테일러·매클로린 급수 연습문제

1.OpenStax 2권 · 6.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ ( $a=1$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ at $a=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 42번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

2.OpenStax 2권 · 6.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ ( $a=-1$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ at $a=-1$

정답·풀이 보기

$f(-1)=1;{f}^{'}(-1)=-1;{f}^{''}(-1)=2;f(x)=1-(x+1)+{(x+1)}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$f(-1)=1;{f}^{'}(-1)=-1;{f}^{''}(-1)=2;f(x)=1-(x+1)+{(x+1)}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 2번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

3.OpenStax 2권 · 6.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\cos (2x)$ 의 $a=\pi$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\cos (2x)$ at $a=\pi$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 40번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

4.OpenStax 2권 · 6.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\sin (2x)$ , $a=\frac{\pi }{2}$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\sin (2x)$ at $a=\frac{\pi }{2}$

정답·풀이 보기

${f}^{'}(x)=2\cos (2x);{f}^{''}(x)=-4\sin (2x);{p}_{2}(x)=-2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=2\cos (2x);{f}^{''}(x)=-4\sin (2x);{p}_{2}(x)=-2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 2번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

5.OpenStax 2권 · 6.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\sqrt{x}$ ( $a=4$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\sqrt{x}$ at $a=4$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 18번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

6.OpenStax 2권 · 6.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\ln x$ , $a=1$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\ln x$ at $a=1$

정답·풀이 보기

${f}^{'}(x)=\frac{1}{x};{f}^{''}(x)=-\frac{1}{{x}^{2}};{p}_{2}(x)=0+(x-1)-\frac{1}{2}{(x-1)}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=\frac{1}{x};{f}^{''}(x)=-\frac{1}{{x}^{2}};{p}_{2}(x)=0+(x-1)-\frac{1}{2}{(x-1)}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 4번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

7.OpenStax 2권 · 6.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\frac{1}{x}$ ( $a=1$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\frac{1}{x}$ at $a=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 38번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

8.OpenStax 2권 · 6.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)={e}^{x}$ , $a=1$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)={e}^{x}$ at $a=1$

정답·풀이 보기

${p}_{2}(x)=e+e(x-1)+\frac{e}{2}{(x-1)}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

${p}_{2}(x)=e+e(x-1)+\frac{e}{2}{(x-1)}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 23번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

9.OpenStax 2권 · 6.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

근사식 ${e}^{x}\approx 1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\cdots +\frac{{x}^{6}}{720}$ 에 −x² 을 대입한 식을 적분하여 ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Integrate the approximation ${e}^{x}\approx 1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\cdots +\frac{{x}^{6}}{720}$ evaluated at −x² to approximate ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{1}\left(1-{x}^{2}+\frac{{x}^{4}}{2}-\frac{{x}^{6}}{6}+\frac{{x}^{8}}{24}-\frac{{x}^{10}}{120}+\frac{{x}^{12}}{720}\right)dx$

$=1-\frac{{1}^{3}}{3}+\frac{{1}^{5}}{10}-\frac{{1}^{7}}{42}+\frac{{1}^{9}}{9\cdot 24}-\frac{{1}^{11}}{120\cdot 11}+\frac{{1}^{13}}{720\cdot 13}\approx 0.74683$ 이고, 반면 ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx\approx 0.74682$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}\left(1-{x}^{2}+\frac{{x}^{4}}{2}-\frac{{x}^{6}}{6}+\frac{{x}^{8}}{24}-\frac{{x}^{10}}{120}+\frac{{x}^{12}}{720}\right)dx$

$=1-\frac{{1}^{3}}{3}+\frac{{1}^{5}}{10}-\frac{{1}^{7}}{42}+\frac{{1}^{9}}{9\cdot 24}-\frac{{1}^{11}}{120\cdot 11}+\frac{{1}^{13}}{720\cdot 13}\approx 0.74683$ whereas ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx\approx 0.74682.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 54번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

10.OpenStax 2권 · 6.3절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)=\sin x$ , 구간 $[-\pi ,\pi ],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)=\sin x$ on $[-\pi ,\pi ],a=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 36번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

11.OpenStax 2권 · 6.3절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)=\cos x$ , 구간 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)=\cos x$ on $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],a=0$

정답·풀이 보기

${f}^{(n+1)}(z)$ 는 $\sin z$ 또는 $\cos z$ 이므로 $M=1$ 이다. $|x-0|\le \frac{\pi }{2}$ 이므로 $\frac{{\pi }^{n+1}}{{2}^{n+1}(n+1)!}\le 0.001$ 을 만족시키는 n 의 최솟값을 구한다. 이를 만족시키는 최솟값은 $n=7$ 이다. 나머지 추정값은 ${R}_{7}\le 0.00092$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since ${f}^{(n+1)}(z)$ is $\sin z$ or $\cos z,$ we have $M=1.$ Since $|x-0|\le \frac{\pi }{2},$ we seek the smallest n such that $\frac{{\pi }^{n+1}}{{2}^{n+1}(n+1)!}\le 0.001.$ The smallest such value is $n=7.$ The remainder estimate is ${R}_{7}\le 0.00092.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 12번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

12.OpenStax 2권 · 6.3절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)={e}^{-2x}$ , 구간 $[-1,1],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)={e}^{-2x}$ on $[-1,1],a=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 48번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

13.OpenStax 2권 · 6.3절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)={e}^{-x}$ , 구간 $[-3,3],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)={e}^{-x}$ on $[-3,3],a=0$

