}$

(b) 선형성, 곱의 미분법, 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial t^2}(r,t) &= -\frac{\partial }{\partial t}\left[r\sin t\ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] +\frac{\partial }{\partial t}\left[r\cos t\ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] \\ &= -r\cos t\ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) -r\sin t\ \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] \\ & -r\sin t\ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) +r\cos t\ \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] \\ &= -r\cos t \ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ & +r^2\sin^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(r\cos t\,,\,r\sin t) -r^2\sin t\cos t\ \frac{\partial^2\ f}{\partial y\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ &\phantom{=}-r\sin t \ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ & -r^2\sin t\cos t\ \frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) +r^2\cos^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ &= -r\cos t \ \frac{\partial f}{\partial x} -r\sin t \ \frac{\partial f}{\partial y} \\ & +r^2\sin^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} -2r^2\sin t\cos t\ \frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y} +r^2\cos^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{aligned}$

여기서 $f$ 의 모든 편도함수는 $(r\cos t\,,\,r\sin t)$ 에서의 값이다.

원본 교재 풀이(영어)

By definition $z(r,t) = f(r\cos t\,,\,r\sin t)$ .

(a) By the chain rule

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial t}(r,t) &= \frac{\partial }{\partial t}\Big[f(r\cos t\,,\,r\sin t)\Big] \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t)\frac{\partial }{\partial t}(r\cos t) +\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t)\frac{\partial }{\partial t}(r\sin t) \\ &= -r\sin t\ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) +r\cos t\ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) \end{aligned}$

(b) By linearity, the product rule and the chain rule

$\begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial t^2}(r,t) &= -\frac{\partial }{\partial t}\left[r\sin t\ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] +\frac{\partial }{\partial t}\left[r\cos t\ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] \\ &= -r\cos t\ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) -r\sin t\ \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] \\ & -r\sin t\ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) +r\cos t\ \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] \\ &= -r\cos t \ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ & +r^2\sin^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(r\cos t\,,\,r\sin t) -r^2\sin t\cos t\ \frac{\partial^2\ f}{\partial y\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ &\phantom{=}-r\sin t \ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ & -r^2\sin t\cos t\ \frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) +r^2\cos^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ &= -r\cos t \ \frac{\partial f}{\partial x} -r\sin t \ \frac{\partial f}{\partial y} \\ & +r^2\sin^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} -2r^2\sin t\cos t\ \frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y} +r^2\cos^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{aligned}$

with all of the partial derivatives of $f$ evaluated at $(r\cos t\,,\,r\sin t)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 25번

# 다변수 연쇄법칙활용보통자동 분류

9.CLP-3 · 2.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

$z = f(x, y)$ 라 하자. 여기서 $f(x, y)$ 는 연속인 이계 편도함수를 가지며,

$f_x (2, 1) = 5, \qquad f_y(2, 1) =-2, \qquad f_{xx}(2, 1) = 2,\qquad f_{xy}(2, 1) = 1, \qquad f_{yy}(2, 1) = -4$

이다.

$x(t)=2t^2$ , $y(t)=t^3$ 이고 $t=1$ 일 때, $\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}{t}^2} z\big(x(t),y(t)\big)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $z = f(x, y)$ , where $f(x, y)$ has continuous second-order partial derivatives, and

$f_x (2, 1) = 5, \qquad f_y(2, 1) =-2, \qquad f_{xx}(2, 1) = 2,\qquad f_{xy}(2, 1) = 1, \qquad f_{yy}(2, 1) = -4$

Find $\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}{t}^2} z\big(x(t),y(t)\big)$ when $x(t)=2t^2$ , $y(t)=t^3$ and $t=1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x(t)=2t^2$ , $y(t)=t^3$ 에 대해 $w(t) = z\big(x(t),y(t)\big) = f\big(x(t),y(t)\big)$ 라 하자. $\frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}{t}^2}(1)$ 을 계산하면 된다. 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t}(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f\big(x(t),y(t)\big) \\ &= f_x(x(t)\,,\,y(t))\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) +f_y(x(t)\,,\,y(t))\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t) \\ &= 4t\,f_x(x(t)\,,\,y(t)) +3t^2\,f_y(x(t)\,,\,y(t)) \end{aligned}$

