테일러·매클로린 급수

$x\ge 28$ 일 때 $\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}{x}^{1/3}=-\frac{2}{9{x}^{5/3}}\ge -0.00092\ldots$ 이므로 나머지 추정식을 선형 근사 ${x}^{1/3}\approx {p}_{1}(27)=3+\frac{x-27}{27}$ 에 적용할 수 있고, 이로부터 ${(28)}^{1/3}\approx 3+\frac{1}{27}=3.\overline{037}$ 을 얻는다. 한편 ${(28)}^{1/3}\approx 3.03658$ 이다.

어림 $\frac{{2}^{10}}{10!}<0.000283$ 을 이용하면, 9차 테일러 전개를 사용하여 $x=2$ 에서 e^x 의 값을 ${e}^{2}\approx {p}_{9}(2)=1+2+\frac{{2}^{2}}{2}+\frac{{2}^{3}}{6}+\cdots +\frac{{2}^{9}}{9!}=7.3887\ldots$ 로 어림할 수 있으며, 실제로는 ${e}^{2}\approx 7.3891$ 이다.

$\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}(\ln x)={(-1)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{{x}^{n}},{R}_{1000}\approx \frac{1}{1001}$ 이므로 ${p}_{1000}(1)=\sum_{n=1}^{1000}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}\approx 0.6936$ 이고, 반면 $\ln (2)\approx 0.6931\cdots$ 이다.

답은 다양할 수 있다.

인수 $(n+1)(n+2)$ 는 도함수를 떠올리게 한다. 등비급수에서 시작한다.

$$\begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^\infty x^n\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{1-x} \right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sum_{n=0}^\infty x^n \right\}\\ \frac{1}{(1-x)^2}&=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{(1-x)^2} \right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} \right\}\\ \frac{2}{(1-x)^3}&=\sum_{n=1}^\infty n(n-1)x^{n-2}=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)x^{n-2}\\ &=\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)x^n \end{aligned}$$

$x=\frac{1}{7}$ 이라 하자. 그러면 $|x|<1$ 이므로 주어진 급수는 수렴한다.

$$\begin{aligned} \frac{2}{(1-1/7)^3} &=\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)\left(\frac{1}{7}\right)^n\\ \frac{2}{(6/7)^3} &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+2)(n+1)}{7^n} \end{aligned}$$

(a) 알려진 거듭제곱급수 $e^x = 1 + x +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$ 에 $x=-t$ 를 대입하면 다음을 얻는다.

$$\begin{aligned} e^{-t}&= 1 - t +\frac{t^2}{2!}-\frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots \\ 1-e^{-t}&= t - \frac{t^2}{2!}+ \frac{t^3}{3!} - \frac{t^4}{4!} + \cdots \\ \frac{1-e^{-t}}{t}&= 1 - \frac{t}{2!}+ \frac{t^2}{3!} - \frac{t^3}{4!} + \cdots \\ \int \frac{1-e^{-t}}{t}\ \mathrm{d}t&= C + x - \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^3}{3\cdot 3!} - \frac{x^4}{4\cdot 4!} + \cdots \end{aligned}$$

마지막으로 $f(0) = 0$ 이므로($f(0)$ 은 $0$ 에서 $0$ 까지의 적분이므로) $C=0$ 이다. 따라서

$$\begin{aligned} f(x) = \int_0^x\frac{1-e^{-t}}{t}\ \mathrm{d}t = x - \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^3}{3\cdot 3!} - \frac{x^4}{4\cdot 4!} + \cdots. \end{aligned}$$

이 계산을 합의 기호만으로 나타낼 수도 있다. $e^{x}= \displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ 이므로

$$\begin{aligned} e^{-t}&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-t)^n}{n!} =1+ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nt^n}{n!} \\ 1-e^{-t}&= - \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nt^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} t^n}{n!} \\ \frac{1-e^{-t}}{t}&= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} t^{n-1}}{n!} \\ f(x) = \int_0^x\frac{1-e^{-t}}{t}\ \mathrm{d}t &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n\cdot n!} \end{aligned}$$

(b) $a_n=A_nx^n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{n\cdot n!} x^n$ 으로 놓고 비판정법을 적용한다.