정답·풀이 보기

${f}^{(n+1)}(z)=\pm {e}^{-z}$ 이므로 $M={e}^{3}$ 이다. $|x-0|\le 3$ 이므로 $\frac{{3}^{n+1}{e}^{3}}{(n+1)!}\le 0.001$ 을 만족시키는 n 의 최솟값을 구한다. 이를 만족시키는 최솟값은 $n=14$ 이다. 나머지 추정값은 ${R}_{14}\le 0.000220$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since ${f}^{(n+1)}(z)=\pm {e}^{-z}$ one has $M={e}^{3}.$ Since $|x-0|\le 3,$ one seeks the smallest n such that $\frac{{3}^{n+1}{e}^{3}}{(n+1)!}\le 0.001.$ The smallest such value is $n=14.$ The remainder estimate is ${R}_{14}\le 0.000220.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 38번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

14.OpenStax 2권 · 6.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 구간 $[a-R,a+R]$ 에서 나머지 추정식 $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ 의 우변의 최댓값은 $a$ 또는 $a\pm R$ 에서 나타난다. 이 최댓값을 $R$ 의 함수로 그래프에 나타내어, $[a-R,a+R]$ 에서 $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ 을 만족시키는 $R$ 의 최댓값을 어림하세요.

[계산기 사용] e^x 을 $1+x,a=0$ 으로 근사

영어 원문 보기

In the following exercises, the maximum of the right-hand side of the remainder estimate $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ on $[a-R,a+R]$ occurs at a or $a\pm R.$ Estimate the maximum value of R such that $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ on $[a-R,a+R]$ by plotting this maximum as a function of R.

[T] e^x approximated by $1+x,a=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 11번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

15.OpenStax 2권 · 6.3절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $[a-R,a+R]$ 에서 나머지 추정식 $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ 의 우변의 최댓값은 a 또는 $a\pm R$ 에서 나타난다. 이 최댓값을 R 의 함수로 그래프를 그려서, $[a-R,a+R]$ 에서 $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ 을 만족시키는 R 의 최댓값을 어림하세요.

[계산기 사용] $\sin x$ 를 x 로 근사, $a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, the maximum of the right-hand side of the remainder estimate $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ on $[a-R,a+R]$ occurs at a or $a\pm R.$ Estimate the maximum value of R such that $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ on $[a-R,a+R]$ by plotting this maximum as a function of R.

[T] $\sin x$ approximated by x, $a=0$

정답·풀이 보기

이 그래프에는 y=0.2 인 수평선이 있다. 또한 원점에서 시작하여 아래로 볼록한 곡선이 있다. 곡선과 직선은 순서쌍 (0.5966, 0.2) 에서 만난다.

$\sin x$ 는 작은 x 에서 증가하고 $\mathrm{si}{n}^{''}x=-\sin x$ 이므로, ${R}^{2}\sin (R)\le 0.2$ 일 때마다 이 추정식이 적용되며, 이는 $R=0.596$ 까지 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

This graph has a horizontal line at y=0.2. It also has a curve starting at the origin and concave up. The curve and the line intersect at the ordered pair (0.5966, 0.2).

Since $\sin x$ is increasing for small x and since $\mathrm{si}{n}^{''}x=-\sin x,$ the estimate applies whenever ${R}^{2}\sin (R)\le 0.2,$ which applies up to $R=0.596.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 20번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

16.OpenStax 2권 · 6.3절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $[a-R,a+R]$ 에서 나머지 추정식 $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ 의 우변의 최댓값은 a 또는 $a\pm R$ 에서 나타난다. 이 최댓값을 R 의 함수로 그래프를 그려서, $[a-R,a+R]$ 에서 $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ 을 만족시키는 R 의 최댓값을 어림하세요.

[계산기 사용] $\ln x$ 를 $x-1,a=1$ 로 근사

영어 원문 보기

In the following exercises, the maximum of the right-hand side of the remainder estimate $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ on $[a-R,a+R]$ occurs at a or $a\pm R.$ Estimate the maximum value of R such that $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ on $[a-R,a+R]$ by plotting this maximum as a function of R.

[T] $\ln x$ approximated by $x-1,a=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 2번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

17.OpenStax 2권 · 6.3절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $[a-R,a+R]$ 에서 나머지 추정식 $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ 의 우변의 최댓값은 a 또는 $a\pm R$ 에서 나타난다. 이 최댓값을 R 의 함수로 그래프를 그려서, $[a-R,a+R]$ 에서 $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ 을 만족시키는 R 의 최댓값을 어림하세요.

[계산기 사용] $\cos x$ 를 $1,a=0$ 으로 근사

영어 원문 보기

In the following exercises, the maximum of the right-hand side of the remainder estimate $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ on $[a-R,a+R]$ occurs at a or $a\pm R.$ Estimate the maximum value of R such that $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ on $[a-R,a+R]$ by plotting this maximum as a function of R.

[T] $\cos x$ approximated by $1,a=0$

정답·풀이 보기

이 그래프에는 y=0.2 인 수평선이 있다. 또한 원점에서 시작하여 아래로 볼록한 곡선이 있다. 곡선과 직선은 순서쌍 (0.44720, 0.2) 에서 만난다.

$\cos x$ 의 이계도함수는 $-\cos x$ 이고 $\cos x$ 는 $x=0$ 에서 멀어질수록 감소하므로, ${R}^{2}\cos R\le 0.2$ 즉 $R\le 0.447$ 일 때 이 추정식이 적용된다.

원본 교재 풀이(영어)

This graph has a horizontal line at y=0.2. It also has a curve starting at the origin and concave up. The curve and the line intersect at the ordered pair (0.44720, 0.2).

Since the second derivative of $\cos x$ is $-\cos x$ and since $\cos x$ is decreasing away from $x=0,$ the estimate applies when ${R}^{2}\cos R\le 0.2$ or $R\le 0.447.$