이다. 선형성, 곱의 미분법, 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}{t}^2} f\big(x(t),y(t)\big) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[4t\,f_x\big(x(t),y(t)\big) \right] +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[3t^2\,f_y\big(x(t),y(t)\big) \right] \\ &= 4\,f_x\big(x(t),y(t)\big) + 4t \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[f_x\big(x(t),y(t)\big) \right] \\& +6t\,f_y\big(x(t),y(t)\big) + 3t^2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[f_y\big(x(t),y(t)\big) \right] \\ &= 4\,f_x(2t^2\,,\,t^3) + 4t\Big[f_{xx}\big(x(t),y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) + f_{xy}\big(x(t),y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t)\Big] \\ &\phantom{=} + 6t\,f_y(2t^2\,,\,t^3) + 3t^2\Big[f_{yx}\big(x(t),y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) + f_{yy}\big(x(t),y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t)\Big] \\ &= 4\,f_x(2t^2\,,\,t^3) + 16t^2\,f_{xx}(2t^2\,,\,t^3) + 12t^3\,f_{xy}(2t^2\,,\,t^3) \\ &\phantom{=} + 6t\,f_y(2t^2\,,\,t^3) + 12t^3\,f_{yx}(2t^2\,,\,t^3) + 9t^4\,f_{yy}(2t^2\,,\,t^3) \end{aligned}$

이다. 특히 $t=1$ 일 때, $f_{xy}(2, 1)=f_{yx}(2, 1)$ 이므로

$\begin{aligned} \left.\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}{t}^2} f\big(x(t),y(t)\big) \right|_{t=1} &= 4\,(5) + 16\,(2) + 12\,(1) \\ &\phantom{=} + 6\,(-2) + 12\,(1) + 9\,(-4) \\ &=28 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Write $w(t) = z\big(x(t),y(t)\big) = f\big(x(t),y(t)\big)$ with $x(t)=2t^2$ , $y(t)=t^3$ . We are to compute $\frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}{t}^2}(1)$ . By the chain rule

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t}(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f\big(x(t),y(t)\big) \\ &= f_x(x(t)\,,\,y(t))\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) +f_y(x(t)\,,\,y(t))\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t) \\ &= 4t\,f_x(x(t)\,,\,y(t)) +3t^2\,f_y(x(t)\,,\,y(t)) \end{aligned}$

By linearity, the product rule, and the chain rule,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}{t}^2} f\big(x(t),y(t)\big) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[4t\,f_x\big(x(t),y(t)\big) \right] +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[3t^2\,f_y\big(x(t),y(t)\big) \right] \\ &= 4\,f_x\big(x(t),y(t)\big) + 4t \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[f_x\big(x(t),y(t)\big) \right] \\& +6t\,f_y\big(x(t),y(t)\big) + 3t^2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[f_y\big(x(t),y(t)\big) \right] \\ &= 4\,f_x(2t^2\,,\,t^3) + 4t\Big[f_{xx}\big(x(t),y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) + f_{xy}\big(x(t),y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t)\Big] \\ &\phantom{=} + 6t\,f_y(2t^2\,,\,t^3) + 3t^2\Big[f_{yx}\big(x(t),y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) + f_{yy}\big(x(t),y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t)\Big] \\ &= 4\,f_x(2t^2\,,\,t^3) + 16t^2\,f_{xx}(2t^2\,,\,t^3) + 12t^3\,f_{xy}(2t^2\,,\,t^3) \\ &\phantom{=} + 6t\,f_y(2t^2\,,\,t^3) + 12t^3\,f_{yx}(2t^2\,,\,t^3) + 9t^4\,f_{yy}(2t^2\,,\,t^3) \end{aligned}$

In particular, when $t=1$ , and since $f_{xy}(2, 1)=f_{yx}(2, 1)$ ,

$\begin{aligned} \left.\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}{t}^2} f\big(x(t),y(t)\big) \right|_{t=1} &= 4\,(5) + 16\,(2) + 12\,(1) \\ &\phantom{=} + 6\,(-2) + 12\,(1) + 9\,(-4) \\ &=28 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 24번

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