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big| &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg|\frac{{(-1)^{n}}x^{n+1}/{((n+1)\cdot (n+1)!)}} {{(-1)^{n-1}}x^n/{(n\cdot n!)}}\bigg| \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \frac{|x|^{n+1}}{|x|^n} \frac{n\cdot n!}{(n+1)\cdot (n+1)!} \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( |x|\frac{n}{(n+1)^2} \bigg) \qquad\text{$(n+1)!=(n+1)\,n!$ 이므로} \\ &=0 \end{aligned}$$

이 값은 $x$ 가 무엇이든 $1$ 보다 작다. 따라서 이 급수는 모든 $x$ 에 대해 수렴한다.

$$\begin{aligned} &e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \ge 1+x\qquad\text{for all $x\ge 0$}\\ &\implies e^x-1\ge x \\ &\implies \frac{x^3}{e^x-1}\le \frac{x^3}{x} = x^2 \\ &\implies \int_0^1\frac{x^3}{e^x-1}\,\mathrm{d}x \le \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3} \end{aligned}$$

(a) 모든 $x$ 에 대해 $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ 임을 알고 있다. $x$ 를 $-x$ 로 바꾸면, 모든 $x$ 에 대해 $e^{-x} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!}$ 이고, 따라서

$$\begin{aligned} \cosh(x) =\frac{1}{2}\big[e^x+e^{-x}\big] =\frac{1}{2}\Big[\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!}\Big] = \sum_{\genfrac{}{}{0pt}{}{n=0}{n\text{ even}}}^\infty\frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}$$

이 모든 $x$ 에 대해 성립한다. 특히 수렴 구간은 실수 전체이다.

(b) (a)의 거듭제곱급수 전개를 이용하면,

$$\begin{aligned} \cosh(2) &= 1 +\frac{2^2}{2!}+\frac{2^4}{4!} +\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!} = 3\frac{2}{3} +\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}$$

따라서 $\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}\le 0.1$ 임을 보이면 충분하다. $b_n = \frac{2^{2n}}{(2n)!}$ 이라 하자. $\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}$ 의 첫째 항은

$$b_3 = \frac{2^6}{6!} = \frac{2^6}{6 \times 5 \times 4 \times 3\times 2} = \frac{4}{45}$$

이다. $\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}$ 에서 이웃한 항 사이의 비는

$$\begin{aligned} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{2n+2}/2^{2n}}{(2n+2)!/(2n)!} =\frac{4}{(2n+2)(2n+1)} \le \frac{4}{8\times 7} =\frac{1}{14}\qquad \text{모든 }n\ge 3\text{ 에 대해} \end{aligned}$$

이다. 그러므로

$$\begin{aligned} \sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!} &\le \overbrace{\frac{4}{45}}^{b_3} + \overbrace{\frac{4}{45}\times \frac{1}{14}}^{b_4\le} + \overbrace{\frac{4}{45}\times \frac{1}{14^2}}^{b_5\le} + \overbrace{\frac{4}{45}\times \frac{1}{14^3}}^{b_6\le} + \cdots\\ &=\frac{4}{45}\,\frac{1}{1-\frac{1}{14}} =\frac{4}{45}\,\frac{14}{13} =\frac{56}{585}<\frac{1}{10} \end{aligned}$$

이다.

(c)

$$\cosh(t) = \sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{{(t^2)}^n}{(2n)!} \qquad\text{그리고}\qquad e^{\frac{1}{2}t^2} = \sum_{n=0}^\infty\frac{{(\frac{1}{2}t^2)}^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{{(t^2)}^n}{2^n n!}$$

을 비교하면, $(2n)! \ge 2^n n!$ 임을 보이면 충분하다. 이제 모든 $n\ge 1$ 에 대해,

$$\begin{aligned} (2n)! &=\overbrace{1\times 2\times\cdots\times n}^{n\text{개의 인수}} \overbrace{(n+1)\times (n+2)\times\cdots\times 2n}^{n\text{개의 인수}} \\ &\ge\overbrace{1\times 2\times\cdots\times n}^{n\text{개의 인수}} \overbrace{2\times 2\times\cdots\times 2}^{n\text{개의 인수}} \\ &=2^n\, n! \end{aligned}$$

이다.